Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.
Ф.Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.
1. Определение производной
Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х0. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х — х0, откуда х=х0+Dx.
Приращением функции y=f(x) в точке х0 называется разность
Dу=f(x) — f(x0)=f(x0+Dx) — f(x0).
Производной от функции у=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx->0).
Производная функции у=f(x) в точке х0 обозначается y'(х0) или f'(х0).
Определение производной можно записать в виде формулы:
‘()== .
Если функция в точке х0 имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х0. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.
Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х0. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0бесконечную производную (равную или , соответственно).
1.1 Геометрический смысл понятия производной
Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)(см. рис. 1).
Производная и ее применение в экономической теории
... производной при решении различных видов задач по экономической теории. 1. Определение производной Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х 0 . Для любой точки ... Производной Производная функции у=f(x) в точке х 0 обозначается y(х 0 ) или f(х 0 ) . Определение производной можно записать в виде формулы: ()== . Если функция в точке х 0 имеет конечную производную, то она называется ... С ...
Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)).
Проведем секущую MoM1. Пусть — угол наклона секущей MoM1 относительно оси 0х. Если существует предел , то прямая, проходящая через Moи образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx(R)0.
Пусть N(xo+Dx; f(xo)) — точка, дополняющая отрезок MoM1до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN параллельна оси 0х, то
Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx->0, получим
Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) — это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)).
Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo; f(xo)) в виде y=kx+b. Так как Mof(x), то должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) — kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением
y=kx+f(x0) — kx0=f(x0)+k(x — x0).
Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид
y=f(x0)+f'(x0)(x — x0).
Как вычисляют производную?
1. Записывают функцию в виде y=f(х).
2. Вычисляют Dy — приращение функции: Dу=f(x+Dx) — f(x).
3. Составляют отношение
4. Представляют, что Dx стремится к нулю, и переходят к пределу = y'(х0).
5. Вычисляют производную в точке х0: y'(х)= y'(х0).
Операция вычисления производной называется дифференцированием.
Примеры дифференцирования:
1.
Dy=a(x+Dx)2 — ax2=2axDx+aDx2;
- =2ax+Dx; =2ax, Th (ах2)’=2ax.
2.
;
=;
- =3×2, Th (x3)’=3×2.
3.
;
= -, Th
1.2 Дифференциал функции
Дифференциалом функции f(х) в точке х0называется линейная функция приращения вида
Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x0).
Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.
Наличие конечной производной даёт возможность представить приращение функции в виде
где при . Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве (равная ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.
1.3 Применение производной к исследованию функций
Очень часто при решении экономических задач возникает необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т.д. При этом удобно пользоваться дифференциальным исчислением.
1. Возрастание/убывание функции
Если дифференцируемая функция y=f(х), х возрастает на интервале то f'(x0) для любого х0
Если дифференцируемая функция y=f(х), х убывает на интервале то f'(x0) для любого х0
2. Экстремумы функции
Точка х0 из области определения функции f(х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая — окрестность точки х0, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(х)> f(х0).
Функции нескольких переменных
... производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3: Дифференцируя и по переменным х и y, получим ; ; 5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка называется точкой минимума (максимума) функции ...
Точка х0 из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдётся такая — окрестность точки х0, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(х)< f(х0).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.
Необходимые условия существования экстремума даёт теорема Ферма:
Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая:
1) производная функции f'(x0) не существует;
2) f'(x0)=0.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода).
Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Поэтому, чтобы выяснить, в каких точках функция имеет экстремум, необходимо знать достаточные условия существования экстремума.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(х) непрерывна в точке х0и в некоторой её — окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х0. Тогда:
1) если производная f'(x) при переходе через точку х0меняет знак с плюса на минус, то х0является точкой максимума.
2) если производная f'(x) при переходе через точку х0меняет знак с минуса на плюс, то х0является точкой минимума.
3) если производная при переходе через точку х0не меняет знак, то в точке х0функция f(x) не имеет экстремума.
Второе достаточное условие экстремума. Если функция y=f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х0, причём f'(x0)=0, а f»(x0)0, то в точке х0функция f(х) имеет максимум, если f»(x0)<0, и минимум, если f»(x0)>0.
3. Выпуклость графика функции
График функции y=f(х), х(a,b) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (a,b), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).
График функции y=f(х), х(a,b) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (a,b), если график расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).
На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f'(x) возрастает.
Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (a,b) дважды дифференцируемая функция y=f(х), х(a,b) имеет отрицательную (положительную) производную второго порядка, то график функции является выпуклым вверх (вниз).
Исследовать на выпуклость график функции y=f(х) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f»(x) сохраняет свой знак. Необходимо заметить, что f»(x) может менять свой знак лишь в точках, где f»(x)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.
Экономический смысл производной
... приложениях производной. Экономическое приложение производной. Экономическая интерпретация производной В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». ... величине труда:. Если вложения осуществляются малыми порциями, то . MP k - характеризует предельную производительность капитала. эластичности функции Эластичностью функции Эластичность функции ... графиком, ...
2. Экономический смысл понятия производной
2.1 Предельные величины
Если спросить экономиста «Что такое производная?», то он ответит: <<маржинализм>>. Слово <<маржинализм>> охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.
В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Классическая наука обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов и явлений. Во второй половине ХIХ в. была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926), Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс (1835-1882).
«Marginal» в переводе с английского языка означает «находящийся на самом краю», «предельный», «граничный». К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.).
В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть q — количество произведённой продукции, ТC(q) — соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда Dq — прирост продукции, а DТС — прирост издержек производства.
Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции. Другими словами,
где Используя равенство получим
Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.
Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.
Предельная выручка MR (marginal revenue) — это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:
Производство и спрос на экономические ресурсы
... приходится ни какой-то ресурс, тем выпи эластичность спроса на данный ресурс. Логическое обоснование этого вполне очевидно. В предельном случае если затраты на труд были бы единствен-ными издержками производства, то 20%-ное ...
- Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR — выручка (total revenue);
- P — цена (price).
Таким образом , Th MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.
Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не
