Математика в экономике

метки: Величина, Средний, Экономический, Значение, Показатель, Рубль, Численность, Уровень

• самостоятельное изучение способов решения задач;
• создание презентации по теме исследования.

«В каждой науке заключено столько собственно науки,

сколько в ней заключено математики.»

Эммануил Кант

В современной экономике математические методы выступают в качестве необходимого инструмента, которые используются, в первую очередь, при решении задач экономического содержания. К ним относятся задачи на вычисление сложных процентов, задачи линейного программирования, оптимизационные задачи. При решении задач на процентное отношение учащиеся знакомятся с такими экономическими понятиями, как себестоимость, затраты, производительность труда, материалоотдача, рентабельность производства. Задачи линейного программирования широко используются в обосновании принятия хозяйственных решений, связанных с производительностью труда, объемами и рентабельностью производства. Оптимизационные задачи используются в экономике для выбора оптимальных экономических решений, особенно это важно при распределении ресурсов в той или иной хозяйственной деятельности. Следует отметить, что в экономике используются не только математический аппарат в связи с конкретными экономическими проблемами, но и организация информационных процессов обработки экономической информации.

В данной работы мы уделили особое внимание вопросам экономического анализа, изучили основные виды экономико — статистических показателей, рассмотрели вопрос «Средние величины в экономике» и задачи для самостоятельного решения по этому разделу.

Основные виды экономико-статистических показателей

Экономико-статистических показатели позволяют количественно оценить те или иные свойства экономических явлений, наиболее полно охарактеризовать отображаемые явления в конкретных условиях времени и места.

Получаемые в процессе статистического наблюдения данные о значениях тех или иных экономических показателей характеризуют каждую единицу исследуемой совокупности (например, уровень потребительских расходов одной семьи или объем продаж какого-либо магазина).

Для характеристики совокупности в целом (например, величины потребительских расходов населения страны или объема продаж новых компьютеров в компьютерных салонах) данные по отдельным единицам совокупности сводят и получают обобщающие статистические показатели. Обобщающие показатели могут быть представлены:

Как решать задачи по экономике на спрос и предложение – Решение ...

... Q 2 больше Q1 на 36/31-1=5/31 Вот и второй ответ: молока будут покупать больше на 5/31, то есть примерно на 16%. [свернуть] 1553.ru Задачи по экономике, тема «Спрос и предложение». На гра­фи­ке ... для производителей, то это имеет обратный эффект – цена будет снижаться. С точки зрения решения задачи в случае с налогами новая равновесная цена будет определяться так. Допустим, государство ввело ...

• абсолютными;
• относительными;
• средними величинами.

Каждый вид имеет определенное значение и занимает различное место в процессе анализа экономических явлений.

1. Путем непосредственного суммирования первичных данных получают обобщающие абсолютные показатели, которые характеризуют объем (размер) изучаемого экономического явления в конкретных границах времени и пространства. Например, численность безработных в России на конец января 2006 года составила 5,6 млн. человек, валовой внутренний продукт в России в 2005 году составил 21,67 трлн. рублей. Первый из приведенных показателей характеризует значение экономического показателя (численности безработных) на определенный момент времени (так называемый показатель запаса), получают такие абсолютные величины суммированием данных единовременного наблюдения.

Второй из приведенных показателей характеризует размер явления (объем произведенных в стране конечных товаров и услуг за год) за определенный период времени, он получен путем суммирования данных наблюдений в течение всего года.

Абсолютные показатели всегда имеют единицу измерения (например, тысяч рублей, человек).

Натуральные единицы измерения (к примеру, тонны, кубические метры) применяются для анализа отдельных экономических показателей и используются в тех случаях, когда единица измерения соответствует потребительским свойствам продукта. Например, производство автомобилей оценивается в штуках, ввод в строй нового жилья — в квадратных метрах и т.д.

Недостаток абсолютных показателей заключается в том, что они часто не могут быть использованы для анализа динамики экономических показателей, а также не могут быть напрямую сопоставлены для разных совокупностей. Приведем следующий пример. Допустим, что мы хотим проанализировать ситуацию на рынке труда России и Германии в 2001-2002 годах. В нашем распоряжении имеются данные о численности экономически активного населения, занятых и безработных обеих стран в 2001-2002 годах (см. таблицу1).

Таблица 1

	Россия	Германия
	2001 г.	2002 г.	2001 г.	2002 г.
Среднегодовая численность экономически активного населения, тыс. человек	70968	71919	39966	40022
Среднегодовая численность занятых, тыс. человек	64664	65766	36816	36536
Среднегодовая численность безработных, тыс. человек	6304	6153	3150	3486

Можно ли ответить на вопрос: «Какая из двух рассматриваемых стран имела более благоприятную ситуацию на рынке труда в 2001 году? в 2002 году?», используя лишь абсолютные показатели? Если принимать во внимание только абсолютные показатели, мы придем к выводу, что безработица в России была выше, чем в Германии и в 2001 (6304 > 3150), и в 2002 (6153 > 3486) году. Из таблицы 1 также видно, что число безработных в России несколько сократилось в 2002 году по сравнению с 2001 годом, тогда как в Германии — выросло. Однако численности экономически активного населения этих стран не равны, поэтому проведенное сравнение является некорректным.

2. Найти выход из сложившейся ситуации помогают обобщающие относительные величины, которые позволяют проводить сопоставление одноименных показателей, относящихся к различным временным периодам или территориям. Относительные показатели являются, как правило, безразмерными величинами.

Можно выделить два основных вида относительных величин:

• относительные величины структуры;
• относительные величины динамики.

2.1.Относительные величины структуры характеризуют состав изучаемой совокупности и показывают, какой удельный вес (какую долю) в общем объеме составляет каждая ее часть (к примеру, объем продаж каждого отдела магазина в общем объеме продаж магазина).

Их получают в результате деления значения каждой части рассматриваемой совокупности на общий итог, принятый за базу сравнения. Сумма относительных величин структуры изучаемого экономического явления всегда равна 100% (или единице).

Относительные величины структуры дают возможность установить структурные сдвиги, изменения изучаемого явления, которые происходят за определенный период времени, а также их направление и тенденцию.

Относительные величины структуры могут быть выражены в долях (все явление берется за единицу) или в процентах (все явление — 100%).

Слово «процент» происходит от латинских слов pro centum, что в дословном переводе означает «за сто». В настоящее время процентом принято называть сотую часть (долю) какой-то величины (принимаемой за базу сравнения), для обозначения процентов используется символ % .

При использовании термина «процент» обязательно указывать, от какой величины исчисляются проценты. Вернемся к рассмотренному выше примеру про безработицу в России и Германии. Проанализируем вместо абсолютных показателей безработицы и занятости (т.е. среднегодовой численности безработных и занятых) относительные (т.е. уровни безработицы и занятости).

Таким образом, базой исчисления процентов (100%) будет среднегодовая численность экономически активного населения (см. табл. 2)/

средний величина экономика показатель

Таблица 2

в % от численности экономически активного населения	Россия	Германия
	2001 г.	2002 г.	2001 г.	2002 г.
Уровень занятости, %	91,1	91,4	92,1	91,3
Уровень безработицы, %	8,9	8,6	7,9	8,7

Источник: Рассчитано по данным таблицы 1.

Использование относительных величин позволяет сравнить нам показатели рынков труда России и Германии. Как видно из таблицы 2, в 2001 году уровень безработицы в России был выше, чем в Германии, тогда как в 2002 году — ниже. При этом в 2002 году уровень безработицы в России снизился на 0,3 процентных пункта по сравнению с 2001 годом, тогда как в Германии — вырос на 0,8 процентных пунктов. Таким образом, в 2001 году более благоприятная ситуация на рынке труда была в Германии, а в 2002 году — в России.

Хотим обратить внимание, что нельзя путать понятия «процентный пункт» и «процент». Первое употребляется только для характеристики абсолютного изменения величины, выраженной в процентах. Например, в нашем случае уровень безработицы в России снизился с 8,9% до 8,6%, т.е. на 0,3 процентных пункта. Тогда как второе всегда показывает относительное изменение какой-либо величины. Так, в нашем примере уровень безработицы снизился в России примерно на 3,4% (100% = 96,6%).

2.2.Относительные величины динамики характеризуют изменение экономических величин во времени и показывают, во сколько раз (на сколько процентов) увеличилось (уменьшилось) значение величины по сравнению с каким-либо предшествующим периодом. Для расчета относительной величины динамики определяют отношение уровней, характеризующих изучаемое явление в разные периоды времени, при этом в числителе стоит величина, которую сравнивают, тогда как в знаменателе, — с которой сравнивают. Последняя и выступает в качестве базы сравнения (или основания сравнения).

Выбор базы сравнения нередко имеет существенное значение. Так, в ряде случаев в качестве базы сравнения принимаются годы, являющиеся исторически обусловленной границей отдельных периодов экономического развития страны. К примеру, при анализе динамики экономических показателей России в 1990-е годы за базу сравнения, как правило, берется 1989 год (год начала экономического спада в России) или 1991 год (год распада Советского Союза).

Полученная относительная величина может быть выражена в виде коэффициента, который показывает, во сколько раз сравниваемый абсолютный показатель больше (меньше) базисного. Например, сопоставляя прибыль фирмы в 2003 (120 тысяч рублей) и 2004 (150 тысяч рублей) годах, получим коэффициент 1,25, который показывает, что прибыль фирмы в 2004 году была в 1,25 раза выше, чем в 2003 году. Относительная величина динамики может быть также выражена в процентах (для этого надо полученный коэффициент умножить на 100%): 1,25* 100%= 125%. Полученная относительная величина позволяет сделать вывод о том, что прибыль фирмы в 2004 году составила 125% от ее прибыли в 2003 году, т.е. увеличилась на 25% по сравнению с 2003 годом.

Обратим внимание на различие терминов «рост» и «прирост». Под ростом понимается то, во сколько раз увеличилась рассматриваемая величина за некоторый период. Прирост показывает разницу между некоторой величиной в отчетном периоде и в базисном. Так, если мы рассматривали рост в процентах, то величина прироста получается вычитанием 100%> из величины роста (или вычитанием единицы, если мы рассматривали рост в коэффициентах).

Так, например, на 1 января 2005 года золотовалютные резервы России составляли 124,5 млрд. долларов, а на 1 января 2006 года — 182,24 млрд. долларов. Значит, за 2005 год рост величины золотовалютных резервов составил 146,4%, а прирост — 46,4%.

Еще раз рассмотрим пример про безработицу в России и Германии. Проанализируем динамику показателей рынка труда в России и Германии в 2001-2002 годах. То есть базой исчисления процентов (100%) буду выступать значения соответствующих показателей рынка труда в 2001 году (см. табл. 3).

Таблица 3

	Россия	Германия
	2001 г.	2002 г.	2001 г.	2002 г.
Динамика среднегодовой численности экономически активного населения, %	100	101,3	100	100,1
Динамика среднегодовой численности занятых, %	100	101,7	100	99,2
Динамика среднегодовой численности безработных, %	100	97,6	100	110,7

Источник: Рассчитано по данным таблицы 1.

Как видно из таблицы 3, в 2002 году численность безработных в России снизилась на 2,4% по сравнению с 2001 годом, тогда как в Германии— выросла на 10,7%. Укажем, что использование только относительных величин динамики не дает ответа на вопрос «Какая из двух рассматриваемых стран имела более благоприятную ситуацию на рынке труда в 2001 году? в 2002 году?». С помощью этих величин мы можем лишь проанализировать, как развивалась ситуация в течение рассматриваемого периода. То есть применительно к нашему примеру, мы можем сделать следующий вывод: ситуация на рынке труда в России улучшилась в 2002 году по сравнению в 2001 годом, тогда как в Германии — ухудшилась.

3.Среди обобщающих статистических показателей, характеризующих экономические явления, большое значение имеют средние величины.

Рассмотрим какую-либо однородную совокупность экономических показателей (например, уровень пенсий в Москве).

Индивидуальные значения экономического показателя (размер пенсии) формируются под влиянием двух групп причин. В первую группу общих для всех единиц совокупности причин относятся причины, определяющие состояние данного экономического явления (в нашем примере такой причиной является, в частности, минимальный уровень пенсии в России).

Они формируют типичный уровень для единиц данной однородной совокупности и связаны с сущностью изучаемого явления. Вторая группа (индивидуальных) причин учитывает специфические особенности каждой единицы совокупности (например, стаж работы, наличие инвалидности, наличие звания «ветеран труда» у пенсионера).

Эти причины, как правило, не связаны с природой изучаемого явления, их называют случайными.

При исчислении средней величины по всей совокупности влияние случайных причин взаимопогашается, и средняя представляет одним значением всю совокупность, отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Практическое применение средних статистических показателей в анализе экономических явлений и процессов чрезвычайно велико. Так, в рассмотренном выше примере про рынок труда России и Германии речь идет о средней численности экономически активного населения, занятых и безработных в течение года.

В экономических исследованиях используются различные виды средних величин. Наиболее часто применяются средняя арифметическая и средняя геометрическая. Выбор того или иного вида средней зависит от анализируемого экономического процесса, а также от конкретных данных, по которым ее приходится вычислять, и целей анализа.

В заключение заметим, что для полной характеристики изучаемого экономического явления в процессе экономико-статического анализа необходимо использовать все виды обобщающих статистических показателей.

Необходимым условием для применения средних величин в экономическом анализе является однородность рассматриваемой совокупности. Так, к примеру, если заработная плата трех сотрудников ООО «Точка росы» составляет 5 000, 11 000 и 164 000 рублей в месяц, то использовать величину 60 000 рублей как уровень средней заработной платы на фирме для целей анализа представляется некорректным. По уровню своей заработной платы сотрудники фирмы относятся к разным категориям работников.

Средние величины в экономике

Роль средних величин в экономических исследованиях чрезвычайно велика. Мы рассмотрим два основных вида средних величин, наиболее широко используемых в экономике, — среднюю арифметическую и среднюю геометрическую.

Указанные средние величины могут быть вычислены либо когда каждое значение в исследуемой совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой или невзвешенной, либо когда значения повторяются различное число раз, при этом число повторений называется частотой или весом, а средняя, вычисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

Исследуемая экономическая совокупность (или, как говорят статистики, ряд распределения) может состоять из различных элементов. Это могут быть люди, предприятия, регионы и т.д. При этом в роли элементов могут выступать как отдельные единицы (например, одна семья или одно предприятие), так и группы однородных объектов (например, развивающиеся и развитые страны).

Каждый из элементов характеризуется каким-то качественным (например, форма собственности предприятия: частное или государственное предприятие) или количественным (например, величина заработной платы) экономическим показателем, среднее значение которого и анализируется в задании.

1.Самый распространенный (и наиболее простой) вид средней величины — средняя арифметическая, под которой понимается такое значение анализируемого показателя, которое имел бы каждый элемент исследуемой совокупности, если бы общий итог значений показателя был равномерно распределен между всеми элементами совокупности, иначе говоря, если бы значения всех элементов совокупности были бы равны. Так, например, если мы хотим определить среднюю заработную плату на предприятии, то мы можем ее найти, сложив все заработные платы работников (то есть определив общий фонд оплаты труда) и разделив полученную сумму на общее количество работников.

Отметим, что если в задании не указывается вид искомой средней величины, то, как правило, подразумевается средняя арифметическая.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:

где — значение средней величины, п — количество элементов в исследуемой совокупности, i — номер элемента исследуемой совокупности (i принимает значения от 1 до п), — значение элемента совокупности с номером .

Операцию суммирования принято обозначать с помощью символа , при этом нижний индекс означает номер первого элемента, с которого нужно начать суммирование (если i = 1, то это первый элемент совокупности), а верхний— последнего элемента. К примеру, символ означает, что следует просуммировать значения элементов х5, х6, х7, х8 и х9.

Пример. В семье Ивановых, состоящей из 4 человек, расходы на сотовую связь в прошедшем месяце составили 1450 рублей у главы семейства, Петра Иванова, 1200 рублей у Светланы Ивановой, 870 рублей у дочери Марии и 200 рублей у сына Николая. Определите величину среднемесячных расходов членов семьи Ивановых на сотовую связь.

Решение:

Поскольку каждое значение анализируемой экономической величины (т.е. величина расходов на сотовую связь) встречается только один раз, то следует использовать формулу простой средней арифметической:

Таким образом, среднемесячные расходы семьи Ивановых на сотовую связь равны 930 рублей.

Ответ: 930 рублей в месяц.

Таким образом, среднемесячные расходы членов семьи Ивановых на сотовую связь равны 930 рублей.

Ответ: 930 рублей в месяц.

Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по формуле:

где — значение средней величины, п — количество элементов в исследуемой совокупности, т — количество различных значений элементов, — количество элементов в j группе (j принимает значения от 1 до т), хj — значение элемента в j группе. Иначе говоря, — числа, показывающие сколько раз встречается в исследуемой совокупности данное значение (веса или частоты), а -частности. При этом

, а .

Легко заметить, что формула для расчета средней арифметической взвешенной не имеет принципиальных отличий от формулы для расчета простой средней арифметической, просто суммирование раз одного и того же значения признака заменено умножением значения признака на . При этом величина средней зависит уже не только от величины индивидуальных значений признака (как при расчете простой средней арифметической), но и от соотношениях их весов. Чем большие веса имеют малые значения, тем меньше величина средней и наоборот.

Пример. В Интернет-магазине «Книга на дом» работает четыре категории работников: директор (зарплата — 45 тыс. рублей), бухгалтер (зарплата — 35 тыс. рублей), 5 менеджеров по приему заказов (зарплата — 20 тыс. рублей) и 25 курьеров по доставке заказов (зарплата — 12 тыс. рублей).

Определите среднемесячную заработную плату сотрудника фирмы.

Решение:

Исходя из условия задачи, при решении следует использовать формулу взвешенной средней арифметической. Для удобства решения можно составить следующую таблицу:

номер группы	средняя заработная плата по j группе (xi)	количество работников в j группе (nj)	фонд заработной платы в j группе (njxj)
1	45000	1	45000
2	35000	1	35000
3	20000	5	100000
4	12000	25	300000
Итого	?	32	480000

Примечание: значение «?» в графе «Итого» представляет собой искомую среднемесячную заработную плату работников предприятия.

Таким образом, величина среднемесячной заработной платы на фирме может быть рассчитана по формуле:

То есть среднемесячная заработная плата равна 15 тысячам рублей.

Ответ: 15000 рублей в месяц.

Средняя арифметическая взвешенная применяется также при вычислении общей средней для всей исследуемой совокупности из частных (групповых) средних, при этом в качестве значений рассматриваемого показателя выступают групповые средние, а весами служат численности каждой группы.

Как правило, в заданиях вступительного экзамена на средние величины рассматриваются только две группы (например, две категории работников).

В этом случае формула средней арифметической взвешенной принимает вид:

где— значение средней величины, n1 и n2 — количество элементов в первой и во второй группе соответственно, x1 и x2 — среднее значение анализируемого показателя для каждого элемента первой и второй группы соответственно, и — доля (вес) первой и второй группы в общей совокупности соответственно.

Таким образом, при решении задач на средние величины, в первую очередь, нужно определить, что выступает в задании в роли анализируемого показателя (иначе говоря, среднее значения какого показателя нужно найти), а что — в роли весов.

Пример. Молокозавод закупает молоко на двух молочных фермах: 40% на первой, а остальную часть — на второй. Стоимость одной тонны молока на первой ферме составляет 12 тысяч рублей, тогда как на второй — 10 тысяч рублей. Определите среднюю стоимость тонны молока, поставляемой на молокозавод.

Решение:

В данной задаче в роли анализируемого показателя (х) выступает стоимость тонны молока, тогда как весами выступают объемы поставок молока первой и второй фермами на молокозавод. Отсюда имеем: х1 = 12 (тыс. рублей), х2 = 10 (тыс. рублей),

Используя формулу средней арифметической взвешенной, получим:

Таким образом, средняя стоимость тонны молока, поставляемой на молокозавод, равна 10,8 тысяч рублей.

Ответ: 10,8 тысяч за тонну.

Если в задании просят определить долю отдельной группы в общем объеме совокупности, то формулу средней арифметической взвешенной можно преобразовать следующим образом:

где а — доля первой группы, (1 — а) — доля второй группы.

Пример. Средняя заработная плата преподавателей вузов города Оренбурга в 2005 году составляла 26 тысяч рублей в месяц, а остальных преподавателей — 16 тысяч рублей. Определите, какую долю от числа всех преподавателей города Оренбурга составляют преподаватели вузов, если в 2005 году средняя заработная плата преподавателя в Оренбурга равнялась 22 тысячи рублей.

Решение.

Обозначим за а — долю преподавателей вузов среди всех преподавателей города Оренбурга, тогда доля остальных преподавателей вузов равна (1 — а).

Используя преобразованную формулу средней арифметической взвешенной, получим:

Решая полученное уравнение, найдем, что а = 0,6, то есть 60% всех преподавателей в городе Оренбурге составляют преподаватели вузов.

Ответ: доля преподавателей вузов среди всех преподавателей равна 60%.

Одним из наиболее распространенных видов экономико-математических заданий на вступительном экзамене по обществознанию являются задачи на сопоставление средних величин для двух совокупностей (к примеру, стран) или же анализ изменения какой-либо средней величины во времени.

В первом случае типовым является вопрос «Как соотносятся средние величины в совокупностях А и Б?». Для ответа на него нужно определить значение средней величины для совокупности А () и для совокупности Б () и сравнить полученные значения между собой, т.е. найти значение отношения . Если >1, то среднее значение исследуемого показателя для совокупности А больше среднего значения исследуемого показателя для совокупности Б, и наоборот. Если = 1, то средние значения для двух совокупностей равны.

Пример. Фирмы «Люкс» и «Автомир» специализируются на продаже автомобилей Skoda. В текущем месяце фирма «Люкс» реализовала 10 автомобилей Skoda Octavia и 40 Skoda Fabia, тогда как фирма «Автомир» — 35 автомобилей Skoda Octavia и 5 Skoda Fabia. Определите, как соотносятся средние доходы фирм от продажи одного автомобиля, если цена автомобиля Skoda Octavia на 40% выше цены Skoda Fabia.

Решение:

Обозначим за х цену автомобиля Skoda Fabia. Тогда цена автомобиля Skoda Octavia — 1,4х.

Можно рассчитать, что средний доход фирмы «Люкс» от продажи одного автомобиля в текущем месяце составил:

А средний доход фирмы «Автомир» от продажи одного автомобиля в текущем месяце составил:

Сравнивая средние доходы фирм от продажи одного автомобиля в текущем месяце, получим, что

Ответ: у фирмы «Автомир» на 25% больше.

2. Средняя геометрическая используется, в основном, для анализа темпов изменения экономических величин во времени.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

где n — количество элементов в исследуемой совокупности.

Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле:

где m — количество различных значений элементов, пj — количество элементов в j группе {j=1,2, … т), хj. — значение элемента в j группе.

Так, по формуле средней геометрической рассчитывается средний коэффициент роста, под которым понимается такой постоянный темп роста рассматриваемого показателя, который за п промежутков времени дает такое же изменение первоначальной величины, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных изменениях. В этом случае индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные как отношения каждого уровня ряда к предыдущему уровню.

Пусть имеется ряд наблюдений какого-то экономического показателя за n+1 последовательных периодов: y0, y1,…, yn. Коэффициенты роста ki для каждого периода составляют, соответственно:

В этом случае средний коэффициент роста можно рассчитать по следующей формуле:

Как видно из приведенных формул, средний коэффициент роста зависит от значений крайних уровней ряда, поэтому одинаковый темп роста можно получить для рядов с совершенно различным характером изменения в течение анализируемого периода. Так, к примеру, пусть на одном предприятии объем производства в течение трех последних лет ежегодно увеличивался на 11%, тогда как на втором в течение первого года вырос на 60%, а затем упал на 5% и 10%, соответственно. Несмотря на качественно разную динамику объема производства в рассматриваемый период, средний коэффициент роста на обоих предприятиях равен примерно 1,11 (поскольку ).

Зная средний коэффициент роста, можно найти средний процент прироста:

Средний процент прироста можно рассчитать напрямую, если изначально нам были даны ежегодные изменения анализируемого показателя в процентах:

где qi — процентное изменение анализируемого показателя в i периоде (i= 1,…, n).

Важно понимать, что средний темп (процент) прироста за п лет не равен среднему арифметическому темпов (процентов) прироста в течение этих п лет. Это наиболее распространенная ошибка, которую допускают при решении подобных задач.

Пример. В таблице приведены данные о количестве негосударственных высших учебных заведениях в 1991-1995 годах:

	1991	1992	1993	1994	1995
Число негосударственных вузов	5	10	50	120	180

Определите среднегодовой коэффициент роста количества негосударственных высших учебных заведений в 1992-1995 годах.

Решение:

Рассчитаем годовые коэффициенты роста в 1992-1995 годах:

Найдем среднегодовой коэффициент роста количества негосударственных высших учебных заведений:

Отметим, что среднегодовой коэффициент роста можно было рассчитать «напрямую» по формуле:

Ответ: примерно 2,45 раза.

Практикум для самостоятельного решения задач

«Средние величины в экономике»

№1. Книжный магазин «Книголюб» открыт 7 дней в неделю. Выручка магазина в марте составила 275,59 тысяч рублей. Определите среднюю ежедневную выручку магазина в этом месяце.

№2. За одну неделю конференции стран-участниц ОПЕК в Вене члены российской делегации (всего 6 человек) потратили, соответственно, 12570, 12230, 12920, 12840, 12465 и 12515 евро. Рассчитайте, сколько налогоплательщикам в среднем стоила поездка одного представителя России на конференцию.

№3. В ООО «Сотовик», общая численность работников которого составляет 25 человек, представлены пять категорий персонала: генеральный директор, бухгалтера (2 человека), менеджеры (6 человек), операторы по приему заказов (7 человек), курьеры (9 человек).

Определите среднюю заработную плату сотрудника ООО «Сотовик», если известно, что оклад генерального директора составляет 17,8 тысяч рублей, бухгалтера— 15,1 тысяч рублей, менеджера — 12,5 тысячи рублей, оператора по приему заказов — 8,5 тысяч рублей, курьера — 5 тысяч рублей

№4. Производственная деятельность компании «Остар» в январе—апреле 2005 года характеризовалась следующими показателя: в январе выпуск составил 200 единиц при себестоимости каждого изделия в $14, в феврале — 230 единиц при себестоимости изделия $9, в марте выпустили 150 изделий, затратив на каждое по $10. В апреле общие затраты составили $560, при этом было выпущено всего 80 изделий. Определите средние затраты на изготовление одного изделия за рассматриваемый период (январь — апрель 2005 года).

№5. В компании 30% всех сотрудников составляют женщины. Определите долю сотрудниц с высшим образованием, если доля сотрудников с высшим образованием мужского пола равна 1/7, а среди всех сотрудников — 1/5.

№6. Фирма, занимающаяся записью фильмов на О VI)-диски, закупает «болванки» у двух поставщиков: 20% у первого, а остальную часть — у второго. При этом в среднем 10% болванок, получаемых от первого поставщика, являются бракованными, тогда как у второго брак составляет только 5%. Служба технологического контроля может выявить брак только после записи фильма на БУБ-диск. Каков в среднем процент дефектной продукции во всей продукции фирмы?

№7. Затраты малого предприятия «Иванов и партнеры» в 2004 году состояли из расходов на сырье и на оплату труда в пропорции 3 : 4. В конце 2004 года на предприятии была проведена модернизация, в результате которой в 2005 году при прежней себестоимости сырья с внедрением новой технологии расходы на сырье уменьшились на 20%, а оплата одного часа рабочего времени возросла на 15%. Как изменились расходы предприятия на изготовление одной единицы продукции в 2005 году по сравнению с 2004 годом?

№8. Из молока, жирность которого 5%, молокозавод производит творог жирностью 15,5%), при этом остается сыворотка жирностью 0,5%).

Определите, прибыль молокозавода от переработки одной тонны молока, если тонна молока обходится в 8000 рублей, а творог реализуется по 39 рублей за килограмм.

№9. На факультете дополнительного образования функционируют две программы повышения квалификации: «профессиональный управленец» и «антикризисный менеджер». В 2003 году численности обучающихся на этих программах соотносились как 2:3, соответственно, при этом цена обучения на программе «профессиональный управленец» составляла $1500, тогда как на программе «антикризисный менеджер» — $2000. В 2004 году факультет поднял цену обучения на каждой программе на $500, при этом число слушателей программы «антикризисный менеджер» сравнялось с числом слушателей программы «профессиональный управленец». Как изменилась средняя стоимость обучения на факультете дополнительного образования в 2004 году по сравнению с 2003 годом, если общая численность учащихся по разным причинам снизилась на 15%).

№10. Эффективная маркетинговая политика позволила фирме за два года работы добиться девятикратного увеличения товарооборота, причем ежегодный процент прироста товарооборота оставался одним и тем же. Определите, на сколько процентов увеличивались продажи в каждый из прошедших лет?

Ответы на задачи для самостоятельного решения

«Средние величины в экономике»

2.1. 8,89 тысяч рублей. 2.2. 12590 евро. 2.3. 216 рублей. 2.4. 21,6 рублей. 2.5. 9,1 тысяча рублей. 2.6. 2,5 трактора. 2.7. 10,5 долларов. 2.8. 69%. 2.9. 1/3. 2.10. На 30%. 2.11. 9 тысяч рублей. 2.12.6%. 2.13. 42 жительницы.

2.14. 500 вкладчиков. 2.15. (1-а)(1-6)100%. 2.16. Выросла на 90%.

2.17. Не изменилась. 2.18. На 40%. 2.19. На 50%. 2.20. 10%. 2.21. 10,05%. 2.22. 2,6 млн. рублей. 2.23. 13 000 пар. 2.23. 3700 рублей. 2.26. I — 525 тысяч рублей, II — 787,5 тысяч рублей. 2.26. 5400 рублей. 2.27. 5400 и 8100 рублей. 2.28. I — 240 тонн, II — 160 тонн. 2.29. 10%. 2.30. Вырос на 25%. 2.31. На 25%. 2.32. 50%. 2.33. 1,26%. 2.34. Примерно 12,25% (л/1726).

2.35. на 200%.

Литература

1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. СПб: Союз, 1999.

2. Автономов В.С. Введение в экономику. М.: Вита-Пресс, 2003.

3. Алешковский И.А., Картаев Ф.С. Математика в экономике: экономико-математические задания вступительного экзамена по обществознанию: Методическое пособие для поступающих на экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова. М.: МАКС Пресс, 2006.

4. Алешковский И.А. Основы экономической теории. Методическое пособие. М.:ТЕИС,2005.

5. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. М.: ИНФРА-М, 2001.

6. Задачи вступительных экзаменов по математике (2005 г.) / Под общей редакцией Е.А. Григорьева. М.: Издательский отдел факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова, 2005.

7. Картаев Ф.С, Федорец А.В. Математика в экономике: Часть 2: Методические пособие по изучению темы «Проценты и индексы». М.: МАКС Пресс, 2002.

8. Общеобразовательный тест: Пособие для поступающих. М.: Экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, ТЕИС, 1997.

9. Основы экономической теории / Под ред. СИ. Иванова. Кн. 1, 2. М.: Вита-Пресс, 2002.

10. Сборник математических задач по экономике. Ч. И. Кн. для учителей и учащихся 6-11 класса / Под общ. ред. И.Б. Соловьевой, А.В. Будариновои и др. М ‘ Центр инноваций в педагогике, 1997.

11. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б. Современный экономический словарь. М.: ИНФРА-М, 1997.

12. Тест по обществознанию. Варианты экзамена с 2000 по 2005 год / Под ред. А.Г. Худокормова. М.: Экономический факультет МГУ им. М.В. Ломоносова, ТЕИС, 2005.