Производная и ее применение в экономической теории

метки: Функция, Точка, Эластичность, Предельный, Экономический, Производная, Прибыль, Спрос

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что «лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

1. Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х ₀ . Для любой точки х из этой окрестности приращение x определяется формулой x=х — х ₀ , откуда х=х ₀ +x .

Приращением

у=f(x) — f(x

Производной

Производная функции у=f(x) в точке х ₀ обозначается y(х ₀ ) или f(х ₀ ) . Определение производной можно записать в виде формулы:

()== .

Если функция в точке х ₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х ₀ . Если она дифференцируема во всех точках промежутка X , то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно, может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х ₀ . Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х ₀ бесконечную производную (равную или , соответственно).

1.1 Геометрический смысл понятия производной

Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x) (см. рис. 1).

Шпаргалка по «Экономической теории»

... и энергии - в процессе потребления. Проблемы выбора в экономике. Кривая производственных возможностей. Экономический выбор., Производственные возможности ... того же товара неодинаковое количество времени, в результате чего товары имеют индивидуальную различную ... Делятся на три группы: Показатели совершенства выполнения основной функции - полезный эффект потребления (качественные и количественные ...

касательной

Пусть N(x _o +x; f(x _o )) — точка, дополняющая отрезок M _o M ₁ до прямоугольного треугольника M _o M ₁ N. Так как сторона M _o N параллельна оси 0х, то

Переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при x >0, получим

Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f(x ₀ ) — это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (x _o ; f(x _o )).

Найдём уравнение касательной к графику в точке M _o (x _o ; f(x _o )) в виде y=kx+b. Так как M _o f(x), то должно выполняться равенство f(x ₀ )=kx ₀ +b, откуда b= f(x ₀ ) — kx ₀ . Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f(x ₀ ) — kx ₀ =f(x ₀ )+k(x — x ₀ ).

Поскольку k=f(x ₀ ), то уравнение касательной имеет вид

y=f(x ₀ )+f(x ₀ )(x — x ₀ ).

Как вычисляют производную?

1. Записывают функцию в виде y=f(х).

у=f(x+x) — f(x).

3. Составляют отношение

4. Представляют, что x стремится к нулю, и переходят к пределу = y(х ₀ ) .

5. Вычисляют производную в точке х ₀ : y(х)= y(х ₀ ).

дифференцированием.

Примеры дифференцирования:

y=a(x+x) ² — ax ² =2axx+ax ² ;

= 2ax +x; =2ax, (ах ² )=2ax .

;

=;

= 3x ² , (x ³ )=3x ² .

;

= -,

1.2 Дифференциал функции

Дифференциалом

Дифференциал функции y=f(х) обозначается dy или df(x ₀ ). Главное назначение дифференциала состоит в том, чтобы заменить приращение на линейную функцию от , совершив при этом, по возможности, меньшую ошибку.

Наличие конечной производной даёт возможность представить приращение функции в виде

где при . Из этого следует, что ошибка в приближённом равенстве (равная ) является бесконечно малой более высокого порядка, чем , когда . Это часто используют при приближённых вычислениях.

Ы, курсовые работы, дипломы. Экономико-математическое моделирование. ...

... функции y=f(х) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f''(x) сохраняет свой знак. Необходимо заметить, что f''(x) может менять свой знак лишь в точках, ... находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная ...

1.3 Применение производной к исследованию функций

Очень часто при решении экономических задач возникает необходимость принять решение на основе исследования и анализа функций спроса, предложения, издержек, прибыли и т.д. При этом удобно пользоваться дифференциальным исчислением.

1. Возрастание/убывание функции

Если дифференцируемая функция y=f(х), х возрастает на интервале то f(x, Если дифференцируемая функция y=f(х), х убывает на интервале то f(x

2. Экстремумы функции

точкой минимума

точкой максимума

точками экстремума

теорема Ферма

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x

1) производная функции f(x

2) f(x ₀ )=0 .

критическими точками

Первое достаточное условие экстремума.

1) если производная f(x) при переходе через точку х ₀ меняет знак с плюса на минус, то х ₀ является точкой максимума.

2) если производная f(x) при переходе через точку х ₀ меняет знак с минуса на плюс, то х ₀ является точкой минимума.

3) если производная при переходе через точку х ₀ не меняет знак, то в точке х ₀ функция f(x) не имеет экстремума.

Второе достаточное условие экстремума.

3. Выпуклость графика функции

выпуклым вверх (вогнутым вниз)

выпуклым вниз (вогнутым вверх)

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f(x) возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции.

Исследовать на выпуклость график функции y=f(х) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f(x) сохраняет свой знак. Необходимо заметить, что f(x) может менять свой знак лишь в точках, где f(x)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

2. Экономический смысл понятия производной

2.1 Предельные величины

Если спросить экономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

маржинализма

«Marginal» в переводе с английского языка означает «находящийся на самом краю», «предельный», «граничный». К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Функции нескольких переменных

... Найти частные производные второго порядка функции Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3: Дифференцируя и по переменным х и y, получим ; ; 5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и ...

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.).

В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q — количество произведённой продукции, ТC(q) — соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда q — прирост продукции, а ТС — прирост издержек производства.

Предельные издержки МС

где Используя равенство получим

Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Предельная выручка MR (marginal revenue)

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR — выручка (total revenue); P — цена (price).

Таким образом , MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S . Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume)

предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save)

С увеличением доходов MPS увеличивается.

предельный продукт труда MP

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

так как dY — результат, dL — затраты, то MP _L — предельная производительность труда.

MP

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

MP _k характеризует предельную производительность капитала.

предельной полезности

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта:

2.2 Эластичность спроса и предложения

эластичности функции .

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.

Эластичностью функции Е

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) , при изменении независимой переменной x на 1%.

Как решать задачи по экономике на спрос и предложение – Решение ...

... спрос равен предложению. Это и является ответом на задание. Есть также графический способ решения данной задачи, который заключается в том, что по данным таблицы со значениями спроса и предложения для разных значений цены строятся кривые спроса и предложения и ... сни­же­ни­ем цен за про­езд в ав­то­бу­сах и трол­лей­бу­сах 4) уве­ли­че­ни­ем объ­е­ма услуг об ...

Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.

В экономике существует несколько видов эластичности.

• Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Если =0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается — количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт — количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся инсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т.д.

Если 0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса ниже темпа роста цены.

Если =1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса равен темпу роста цены.

Если >1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается — темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт — темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если , то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается — объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт — объём покупок падает почти до нуля.

• Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная — некачественные (инфериорные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

• Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

3 . Приложение производной в экономической теории

теоремы Ферма

Пусть q — выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) — выручка от продаж; TC(q) — издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль

Предположим, что выполняются следующие условия:

Технология производства, хранения и переработки кукурузы

... я хочу дать характеристику типа почвы, предложенного в курсовой работе. Буро-подзолистые почвы Приморья формируются под дубовыми и ... кукурузы на зерно и корм в нашей стране составляет 21,9 млн га. Задача состоит в том, чтобы увеличить производство ... богаре. Коэффициент водопотребления кукурузы невысок - 300 - 400. Среднеранние и среднеспелые гибриды кукурузы за вегетацию расходуют 3500 - 4500 м 3 /га ...

TR(q), TC(q)

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q ^* 0 .

В случае, когда максимум прибыли положителен , условие q ^* 0 естественным образом выполняется, поскольку (нет выпуска — нет выручки, нет выручки — нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция дифференцируема и имеет на интервале максимум в точке q ^* 0 . По теореме Ферма, . Так как , то в точке q=q ^* получаем равенство

TR(q ^* )=TC(q ^* ) или MR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR(q)=p*q, TR(q)=p. Равенство TR(q ^* )=C(q ^* ) принимает вид p=TC(q ^* ).

4. Использование производной при решении задач по экономической теории

Задача №1:

Решение:

П=TR — TC,

TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 — Q p=5 — Q/20.

Тогда

П=(5 — Q/20)Q — (50 + 2Q)= — Q

П(Q)= -2Q+60.

2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2:

Решение:

6p ₀ — 100=200 — 4p ₀ ,

откуда p ₀ = 30 (ден.ед.) — равновесная цена, Q ₀ =80 (ед.) — равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p ₀ , Q=Q _D , то есть П=Q _D p — Q _D TVC=Q _D (p — TVC) ,

подставим значения и получим:

П=(200 — 4p)*(p — 25)=

2) p=p ₀ , Q=Q _D =Q _S , Q _{продажи} =Q ₀ =80 (ед.),

П ₂ =80*(30 — 25)=400 (ден. ед.).

Задача: Решение задач онлайн по макроэкономике

... $1 = 1,5DM. Издержки производства на один автомобиль 11000 DM. Как изменилась прибыль экспортеров в немецких марках при повышении курса марки на 20%? Решение: До повышения курса немецкой ... М.В.Ломоносова. - 8-е изд. перераб. и доп. - М.: Дело и сервис, 2007. - 496 с. 2. Голубев С.Г. Макроэкономика: курс лекций / С. Г. Голубев, О.В.Володько, Ж.Г.Шумак ; УО ...

3) p<p ₀ : Q= Q _S , то есть П=Q _S p — Q _S TVC=Q _S (p — TVC) ,

подставим значения:

П=(6p — 100)(p — 25)=6p

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= — 4p ² + 300p — 5000

П= — 8p + 300;

8p + 300=0 p=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=Q _D =200 — 4*37,5=200 — 150=50 (ед.), а

625 (ден. ед.)

400 (ден. ед.).

3) П=6p ² — 250p + 2500

П=12p — 250;

12p — 250=0 p=125/6=20

Значит, Q=Q _S =6*20 ⁵ / ₆ — 100=125 — 100=25 (ед.), a

104 ¹ /

Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача №3:

Решение:

TR=(p(b — ap))=0.

TR=p*(b — ap)+ (b — ap)*p=b — ap — ap=b — 2ap=0

Q=b — ap=b — a=.

При этом максимум выручки составит

Задача №4:

Решение:

П

Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:

П

Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При П и прибыль убывает.

При П и прибыль возрастает.

Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.

П(q=8)=П(q=0)=10

Задача №5:

Решение:

Найдём предельные издержки: MC=TC=3q ² + 3.

3q ² + 3=15;

3q ² =12 q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Задача №6:

Решение:

Тогда прибыль будет равна:

В точке q ₀ максимума прибыли выполняется равенство Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q ₀ =10. Соответствующая цена будет:

p ₀ =p(q ₀ )=

При этом предельные издержки Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача №7:

Решение:

Применение линейного программирования для решения экономических ...

... анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются: 1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования; 2. Выявление области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач; 3. Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования; 4. Постановка задачи и ...

u(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

Заключение

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Словарь экономических терминов

Производственные возможности фирмы —

Факторы производства —

Спрос —

Предложение —

Монополия —

Совершенная конкуренция

Постоянные издержки —

Переменные издержки —

Благо —

Товар —

Услуги —