Анализ деятельности предприятия ООО "Квант" на основе комплекснозначной производственной функции, Дипломная работа

Студент	Костенко Анна Владимировна	группа	ПМ-061
фамилия, имя, отчество
1	Тема:	Анализ деятельности предприятия ООО «Квант» на основе
комплекснозначной производственной функции

утверждена приказом по СевКавГТУ № 235/с от «27»_января_2011 года.

2. Срок представления работы к защите »
/u> » июня
2011
г.

3. Исходные данные для научного исследования

1) материалы отчета по преддипломной практике; 2) материалы, представленные бухгалтером экономистом предприятия ООО «Квант» села Дивного Ставропольского края.

4. Содержание дипломной работы:

4.1	Производственные функции и экономический анализ
4.2	Комплекснозначные производственные функции предприятия ООО «Квант»
4.3	Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «КВАНТ» с
помощью производственных функций
4.4	Заключение.
4.5	Библиографический список.
4.6	Другие разделы проекта: Приложения.

Руководитель работы
А.С. Адамчук

подпись, дата, инициалы, фамилия

Консультанты по разделам:

«Информационные технологии и программирование»
Ляхов В.Ф.

Задание к исполнению принял »
/u> » января 2011 г.

подпись

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
- 1.1
  Основы теории производственных функций
- 1
  2
  Показатели эффективности использования ресурсов
- 1.3 Аддитивные и мультипликативные производственные функции
- 1.4 Степенные производственные функции
2. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ООО «КВАНТ»
- 2.1
  Линейная действительная производственная функция комплексного аргумента
- 2.2 Линейная комплексная производственная функция комплексных переменных
3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ ООО «КВАНТ» С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
- 3.1 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант» с помощью действительных производственных функций
- 3.2 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант»
  с помощью комплекснозначных производственных функций
- 3.3 Итоги проведенных исследований
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ВВЕДЕНИЕ

Анализ в наше время востребован практически во всех организациях, стремящихся сделать свою работу эффективной. Методическим обеспечением экономического анализа в большинстве случаев выступают экономико-математические методы, которые стали активно развиваться в веке. Однако инструментарий экономико-математических методов в последнее время развивается, в основном, в направлении совершенствования существующих моделей или разработки новых на старой инструментальной базе. Принципиально новых моделей, расширяющих арсенал экономико-математического моделирования, появляется мало. Это вызвано не столько отсутствием потребности в новых математических моделях, сколько использованием в экономике привычного математического аппарата. Поэтому успешное применение в экономико-математическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу экономики, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Одним из таких аппаратов выступает теория функций комплексных переменных, применение которой в экономико-математическом моделировании открывает новые возможности, поскольку существенно расширяет не только совокупность экономико-математических моделей, но и вводит в научный оборот новые экономико-математические методы. Поэтому задача разработки концептуальных подходов, методов и методик, позволяющих использовать элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании, представляется важной и актуальной.

Из многочисленных разделов экономико-математического моделирования в работе исследован вопрос использования комплексных переменных в экономике применительно к теории производственных функций. В качестве основы выступают положения экономической теории, теорий экономического анализа, производственных функций комплексных переменных, в том числе работы ведущих зарубежных и отечественных ученых в исследуемой области.

Объектом исследования является производственная система экономики отдельного предприятия.

Предметом дипломного исследования выступают математические методы и подходы математического моделирования производственных процессов с помощью элементов теории функции комплексных переменных.

Целью работы является использование элементов теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций.

1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

1.1 Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ) [19, 5; 20, 104], но все они сводятся к одному — это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

l По наличию условия оптимальности:

Ѓ Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства).

Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» [21, 16];

Ѓ Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс).

В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» [21, 16];

l По учёту неопределённости:

Ѓ Стохастические (учитывают условие неопределённости);

Ѓ Детерминированные (не учитывают условие неопределённости);

[22, 65].

Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом.

Пусть обозначает вектор затрат ресурсов, , ;

вектор объёмов производства, , . Совокупность технологических условий может быть формально записана как множество
Z
пар (X, Y)
, в неотрицательном ортанте пространства R
^n+m
. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств (
X
^*
,
Y
^*
)
, такой, что, если X
<
X
^*
, а Y
>
Y
^*
, то (X, Y) = (
X
^*
,
Y
^*
)
. То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначим Z
^*
.

Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием,
M
₁
, и не воспроизводимые, M
₂
. Соответственно, X
₁
— объёмы воспроизводимых ресурсов, X
₂
— объёмы не воспроизводимых ресурсов.

В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации:

(1.1)

Множество
Z
^*
можно описать с помощью многозначного отображения F
(
X
)
— общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов.

По данным о входных переменных
X
мажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выход Y
.

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция

, , (1.2)

характеризует максимально возможный объём выпуска продукта
j
в зависимости от затрат всех m
ресурсов. Каждой точке соответствует единственный максимальный выпуск . Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде:

(1.3)

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.3), но при этом не препятствует использованию (1.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара.

В качестве критерия классификации производственных функций, кроме уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»:

1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами.

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции означает, что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее будем опускать индекс
j
, когда речь идёт о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [23, 170]:

1. Если
X=0
, то и y=0
;

2. Если , то , причём, если , то ; из этого, в частности, следует, что при . В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурса
s
сверх величины приводит к уменьшению объёма производства, надо непосредственно использовать , а излишек оставить в резерв. Если x
_s
=0
и y
=0
при положительных затратах многих ресурсов, то ресурс s
абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.).

Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска , называется изоквантой.

В общем случае изокванты — это поверхности в m-мерном пространстве ресурсов. Поскольку , то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат.

Для наглядности построим линейную производственную функцию по данным нашего предприятия.

Входными параметрами являются ресурсы, а выходными — результат в виде годовых объемов производства различных видов продукции.

В качестве ресурсов (факторов производства) наиболее часто рассматриваются величины затрат живого труда, предметов и средств труда, используемых в процессе производства: накопленный труд в форме производственных фондов (капитал)
К
и настоящий (живой) L
труд. В качестве результата рассматривается объемы выпуска Q
.

Выпуск (продукции) есть функция от затрат ресурсов (капитала и труда).

Моделью производственной функции является:

Q
=
F
(
K
,
L
)
,

где
Q
— выход;

K
— капитал;

L
— трудовые ресурсы.

Производственная функция должна удовлетворять следующим условиям, поддающимся естественной экономической интерпретации:

1)
F
(
K
,
L
)
— непрерывная дважды дифференцируемая функция в области K
>0;

2) , — с ростом ресурсов выпуск растет;

3) , — с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется;

Темпы прироста часто убывают при увеличении какого-либо фактора, особенно, если производство ведется по какой-либо неизменной технологии. Убывание темпов роста при увеличении масштабов производства часто связано с вынужденным использованием более дорогих или менее качественных ресурсов. При этом при достижении определенного уровня инвестиций в производство какого-нибудь отдельного фактора рост производства прекращается полностью, несмотря на увеличение рассматриваемого фактора.

4)
F
(
K
,
L
) =
F
(
K
,
L
)
— гипотеза однородности

5)
F
(0,
L
) =
F
(
K
, 0) = 0
— при отсутствии одного из ресурсов производство невозможно;

6) — для
F
(
K
,
L
,
t
)
— функция возрастает по времени, скорость возрастает зависит от объемов затраченных ресурсов.

Линейная модель производственной функции (функция с взаимозамещением ресурсов), задается уравнением:

= ,

где
b
₁
,
c
₁
>0
— частные эффективности ресурсов (предельный физический продукт затрат)

Для линейной модели функция невязок имеет форму

по
а
₀
,
b
₁
,
c
₁
. Производные по коэффициентам вычисляются из

приравниваем к нулю

Подставив данные из таблицы 2 приложения Б в систему, получим:

Решим систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Получим систему:

это и будет единственное решение заданной системы.

Следовательно, теперь мы можем построить производственную функцию:

=*K+*L.

Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя . Сравним полученные значения с существующими.

Таблица 1 — Существующие и вычисленные значения выручки по линейной производственной функции.

Год	Q _t	_t
Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения	Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения
2007	5570	1	5592,28	1,004
2008	6918	1,24	6935,224	1,245103
2009	9143	1,641	9046,922	1,624223
2010	10686	1,918	10750,26	1,930028

Рисунок 1 — Изокванты и изоклинали производственной функции.

Линейная производственная функция является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

На рисунке 1 изображены изокванты — кривые в пространстве двух ресурсов труда и капитала. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска
Q
₁
,
Q
₂
,
Q
₃
,
Q
₄
исследуемого предприятия.

1.2 Показатели эффективности использования ресурсов

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя показателями:

1. Средняя эффективность ресурса — функция .

2. Предельная эффективность ресурса — частная производная производственной функции .

Вычислим по данным нашего предприятия и построенной выше линейной производственной функции среднюю эффективность и предельную эффективность для ресурсов
K
(капитала) и L
(живого труда) взятых из таблицы 2 приложения А.

Таблица 2 — Средние эффективности ресурсов по годам.

год
2007	1	1
2008	0,962732919	0,900508
2009	1,039923954	1,08174
2010	1,042391304	1,122951

характеризует производительность труда, показывает степень результативности использования трудовых ресурсов и вычисляется по формуле .

показывает фондоотдачу (капиталоотдача), характеризует уровень плодотворности применения основного капитала (основных фондов) и вычисляется по формуле .

По полученным в таблице 2 видно что производительность труда и фондоотдача растет.

Предельная эффективность ресурса показывает на сколько увеличится выпуск продукции, при изменении затрат ресурса
i
на единицу.

Таблица Предельные эффективности ресурсов по годам.

год
2007	-0,0596756	1,582497
2008	-0,0433374	1,228647
2009	-0,039337904	1,00285
2010	-0,034938876	0,860053

Из таблицы 3, где показаны, вычисленные по данным предприятия, эффективности, средние значения равны -0,044322445, 1,168512. Из свойства предельной эффективности ресурса производственных функций следует, как правило, . Но у нас , то это означает, что эффективность использования ресурса
К
падает. Данное условие называют «законом убывающей предельной эффективности ресурсов». Стоит, однако, учитывать, что уменьшение предельной эффективности ресурса перестаёт быть законом, как только начинает учитываться научно-технический прогресс. Тогда средняя и предельная эффективность определённого (i
-го) ресурса при увеличении других ресурсов изменяется иначе и, как правило, выполняются отношения:

, , (1.4)

, , (1.5)

Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса
k
улучшает условия применения ресурса i
. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от фондовооружённости. Фондовооруженность — показатель, характеризующий оснащенность работников предприятий сферы материального производства основными производственными средствами. Фондовооруженность определяется как отношение стоимости основных средств предприятия к средней годовой списочной численности работников.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов может быть приближённо выражено дифференциалом

В таком случае условие эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке выводится из формулы:

(1.6)

В частности, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов
К
и L
,
(возьмем для нашего предприятия соответственно капитал и труд), определяется формулой:

(1.7)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль кривой изокванты. Таким образом, изокванты — убывающие функции по отношению к каждой оси координат. Предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рисунке 1 — предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости второго ресурса по отношению к первому.

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены равны, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рисунке 1 изображены изоклинали I и II.

При увеличении использования ресурса
L
его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают всё меньшее количество ресурса K
. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости уменьшается:

(1.8)

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты представлены вогнутыми кривыми. Если эта особенность проявляется на множестве всех
m
ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами:

1. Множества — выпуклые.

2. Изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат.

Для характеристики влияния каждого ресурса на объём выпуска используют помимо показателей эффективности использования ресурсов, и показатель эластичности выпуска от затрат различных ресурсов:

(1.9)

показывает на сколько изменится объём выпуска при изменении затрат
i
-го ресурса на единицу. Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (1.9) называется точечным. В общем же случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X
⁰
.

Вычислим коэффициент эластичности для
К
и L
ресурса по данным таблицы 2 приложения:

Проанализируем показатели из таблицы 4. Показатель эластичности выпуска от затрат
L
ресурса был эластичен на всем изучаемом периоде, так как его значение больше единицы. Показатель эластичности выпуска от затрат К
ресурса не эластичен на всем изучаемом периоде.

Таблица 4 — Коэффициенты эластичности ресурсов

год
2007	-0,5994	1,589503
2008	-0,67005	1,662018
2009	-0,56518	1,55903
2010	-0,53578	1,530601

Однако в экономических расчётах чаще используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки
X
⁰
, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X
⁰
. Такие коэффициенты называются дуговыми коэффициентами эластичности и рассчитываются по формуле:

(1.10)

Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат ресурсов применяется понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозаменяемости ресурсов _{/sub> характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов K

и L

к относительному изменению предельной нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов:}

_(1.11)

_{Величина представляет собой характеристику относительного изменения коэффициента взаимной замены ресурсов при изменении соотношения между ними. Если отношение взаимозаменяемых ресурсов изменится на процентов, то коэффициент взаимной замены изменится на 1 процент. В случае линейной производственной функции коэффициент взаимной замены остается неизменным при любом соотношении используемых ресурсов и поэтому можно считать, что эластичность . Соответственно большие значения свидетельствуют о том, что возможна большая свобода в замене производственных факторов вдоль изокванты и при этом основные характеристики производственной функции (продуктивности, коэффициент взаимозамены) будут меняться очень слабо. Чем выше эластичность взаимозаменяемости ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности ресурсы абсолютно взаимозаменяемы. При эластичности равной нулю, возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы дополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определённом комплекте.}

_{На рисунке 2 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности взаимозаменяемости ресурсов в интервале . «Прямоугольная ломанная ABC

— изокванта с эластичностью означает, что сокращением одного ресурса нельзя увеличить использование второго, то есть ресурсы абсолютно не взаимозаменяемые (у

₁

<у

₂

<у

₃

).}

Прямая АС
представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью. Она выражается формулой , где a
₁
и a
₂
— положительные числа» [24, 269].

Рисунок 2 — Эластичность взаимозаменяемости ресурсов

Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте постоянна и равна:

(1.12) , 1.3 Аддитивные и мультипликативные производственные функции

В экономическом моделировании используются аддитивные и мультипликативные производственные функции.

Аддитивные производственные функции имеют вид:

(1.13)

Линейные производственные функции являются аддитивными. Стоит отметить, что все члены в правой части равенства (1.13) должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью функции
y
, иначе их нельзя складывать. Постоянная a
₀
при этом соответствует той части выпуска, которая может быть приписана действию условно-постоянных затрат, т.е. затрат, не зависящих от интенсивности выпуска. Это относится ко всем аддитивным производственным функциям [23, 113].

Пример аддитивной функции был приведен и рассмотрен в первом и втором пункте этой главы на примере линейной производственной функции.

Процессу, для которого выбрана функция (1.13) должна быть присуща постоянная отдача на единицу масштаба и постоянная предельная эффективность факторов производства.

При
i
=2
изоквантами функции являются прямые. Следовательно, предельные нормы замещения ресурсов постоянны, т.е. предполагается, что определённый уровень выпуска может быть достигнут также при соответствующих затратах только одного какого-либо фактора. Этим свойством любая аддитивная функция отличается от мультипликативной.

Основной недостаток аддитивной функции заключается в том, что производственный результат будет положительным даже в том случае, когда один из ресурсов не используется вовсе, то есть, когда . Это означает следующее: например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какой-то производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу.

Именно поэтому чаще всего в экономических исследованиях используют мультипликативные производственные функции, в частности однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция называется однородной
n
-й степени, если выполняется следующее соотношение [23, 182]:

(1.14)

Это означает, что с ростом затрат производства в
л
раз результат производства вырастет в л
ⁿ
раз. Показатель степени однородности n
характеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат.

Теоретически возможны три случая:

1) Эффективность остаётся постоянной (
n=1
);

2) Эффективность падает (
n<1
);

3) Эффективность растёт (
n>1
).

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы [23, 102].

Если однородные функции
f
₁
и f
₂
удовлетворяют соотношению , то они имеют одно и то же семейство изоквант, но для функций с большим показателем степени n
изокванты сдвинуты ближе к началу координат.

Для однородных функций справедливо уравнение Эйлера:

(1.15)

Разделив обе части уравнения (1.15) на
y
, получим:

(1.16)

В соответствии с (1.9), выражение — это коэффициент эластичности
д
_i
. Поэтому n
равно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затратам ресурсов.

При
n
=1
формула (1.16) приобретает следующий экономический смысл:

. Так как — предельная эффективность единицы ресурса
i
, то можно интерпретировать как объём продукции, произведённой за счёт ресурса i
. Весь объём производства y
таким образом как бы складывается из частей, произведённых за счёт использования каждого ресурса по отдельности.

Однако изложенная экономическая интерпретация выражения имеет сугубо условный характер, так как нельзя забывать, что на самом деле продукция не может создаваться только путём сочетания ресурсов. Если какой-либо ресурс
s
абсолютно необходим для производства, то никакие затраты других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение показателей предельной эффективности заключается не в том, что он определяют роль каждого ресурса, а позволяют оценить степень влияния каждого из них на изменение объёмов выпуска.

1.4 Степенные производственные функции

Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида:

(1.17)

Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них
x
_s
=0
, то и объём выпуска y
=0
.

Параметр
б
интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем:

средняя эффективность ресурса
s
.
предельная эффективность ресурса
s
.
предельная норма эквивалентной замены ресурсов.
коэффициент эластичности производства по ресурсу
i
.
коэффициент эластичности замены ресурсов.

Частным случаем функции (1.17) является однородная функция первой степени, в которой и . Коэффициенты эластичности такой функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности.

В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом.

В 1928 году функция проверена на статистических данных Чарльзом Коббом и Полом Дугласом в работе «Теория производства». В этой статье была предпринята попытка эмпирическим путем определить влияние затрачиваемого капитала и труда на объем выпускаемой продукции в обрабатывающей промышленности США. Общий вид функции

где
А

технологический коэффициент;

б
— коэффициент эластичности по труду;

в
коэффициент эластичности по капиталу.

Если сумма показателей степени
(б + в)
равна единице, то функция Кобба Дугласа является линейно однородной, то есть она демонстрирует постоянную отдачу при изменении масштабов производства.

Если сумма показателей степени больше единицы, функция отражает возрастающую отдачу, а если она меньше единицы, — убывающую.

Изокванта, соответствующая функции Кобба Дугласа, будет выпуклой и «гладкой»

Для модели Кобба- Дугласа прологарифмируем функцию

lnQ
=
lnA
+
lnK
+
lnL
.

Тогда функция невязок будет выглядеть:

H
=
=
min
по
A
,
,

Частные производные по коэффициентам:

приравниваем нулю

Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа применительно к предприятию ООО «Квант»,построим систему по данным таблицы 2 приложения.

Решение производится методом Жордана-Гаусса. Заданная система уравнений имеет единственное решение:

Из решения системы получаем
l
=0.001763, , . Из чего производственная функция Кобба — Дугласа запишется

Q=1,001764 *K ^{-0.5890206547531}
L^{1.5950238648312}

Функция отражает зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала [28; 29, 85]. Эта производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависят от коэффициента б . Проверим адекватность производственной функции подставляя данные и вычисляя . Сравним полученные значения с существующими в таблице 5.

Производственная функция Кобба — Дугласа является приемлемой моделью производственной функции для предприятия ООО «Квант», поскольку этой модели соответствует незначительная ошибка и не большая сумма квадратов отклонений.

Таблица 5 — Существующие и вычисленные значения выручки по производственной функции Кобба — Дугласа.

Год	Q _t	_t
Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения	Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения
2007	5570	1	5581,14	1,002
2008	6918	1,24	6921,602	1,242657
2009	9143	1,641	9038,64	1,622736
2010	10686	1,918	10768,92	1,933378

(1.18)

При этом обязательным условием существования функции является:

0<
б
<1
(1.19)

У полученной производственной функция Кобба — Дугласа коэффициент отрицателен это означает, что с увеличением объема трудовых затрат объемы выпуска продукции абсолютно снижаются — это абсурдно, такое значение коэффициента вообще не имеет смысла в экономической теории. Нереально и допущение, что равен или больше единицы, что означает увеличение только трудовых ресурсов, например, в два раза при неизменном количестве остальных производственных ресурсов обеспечивает прирост выпуска продукции в два раза (если ) или даже более чем в два раза (если ).

Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид:

Соответственно, предельная норма замещения будет:

а коэффициенты эластичности:
E
_L
= б
; E
_K
= 1 — б
.

На рисунке 3 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма
Q
.

Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения — при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондов c
K
₁
до K
₂
приводит к сокращению трудовых ресурсов от L
₁
до L
₂
, причём

При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются.

На рисунке 3 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда .

Рисунок 3 — Изокванты и изоклинали производственной функции Кобба-Дугласа

Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ).

Её общий вид:

(1.20)

Функция (1.20) является однородной производственной функцией степени
n
и получается путём решения дифференциального уравнения (1.11) при у
=
const
. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть: . При этом или .

Если , то , если же , то . При функция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.17) [30, 169].

Как уже отмечалось ранее,
у
определяет форму изоквант. Если , то и форма изоквант приближается к линейной. Если же , то и форма изоквант приближается к прямоугольной.

В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще — функция Кобба-Дугласа)[ 31; 37; 32; 33;] либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) — это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

, (1.21)

где
j
— параметр НТП;

t
— время.

Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа.

Производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции [35, 217]).

То есть оценивается не само уравнение (1.18), а следующее:

(1.22)

Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными [34, 576].

Если с помощью оценок модели (1.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии:

, (1.23)

где
е
— случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК).

Пропотенцировать левую и правую части равенства (1.23), получим:

(1.24)

Сравнивая (1.21) и (1.24), получим, что .

То есть ошибка аппроксимации
е
, которую Р. Солоу приписал НТП, и является причиной смещения [17, 79].

Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства.

2. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ ООО «КВАНТ»

2.1 Линейная действительная производственная функция комплексного аргумента

Обычно в теории производственных функций переменными выступают объём производства
Q
, затраты труда L
и затраты капитала K
, как наиболее существенные факторы и результат производства. Из множества производственных ресурсов выбираются эти два — труд и капитал, поскольку до определённой степени они являются взаимозаменяемыми — один и тот же объём производства Q
может быть достигнут при разных соотношениях K
и L
и неизменном количестве прочих производственных ресурсов. Представим производственные ресурсы K
и L
в виде комплексной переменной . Тогда производственная функция в общем виде будет выглядеть так:

Здесь
K
, L
, и Q
— положительные действительные числа. Отнесение K
в действительную часть, а L
— в мнимую условна и не играет принципиального значения. В такой функции комплексному числу сопоставляется действительное число Q
.

В простейшем случае связать затраты труда
L
и капитала K
с результатами производства Q
можно следующим образом [18, 4]:

. (2.1)

Здесь
a
₀
и a
₁
— действительные числа. Первый сомножитель, представляющий собой комплексное число , помогает связать в одной модели производственные затраты и результаты, но требует самостоятельного научного исследования.

Осуществляя перемножение сомножителей в правой части равенства (2.1) и группируя вещественную и мнимую части, получим:

. (2.2)

В результате имеем комплексное число, вещественная часть которого равна
Q
_t
, а мнимая часть должна быть равна нулю в силу того, что в левой части равенства мнимой части нет, то есть она представлена произведением i
0
. Следовательно, производственная функция (2.1) представляет собой аддитивную модель вида:

, (2.3)

где коэффициенты
а
₀
и а
₁
представляют собой части одного комплексного числа.

Именно последнее обстоятельство предопределяет особенность свойств предложенной модели производственной функции комплексного аргумента. Использовать просто модель (2.3) в данном случае нельзя, поскольку должно выполняться ещё и условие

. (2.4)

Решение системы уравнений (2.3) и (2.4) позволяет найти искомые значения коэффициентов
а
₀
и а
₁
.

Для того чтобы показать применимость предлагаемого метода построения производственной функции комплексного аргумента воспользуемся конкретными экономическими данными таблицы 2 приложения. Исследуем производственную деятельность предприятия ООО «Квант».

Подставляя данные из таблицы 2 приложения в систему уравнений:[19]

(2.5)

Получаем таблицу 6 коэффициентов
а
₀
и а
₁
по годам. Система уравнений считалась методом Гаусса в математическом пакете Maple. Мемтод Гамусса

классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Таблица 6 — Коэффициентов
а
₀
и а
₁
по годам полученная из системы уравнений(2.5).

годы	а ₀	а ₁
2007	0,5	0,5
2008	0, 4289	0,4532
2009	0,5377	0,5402
2010	0.5715	0,5658

Но тот же самый результат можно получить и используя непосредственно модель (2.1).

Для этого определим комплексное число коэффициентов через объёмы и ресурсы, сделав несколько элементарных преобразований:

(2.6)

Полученное равенство, как это следует из свойств комплексных чисел, выполняется только в том случае, когда равны друг другу вещественные и мнимые части комплексных чисел в его левой и правой частях. Это свойство позволяет легко получить формулы для расчёта коэффициентов. Действительно, раскрывая скобки и группируя отдельно вещественную и мнимую части, получаем формулы для вычисления каждого из коэффициентов:

и . (2.7)

Подставим в уравнение (2.7) данные таблицы 2 приложения, найдем
а
₀
и а
₁
. Численные значения, вычисленные по уравнениям (2.7) абсолютно идентичны значениям, вычисленным по системе уравнений (2.5).

Эти формулы позволяют не только найти численные значения коэффициентов по известным значениям затрат и результатов, но и дать экономическую интерпретацию значений каждого из коэффициентов
а
₀
и а
₁
.

Если все исходные переменные равны единице, то в этом случае коэффициент
а
₀
и коэффициент а
₁
равны друг другу и принимают значение равное 0,5
. То есть, если с течением времени экономическая система не развивается во времени, затраты ресурсов и результаты остаются неизменными, то и коэффициенты остаются неизменными и равными 0,5. Естественно, этот случай следует признать чрезвычайно редким.

Равенство между коэффициентами, как это легко увидеть из (2.6), возможно только в том случае, когда равны друг другу значения ресурсов:
L
_t
=
K
_t
. Во всех остальных случаях будет наблюдаться неравенство между коэффициентами. Когда L
_t
>
K
_t
, то а
₁
> а
₀
, а когда L
_t
<
K
_t
то а
₁
< а
₀
. Из таблицы 6 мы наглядно видим подтверждение этих условий на примере предприятия ООО «Квант».

Как следует из (2.7) коэффициент
а
₁
отражает изменение интенсивности использования трудовых ресурсов, а коэффициент а
₀
отражает изменение интенсивности использования капитальных ресурсов. Поэтому данные коэффициенты можно назвать — коэффициенты использования ресурсов.

Из (2.7) следует ещё одно очевидное свойство коэффициентов, а именно:

. (2.8)

Проверим это свойство на данных нашего предприятия в таблице 7.

Рассмотрим возможные пределы изменения этих коэффициентов в зависимости от изменения того ресурса, поведение которого он отражает, то есть:

и .

Таблица 7 — Значения условия (2.8)

годы
2007	1	1
2008	1.056	1.056
2009	1.004	1.004
2010	0.989	0.989

Как следует из (2.7), каждый из коэффициентов при стремлении одного из параметров к нулю сам стремится к нулю, а при стремлении одного из параметров к бесконечности, вновь устремляется к нулю. Поэтому очевидно, что рассматриваемые функции имеют экстремум, который и следует найти.

С учётом симметричности коэффициентов, достаточно изучить только один из них, тогда поведение другого коэффициента также будет известно.

Рассмотрим для определённости коэффициент использования трудовых ресурсов
а
₁
.

Что касается зависимости коэффициента
а
₁
от другого ресурса, а именно, капитальных затрат К
_t
при фиксированном значении L
_t
, то формула (2.7) показывает, что при К
_t
=0
коэффициент принимает своё максимальное значение. С ростом капитальных затрат и постоянстве трудовых затрат значения коэффициента а
₁
начинают убывать по гиперболе и стремятся к нулю при стремлении капитальных затрат к бесконечности.

Аналогично ведёт себя и коэффициент
а
₀
при фиксированном значении К
_t
и изменении трудовых затрат L
_t
от нуля до бесконечности.

Зависимость значений коэффициентов от
Q
_t
ещё более простая — с ростом Q
_t
значения каждого коэффициента использования ресурсов линейно возрастают.

Для уточнения характера изменения коэффициента
а
₁
от L_t
который представляет собой в соответствии с (2.7) функцию от нескольких переменных, найдём частную производную коэффициента использования трудовых ресурсов по труду. Она будет равна:

(2.9)

Для нахождения экстремума функции приравняем нулю эту производную:

, (2.10)

откуда легко найти условие, при котором коэффициент
а
₀
принимает максимальное значение, а именно:

. (2.11)

С учётом не отрицательности переменных, получаем, что и коэффициенты
а
₀
, и а
₁
принимают свои максимальные значения только в том случае, когда относительное значение затрат труда равно относительному значению затрат капитала, то есть:

. (2.12)

Учитывая (2.12) из формулы для вычисления коэффициентов (2.8), легко найти максимальные значения коэффициентов:

. (2.13)

Итак, можно сделать вывод о том, как меняются значения коэффициентов использования ресурсов.

Коэффициент
а
₁
при фиксированном положительном значении ресурса К
_t
равен нулю при равенстве нулю ресурса L
_t
; коэффициент а
₀
при этом больше нуля. При возрастании трудовых затрат L
_t
от нуля до значения, определяемого равенством (2.12) коэффициент а
₁
возрастает. При значениях ресурса L
_t
, равного ресурсу К
_t
, коэффициент а
₀
достигает своего максимального значения (2.13).

При этом его значения равны коэффициенту а
₁
. С дальнейшим ростом значений трудовых ресурсов коэффициент а
₀
уменьшается и стремится к нулю при стремлении значений L
_t
к бесконечности. На этом участке коэффициент а
₀
, в силу (2.8), всегда больше коэффициента а
₁
, который также уменьшается с ростом L
_t
.

Таким же образом в зависимости от капитальных ресурсов
К
_t
ведёт себя и другой коэффициент — коэффициент использования капитальных ресурсов.

Любая производственная единица, будь то отдельно взятое предприятие или хозяйство всей страны, развивается во времени. При этом меняются технологии производства, вызывая изменения производительности труда и производительности оборудования. Эти изменения отражаются в производственной функции изменением коэффициентов использования ресурсов.

С этих позиций коэффициенты
a
₀
и а
₁
можно рассмотреть как некоторые функции от времени: а
₁
=
f
₁
(
t
)
, а
₀
=
f
₀
(
t
)
. Но так как указанные коэффициенты являются частями одного комплексного числа, то эти зависимости следует рассмотреть в комплексе. То есть, рассматривая коэффициенты в динамике, следует найти зависимость

. (2.14)

Рассмотрим эту задачу с помощью графического метода, поскольку данное комплексное число может быть отображено на плоскости (
а
₀
; а
₁
), где коэффициенты использования ресурсов выступают в качестве осей координат данной плоскости.

Динамика изменения комплексного числа во времени может иметь самый различный вид, но если эта динамика может быть описана в виде зависимости

, (2.15)

то она представляет особый интерес.

С учётом того, что в теории производственных функций за точку отсчёта принимаются начальные значения динамических рядов, их относительные значения будут равны единице, а это означает, что в начальной точке коэффициенты
а
₀
и а
₁
будут равны друг другу и равны 0,5 (как это следует из (2.7)).

В теории производственных функций принята именно эта точка отсчёта, поэтому в дальнейшем будем считать, что все исходные переменные приведены к начальным значениям. Иные случаи будут оговорены отдельно.

Так как значения коэффициентов использования ресурсов лежат в пределах от нуля до бесконечности, возможны четыре варианта динамики коэффициентов из начальной точки (0,5; 0,5) , а именно:

1) когда оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину 0,5;

2) когда оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5;

3) когда значения коэффициента
а
₁
возрастают и превышают 0,5, а значения коэффициента а
₀
уменьшаются;

4) когда значения коэффициента
а
₁
уменьшаются, а значения коэффициента а
₀
возрастают и остаются больше 0,5 [18, 13].

Коэффициенты, полученные по данным из таблицы 1 описывают, четвертый вариант динамика коэффициентов.

Эти четыре варианта динамики представлены на рисунке 2.2. Впрочем, возможны и более сложные варианты динамики, представляющие собой комбинацию четырёх исходных.

Рисунок 4 — Варианты динамики коэффициентов.

На рисунке 4 изображена плоскость возможных значений изменения коэффициентов использования ресурсов
а
₀
и а
₁
. На плоскость нанесены две перпендикулярные прямые, показанные пунктирными линиями, проходящие через отрезки на осях, равные 0,5. Пересечением этих двух прямых является точка, в которой каждый из коэффициентов равен 0,5. Именно эта точка и является начальной. Эти две прямые также делят плоскость значений коэффициентов на четыре области, которые на рисунке пронумерованы так, чтобы каждая область соответствовала указанным выше четырём вариантам динамики коэффициентов.

Рисунок 5 — Динамика коэффициентов по отношению друг к другу по данным ООО «Квант»

С учётом того, что каждый из коэффициентов представляет собой сложную зависимость от трёх факторов — объёма
Q
_t
, трудовых L
_t
и капитальных затрат К
_t
, точно определить условия для каждого типа динамики достаточно сложно, и это должно быть предметом особого научного исследования. Тем не менее, можно, исходя из (2.7) и рисунка 4, наметить некие общие условия, характерные для каждого из четырёх вариантов динамики.

Дадим интерпретацию каждого из типов совместной динамики коэффициентов использования ресурсов (таблица 1 приложение А).

Первый вариант предусматривает превышение значений двух коэффициентов от начальной точки 0,5. Это возможно в том случае, когда трудовые и капитальные ресурсы сбалансированы, а отдача их увеличивается. Такой вариант развития событий характерен для сбалансированной экономики с устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи.

Второй вариант характерен снижением величин обоих коэффициентов использования ресурсов относительно их начальной точки в 0,5. Как следует из рисунка 4, это возможно в условиях дисбаланса, при структурной перестройке производства, когда один из ресурсов используется в большей степени, чем другой, а отдача ресурсов не увеличивается. Эта зона — зона кризисной динамики.

Третья зона предполагает рост коэффициента использования трудовых значений выше начального значения, и снижение величин коэффициента использования капитальных ресурсов. Увеличение значений
а
₁
по сравнению с а
₀
возможно только в ситуации, когда трудовые ресурсы привлекаются в большей степени, чем капитальные. В то же время, рост самого значения коэффициента а
₁
свидетельствует о том, что растут и объёмы производства. Следовательно, процесс трудоинтенсивный с повышающейся фондоотдачей.

Четвёртая зона предполагает снижение коэффициента использования трудовых ресурсов относительно начального значения и повышение величин коэффициента использования капитальных ресурсов. Увеличение значений
а
₀
по сравнению с а
₁
возможно только в ситуации, когда капитальные ресурсы привлекаются в большей степени, чем трудовые. При этом наблюдается и рост производства. Значит, фондоотдача уменьшается, а производительность труда растёт.

Приведённые выше выкладки и примеры показывают возможность использования предлагаемой функции (2.1) для целей анализа сути происходящих производственных процессов.

В теории производственных функций и экономическом анализе активно используются графические интерпретации производственной функции Кобба-Дугласа, а именно — линии под названием «изокванты» и «изоклинали».

Изокванты, как известно, показывают, как может меняться структура использования ресурсов — труда и основного капитала, если объём производства сохраняется неизменным
Q
_t
=
Q
=
const
. По сути, изокванты характеризуют изменение издержек производства при различных сочетаниях труда и основного капитала, если объёмы производства остаются неизменными. Графически изокванта представляет собой прямую на плоскости ресурсов, все точки на которой, характеризуют один и тот же объём производства. Чисто математически изокванты представляют собой зависимость затрат труда от затрат капитала при постоянстве объёмов производства. Найдём эту зависимость для производственной функции комплексного аргумента. Как следует из (2.1), уравнение изокванты будет представлено в виде:

(2.16)

Или, после небольших преобразований:

. (2.17)

Поскольку в левой части равенства действительная часть равна нулю, то и в правой части равенства действительная составляющая должна быть равна нулю. С учётом того, что , выразив из него
а
₁
и подставив полученное выражение в вещественную часть равенства (2.17), получим искомое уравнение изокванты:

(2.18)

При
K
_t
=0
и L
_t
=0
. При значение вновь становится равным нулю. Очевидно, что между этими двумя точками есть точка максимума. Определить эту точку достаточно просто — следует взять первую производную функции по капитальным ресурсам (поскольку объёмы производства остаются величиной постоянной) и приравнять её нулю. В результате получим точку, в которой изокванта достигает своего максимума:

(2.19)

С ростом значений
Q
будет получено семейство изоквант, каждая из которых выходит из нулевой точки, постепенно возрастая до максимальной точки, определяемой условием (2.19), а затем уменьшаясь до нулевых значений трудовых ресурсов в точке .

Теперь выведем уравнение изоклинали для производственной функции комплексного аргумента. Изоклинали, как известно, строятся для ситуации, когда при выбранной технологии производства неизменной остаётся себестоимость произведённой продукции, а её объём увеличивается с увеличением затрат ресурсов. Графически изоклиналь представляет собой линию на плоскости ресурсов, все точки на которой характеризуют такие объёмы производства (результаты), которые достигаются при одном и том же способе производстве, одной и той же пропорции между ресурсами, но при разных величинах капитальных и трудовых ресурсов. Математическим условием для построения изоклинали выступает условие сохранения одной и той же пропорции между трудовыми и капитальными затратами, то есть:

. (2.20)

Подставляя это значение в (2.1), получим для изоклиналей:

(2.21)

Раскрывая скобки и группируя вещественную и мнимую части комплексного числа, получим:

откуда со всей очевидностью следует искомое уравнение изоклинали:

. (2.22)

Это уравнение представляет собой прямую линию, выходящую из нулевой точки на плоскости ресурсов, тангенс угла наклона которой равен сомножителю перед ресурсом
L
_t
.

Поскольку графики изоквант и изоклиналей обычно располагается на плоскости ресурсов, то с учётом (2.18), по вертикальной оси откладываются значения трудовых ресурсов, а по горизонтальной — значения капитальных ресурсов. Поэтому уравнение изоклинали следует представить как зависимость величины трудовых ресурсов от капитальных ресурсов при росте объёма производства, но сохранении пропорции (2.20).

В этом случае оно принимает элементарный вид:

На рисунке 1 показаны изокванты и изоклинали для линейной производственной функции комплексного аргумента.

Подобный вид изоквант характерен для производства с полной взаимозаменяемостью ресурсов.

Можно сделать вывод о том, что взаимозаменяемость ресурсов абсолютно эластична (то есть эластичность бесконечна).

Предельная норма замены ресурсов в нашем случае, в соответствии с (1.7) будет равна:

Рисунок 6 — Линии изоквант и изоклиналий производственной функции комплексного аргумента

производственный функция ресурс аддитивный мультипликативный

Для предприятия ООО «Квант» предельная норма замены ресурсов по годам будет соответственно равна 2007год 1, 2008 год , 2009год , 2010 год .

Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант:

1. Изокванты никогда не пересекаются друг с другом;

2. Большему выпуску продукции соответствует более удалённая от начала координат Изокванта.

3. Если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не пересекают оси координат.

Мы рассмотрели простейшую из возможных производственных функций. Как видно, даже у такой простой производственной функции есть уникальные свойства, которых нет ни у каких других производственных функций действительных переменных. Например, возможность рассчитать коэффициенты функции для каждого наблюдения, а не для ряда наблюдений, а также пополнить теорию производственных функций аппаратом для анализа происходящих в производстве процессов.

2.2
Линейная комплексная производственная функция комплексных переменных

Изученные в предыдущей главе производственные функции комплексного аргумента расширяют инструментальную базу теории производственных функций и обладают рядом новых свойств, которые могут быть важными для исследователя. Однако каждая из них всё же не обладает всеми преимуществами, которые может дать экономисту теория функций комплексного переменного. Выше мы использовали как комплексную только одну переменную — производственные ресурсы, которая выступала в производственной функции как её аргумент. В качестве производственного результата мы рассматривали действительную переменную — объём производства. Уже этот подход дал новые результаты — простая модель комплексного аргумента соответствует в области действительных чисел очень сложным моделям.

Но принципиально важной и новой, не имеющей аналогов в современной теории производственных функций действительных переменных, является производственная функция, использующая две комплексные переменные: первая, это затраты ресурсов; вторая, это комплексный производственный результат.

Результат производства может быть представлен разными показателями, но наиболее общее представление о нём дают два — объём производства и затраты этого производства.[20] Тогда результат производства также будем представлять в виде комплексной переменной, связывающей объём производства и издержки производства:

, (2.23)

где
Q
_t
— объём производства;

С
_t
— затраты производства.

Две комплексные переменные (зависимую и независимую) можно связать некоторой функциональной зависимостью:

, (2.24)

а это уже — функция комплексных переменных.[20]

Функций, которые связывают комплексные переменные и бесконечно много. Так как производственные процессы отличаются друг от друга следующими особенностями:

;

уровнем иерархии (предприятие, группа предприятий, региональное производство, национальное производство, мировое производство и т.п.),

;

спецификой производства (сельскохозяйственное производство, машиностроение, лёгкая промышленность, нефтедобыча, производство электроэнергии и т.п.),

;

национально-географическими особенностями (трудоизбыточное население или трудодефицитное; наличие источников сырья и транспортных узлов; тёплый, жаркий или холодный климат и т.п.),

то общей производственной функции комплексных переменных, которая наилучшим образом описывает эти производственные процессы, меняя лишь в зависимости от ситуации значения своих коэффициентов, не существует. Это может быть линейная функция, а может быть и, например, логарифмическая функция комплексных переменных. В каждом случае экономист должен выбрать из имеющегося множества возможных функций наилучшую.

В этом параграфе работы мы рассматриваем линейную функцию комплексного переменного, являющуюся частным случаем степенной производственной функции комплексного переменного, в которой показатель степени равен единице.

Самая простая — линейная функция комплексных переменных выглядит так:[20]

Но она не представляет особого интереса, поскольку, раскрыв а ней скобки, получим элементарное равенство:

Из которого следует, что , а .

Конечно, в определённых случаях эта модель может быть использована в экономической практике, но универсальной её назвать нельзя.

Более широко применимой для целого ряда случаев может быть линейная функция более сложного вида, а именно:[20]

. (2.25)

Здесь, как и в случае (2.1) вводится комплексный коэффициент (
b
₀
+ib
₁
), исследование которого и представляет особый интерес. Прежде всего, надо определить способ вычисления коэффициентов и изучить особенности каждого из них. Для этого найдём комплексный коэффициент из равенства (2.25):

Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на сопряжённый знаменателю сомножитель, получим:

Откуда после группировки вещественной и мнимой частей легко определяются коэффициенты
b
₀
и b
₁
этой формы производственной функции комплексных переменных:

, (2.26)

. (2.27)

Если за точку отсчёта принять первое наблюдение, а все остальные значения привести к относительным значениям, то коэффициент
b
₀
будет равен единице, а коэффициент b
₁
— нулю. Впрочем, за точку отсчёта можно взять не только начальное, но и любое другое значение, например, последнее. Тогда именно для этого года наблюдения за производственным процессом коэффициент b
₀
будет равен единице, а коэффициент b
₁
будет равен нулю.

Найдем значения коэффициентов по данным таблицы 2 приложения А.

Таблица 8 — Коэффициенты производственной функции (2.25)

год	Коэффициент b ₀	Коэффициент b ₁
2007	1	0
2008	0,883895	-0,01776
2009	0,998421	-0,0801
2010	0,988596	-0,12472

В отличие от коэффициентов производственной функции комплексного аргумента (2.1) дать экономическую интерпретацию коэффициентам функции (2.25) непросто. Знаменатели у этих коэффициентов, как и в случае (2.7), одинаковы, но числители имеют более сложный характер. Коэффициент
b
₀
будет линейно расти с ростом, как объёма производства, так и с ростом издержек производства при постоянстве затрат ресурсов это видно из таблице 8. Также он будет расти и при увеличении ресурсов, затраченных в производстве. Относительно второго коэффициента b
₁
, можно сказать, что он будет увеличиваться с ростом себестоимости и, в некоторой степени, с увеличением основных производственных фондов. Если ресурсы, и результаты растут прямо пропорционально, то этот коэффициент остаётся постоянным.

Если раскрыть скобки равенства (2.25) и сгруппировать вещественную и мнимую части, то получим:

откуда вещественная часть равенства:

, (2.28)

а мнимая:

. (2.29)

Любопытно, что полученные значения позволяют определить прибыль производства в относительных величинах. Действительно, если
Q
_t
— выручка, а C
_t
— издержки производства, то имеем для этого:

(2.30)

Для того чтобы говорить именно о прибыли, а не о некоем её «аналоге», значения
Q
_t
и C
_t
надо приводить к относительным величинам так, чтобы они были связаны друг с другом. Например, по формулам:

, ,

где — фактическое значение объёма выпуска,

фактическое значение суммарных затрат на наблюдении
t
.

То есть такая прибыль
G
_t
в относительных величинах, находящаяся как разность Q
_t
и C
_t
, будет:

Легко заметить, что расчётное значение прибыли в абсолютных величинах в таком случае должно находиться по формуле:

Прибыль предприятия за анализируемый период составила в относительных величинах значения указанные в таблице 9 значения растут год от года.

Таблица 9 — Прибыль предприятия ООО «Квант», вычисленная с помощью производственной функции комплексного переменного

год	Прибыль, G
Относительные значения	Абсолютные значения, тыс.руб.
2007	0,487	2712
2008	0,669	3726
2009	0,901	5018
2010	0,976	5436

Кроме того, рентабельность производства может быть найдена из отношения:

. (2.31)

Рентабельность, относительный показатель экономической эффективности. Рентабельность комплексно отражает степень эффективности использования материальных, трудовых и денежных ресурсов, а также природных богатств. Коэффициент рентабельности рассчитывается как отношение прибыли к активам, ресурсам или потокам, её формирующим. Может выражаться как в прибыли на единицу вложенных средств, так и в прибыли, которую несёт в себе каждая полученная денежная единица.

Таблица — Рентабельность предприятия ООО «Квант» найденная по (2.3.1)

год	Рентабельность
2007	0,949318
2008	1,171629
2009	1,217568
2010	1,036093

Полученные по формуле (2.31) значения рентабельности показаны в таблице 10.

Стоит заметить, что при расчёте рентабельности по формуле (2.31), используются относительные величины, однако результат будет численно равен рентабельности производства, рассчитанной по фактическим данным, так как выполняется равенство:

Формулы (2.26) и (2.27) дают возможность найти соответствующие значения коэффициентов линейной производственной функции комплексных переменных (2.25) для каждого наблюдения. Для этого следует только подставить в них имеющиеся статистические данные. Руководство Дивенского предприятия ООО «Квант» любезно предоставило нам необходимые статистические данные по своему предприятию. Абсолютные значения производства на этом комбинате приведены в таблице 2 приложения. Используя значения выручки, издержек производства, фонда оплаты труда и величины основных производственных фондов, построим производственную функцию типа (2.25).

Для этого приведём все значения к безразмерным относительным величинам. За единицу примем данные за февраль 2010 года. Все остальные исходные значения переменных приводятся к этим данным (таблица 2 приложения ).

Из таблицы видно, что коэффициенты функции меняются во времени. При этом коэффициент
b
₀
в динамике явно не линеен: его значения то возрастают то убывают.

Значения коэффициента
b
₁
также колеблются, но если коэффициент b
₀
несколько раз пересекал стартовое значение, равное пяти, то коэффициент b
₁
нулевые значения так и не пересёк, всё время оставаясь отрицательным.

Таблица 11- Коэффициенты производственной функции (2.25) вычисленные по месячным данным за 2010 год предприятия ООО «Квант»

2010г.	Коэффициент b ₀	Коэффициент b ₁
февраль	5,381924	-5,01792
март	5,521176	-4,78346
апрель	5,346825	-4,74018
май	5,265493	-5,63945
июнь	5,367999	-5,65697
июль	5,710321	-5,19906
август	5,15296	-5,20024
сентябрь	5,476155	-6,23168
октябрь	4,665884	-4,70588
ноябрь	5,19835	-5,19055
декабрь	5,931421	-5,86092

Любые изменения коэффициентов, поскольку они представляют собой упорядоченную во времени последовательность значений, можно описать трендами.

Если спрогнозировать тенденции изменения ОПФ и трудовых ресурсов, то можно получить и прогнозы возможной динамики объёма и затрат при сохранении этих тенденций. Для этого в полученную модель следует подставить тренды изменения ОПФ и трудовых ресурсов.

Способ непосредственной оценки параметров производственной функции комплексной переменной с помощью МНК может показаться более сложным, но на самом деле это не так. Для начала введём следующие обозначения:

; ; .

Тогда критерий МНК будет иметь вид:

Для того чтобы вывести формулы для нахождения коэффициентов
b
₀
и b
₁
надо найти производную функции F
(
b
)
по b
и приравнять её нулю. Тогда получим простое уравнение:

которое имеет единственный корень:

или, подставив значения
X
, Y
и b
:

(2.32)

Умножив числитель и знаменатель правой части этого равенства на число сопряжённое знаменателю, получим:

(2.33)

Далее, раскрывая скобки в (2.33) и группируя действительную и мнимую части, получим следующие формулы для нахождения коэффициентов производственной функции (2.25) с помощью МНК:

(2.35)

(2.36)

По данным таблицы по годам были вычислены значения коэффициентов.

Подставляя их в (2.25), получим модель производственной функции комплексных переменных для предприятия:

Эта модель может быть использована для многовариантных расчётов, в том числе для прогнозирования объёмов и затрат производства. Значения действительной части полученной производственной функции является относительное численной значение прибыли, а мнимая часть — издержками.

3. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОИЗВОДСТВА ПРЕДПРИЯТИЯ ООО «КВАНТ» С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Как было показано в первой главе, с помощью производственных функций можно решать задачи прогнозирования и выполнять анализ работы предприятия. В случае с производственной функцией Кобба-Дугласа, находят значение коэффициента
б
методом наименьших квадратов по ряду данных, а далее, по этому значению делают выводы о том, какой характер имеет производственный процесс, дают рекомендации о его совершенствовании и прогнозируют, каким может быть объём продукции при сохранении технологии производства. В частности, исследователи часто дают экономическую интерпретацию показателям степени в производственной функции Кобба-Дугласа, однако делать это нужно очень осторожно, так как коэффициенты находятся не для каждого наблюдения, а для ряда данных. Так экономисты говорят, что если б>0,5
, то процесс производства фондоинтенсивный. Если же он меньше 0,5
, то говорят, что наблюдается трудоинтенсивный процесс производства. Однако параметры модели зависят лишь от критериев оценки, и полученные результаты субъективны. Оценивая показатели степени по данным, взятым в разных временных интервалах, можно получить противоречащие друг другу выводы — что производственный процесс одновременно трудоинтенсивен и фондоинтенсивен [21, 76]. Ниже на реальном примере мы покажем, что давать интерпретацию показателям степени, найденным по ряду данных, не совсем корректно.

Построим некоторые из рассмотренных в дипломной работе производственные функции для предприятия ООО «Квант» по данным таблицы 3 приложения А (по квартальные данные), проанализируем по этим функциям работу предприятия и выработаем общие рекомендации по совершенствованию производственных процессов. Также для каждой производственной функции будем рассчитывать значения средней ошибки аппроксимации [21, 107], чтоб иметь представление о том, насколько хорошо она описывает имеющийся ряд данных, по следующей формуле:

(3. 1)

где — среднее фактическое значение объёма выпуска, рассчитанное по всему рассматриваемому ряду данных;

фактическое значение объёма выпуска для наблюдения
t
;
расчётное значение объёма выпуска для наблюдения
t
;

n
— количество наблюдений.

3.1 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант» с помощью действительных производственных функций

Построим производственной функции Кобба-Дугласа. Рассмотрим для наглядности три варианта ряда данных таблицы 4 приложения, отличающихся длиной наблюдений.

Для всего ряда данных, с 1 квартала 2007года по 2 квартал 2010 года получим систему

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x ₁
=-0.021669

x ₂
=0.382358

x ₃
=0.717380

Откуда,
lnA
=-0.021669, A
=e ^-0.021669
=0,978563.

Для всего ряда данных, с 1 квартала 2007года по 2 квартал 2010 года, у нас получилась следующая производственная функция:

(3. 2)

Она хорошо описывает динамику производства, средняя ошибка аппроксимации получилась равной 6,493386
%
. Так как коэффициент равен, то можно сделать вывод о том, что производственный процесс в этот период был трудоинтенсивным.

Далее для ряда наблюдений с 1 квартала 2009 по 4 квартал 2010 года получим систему:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x1=-0.174064

x2=1.601381

x3=-0.047292

Откуда
A
=e ^0,174064
=0,8402427

Для всего ряда данных, с 1 квартала 2009года по 4 квартал 2010 года, у нас получилась следующая производственная функция:

(3. 3)

Средняя ошибка аппроксимации получилась ещё меньше, чем для предыдущих производственных функций и получилась равной 1,36444012
%
. Но коэффициент, то есть он выходит за границы (1. 19), определённые во втором параграфе первой главы — он больше единицы. В теории производственных функций такое значение коэффициента вообще не имеет смысла.

Последнюю производственную функцию Кобба-Дугласа построим для ряда из четырех наблюдений с 1 квартала 2010 по4 квартал 2010 года. Получим систему:

Заданная система уравнений имеет единственное решение:

x1= 3.901892

x2=-7.525447

x3= 1.279300

Откуда
lnA
=3.901892, A
=e ^3.901892
=49,495982

Эта функция выглядит следующим образом:

(3.4)

Средняя ошибка аппроксимации получилась равной 23.00417
%
. Коэффициент выходит за границы (1.19), определённые в четвертом пункте первой главы — он меньше нуля. В теории производственных функций такое значение коэффициента вообще не имеет смысла.

Анализируя проведённые расчёты по производственной функции Кобба-Дугласа, можно сделать вывод о том, что процесс производства на Диатомовом комбинате одновременно трудоинтенсивен и капиталоинтенсивен, а для последних 8 наблюдений его характер вообще невозможно определить, что абсурдно. Получается, что давать интерпретацию коэффициентам производственной функции, найденным по ряду наблюдений действительно неправильно. Однако это не означает, что производственной функцией Кобба-Дугласа нельзя пользоваться — все полученные функции хорошо описывают динамику производства и позволяют сделать прогноз того, каким будет объём выпуска при разных значениях
K
и L
.

Рассмотрим в качестве примера 8 различных возможных вариантов принятия решения предприятием:

1. Увеличить стоимость основных производственных фондов до 200 тыс. руб., сохраняя численность персонала неизменной.

2. Нанять сотрудников, чтоб численность персонала составила человек, не делая инвестиций в основные производственные фонды.

3. Увеличить стоимость основных производственных фондов до 200 тыс. руб., увеличив численность персонала до человек.

4. Уменьшить стоимость основных производственных фондов до 100 тыс. руб., не меняя численность персонала.

5. Увеличить численность персонала до человек и уменьшить стоимость основных производственных фондов до 100 тыс. руб.

Для сравнения также приведём значения объёма производства для последнего наблюдения из таблицы 3 приложения А (то есть, фактически, для ситуации, когда
K
=
const
и L
=
const
).

Значения объёма выпуска соответствующих производственных функций для этих 5 ситуаций приведены в таблице ниже. В ней подчёркнуты максимальные значения объёма производства для каждой производственной функции, полученные по данным таблицы 4 приложения.

Таблица — Прогноз по производственной функции Кобба — Дугласа

Значения K и L	Производственная функция Кобба-Дугласа
(3.4.2)	(3.4.3)	(3.4.4)
K=const , L=const	2592	2910,26	1376,1
/i> 200 , L=const	3108,88036	2987,51637	1996,51126
K=const, /i>	2883,09214	5295,17599	99,6676802
/i> 200 , /i>	3552,44498	5222,79773	144,625064
K = 100, L = const	1890,82362	3087,07112	822,553301
/i> 100 , /i>	2160,59999	5396,84006	59,5848497

Общие рекомендации для предприятия ООО «квант», которые можно сделать по производственной функции Кобба — Дугласа, сводятся к тому, чтобы предприятие увеличивало инвестиции в основные производственные фонды. Если не учитывать производственную функцию (3.4.3) и (3.4.4), которые выходят за пределы определения (
б>1
), то также можно рекомендовать предприятию увеличить численность персонала — так предприятие сможет значительно увеличить объём выпуска. Также, в прогноз не включено решение об уменьшение количества персонала, так как тогда предприятие не сможет нормально функционировать.

3.2 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «Квант» с помощью комплекснозначных производственных функций

Перейдём теперь к построению производственных функций, изученных во второй главе. Начнём с производственной функции комплексного аргумента (2.1).

Коэффициенты этой функции могут быть найдены для каждого наблюдения, поэтому им можно дать экономическую интерпретацию, которая будет соответствовать действительности.[22]

По формулам (2. 6) найдем коэффициенты функции (2. 1) по данным таблицы 4 приложения, их значения представлены в следующей таблице 13.

Таблица — Коэффициенты производственной функции комплексного аргумента

t	a ₀	a ₁
1кв. 2007	0,5	0,5
2кв. 2007	0,500062	0,501785
3кв. 2007	0,499574	0,497872
4кв. 2007	0,503957	0,503957
1кв. 2008	0,476387	0,445664
2кв. 2008	0,502431	0,471148
3кв. 2008	0,471017	0,4396
4кв. 2008	0,477502	0,446707
1кв. 2009	0,520149	0,541338
2кв. 2009	0,502198	0,524103
3кв. 2009	0,514539	0,536042
4кв. 2009	0,498822	0,517195
1кв. 2010	0,507248	0,546892
2кв. 2010	0,521052	0,56296
3кв. 2010	0,49561	0,533225
4кв. 2010	0,556901	0,600426

Для наглядности, рассмотрим динамику коэффициентов на плоскости так, как мы это делали в первом параграфе второй главы — по оси абсцисс откладываем значения коэффициента
a
₀
, по оси ординат — коэффициента a
₁
, началом координат задаём точку (0;0)
(см рисунок 8).

Как видно из рисунка, вначале значение коэффициента
a
₁
резко увеличилось, но затем стало уменьшаться и даже стало меньше 0,5
. При этом значения коэффициента a
₀
не имеют тенденции к увеличению либо уменьшению — они колеблются относительно 0,75
. Это, в соответствии с информацией из таблицы 1 приложения, говорит о том, что производственный процесс вначале был сбалансирован, но со временем он стал более капиталоинтенсивным, производительность труда возросла.

Построим производственную функцию комплексного аргумента для последнего наблюдения таблицы 4 приложения. Она будет иметь вид:

(3.5)

Рассчитывать среднюю ошибку аппроксимации для функции (3.5) не имеет смысла, так как для всего ряда наблюдений она будет достаточно высока (модель учитывает только значение переменных на одном наблюдении), а для последнего наблюдения она, естественно, будет равна нулю.

Рисунок 8 Изменение значений коэффициентов производственной функции (2.1) построенной для предприятия ООО «Квант»

Найдём теперь значения коэффициентов a ₀
и a₁
методом наименьших квадратов для всего ряда наблюдений. Для этого воспользуемся соответствующими формулами из второго параграфа второй главы. Получим следующую линейную производственную функцию комплексного аргумента:

(3.6)

Средняя ошибка аппроксимации для функции (3.6) составила
9
,
% , что всего лишь на 3 % больше, нежели для производственной функции Кобба-Дугласа (3.2).

Можно с уверенностью сказать, что увеличение инвестиций в основные производственные фонды приведёт к большему росту объёма производства, нежели при увеличении числа занятых в производстве.

По аналогии с функцией Кобба-Дугласа рассмотрим, каким будет объём производства в тех же самых 6 ситуациях. Рассматривать будем все производственные функции комплексного аргумента — (3.5), (3.6).

Таблица — Прогноз по производственной функции комплексного аргумента.

Значения K и L	Производственная функция комплексного аргумента
(3.4.5)	(3.4.6)
K=const , L=const	2851,724	2474,2
/i> 200 , L=const	3300,694	2835,6
K=const, /i>	3484,73	3056,61
/i> 200 , /i>	3935,09	3465,27
K = 100, L = const	2417,21	2118,36
/i> 100 , /i>	3052,718	2664,074

На основе приведённых в таблице расчетных значений можно сделать вывод о том, что производительность труда на предприятии растёт от квартала к кварталу. Предприятию можно предложить продолжать вкладывать инвестиции в основные производственные фонды для совершенствования процесса производства. Также можно увеличить численность персонала.

Перейдём к анализу и прогнозированию работы предприятия с помощью производственных функций комплексных переменных.[23] Воспользуемся формулами (2.25) и (2.26) для нахождения значений коэффициентов этой функции на каждом наблюдении. В связи с тем, что по коэффициентам этой функции сделать точные выводы о характере производственных процессов не представляется возможным, имеет смысл рассчитать только коэффициенты для последнего наблюдения. Тогда линейная производственная функция комплексных переменных ООО «Квант» для 4 квартала 2010 года будет иметь вид:

(3.7)

Теперь рассчитаем значения коэффициентов функции (2.24) для всего ряда данных с помощью МНК. Получим следующую производственную функцию:

(3. 8)

Средняя ошибка аппроксимация для производственных функций комплексных переменных должна считаться иначе, нежели для производственных функций действительных переменных, так как выходных переменных в этих функциях две, а не одна. Поэтому для оценки применимости модели будем использовать общую среднюю ошибку аппроксимации
A
_total
, которую можно найти по следующей формуле:

, (3. 9)

где
A
_Q
— средняя ошибка аппроксимации объёма производства;

A
_C
— средняя ошибка аппроксимации затрат на производство, которые в свою очередь считаются по формуле (3.1).

Для функции (3.8) мы получили следующие значения ошибок аппроксимации:

A
_Q
=
8,47%, A
_C
=
6,63%, A
_total
=
7,55%.

Получается, что эта функция незначительно лучше описывает ряд данных, нежели производственные функции комплексного аргумента, но хуже чем производственная функция Кобба-Дугласа. Однако эта функция обладает преимуществом, перед всеми другими рассмотренными ранее функциями — она позволяет моделировать зависимость не только объёма производства, но и затрат производства от факторов производства. Именно благодаря этому, меняя значения численности персонала и стоимости основных производственных фондов, мы будем получать больше информации.

Рассмотрим те же самые 6 ситуаций с дальнейшими трудовыми и капитальными затратами на предприятии, что были рассмотрены ранее, только с небольшими корректировками: так как у нас 2 выходные переменные, оценивать стоит их вместе. Для этого в таблице приведём не только значения объёма выпуска и затрат на производстве, но ещё и прибыль организации, рассчитанную по формуле (2.29).

Подчёркнутым шрифтом выделены максимальные значения дохода и прибыли организации и минимальные значения затрат.

Как видно из таблицы, сочетание максимального дохода и минимальных затрат на производство достигается как для функции (3.7), так и для функции (3.8) в одном случае — когда увеличиваются инвестиции в основные производственные фонды, а численность персонала увеличивается до (в этом случае и доход, и прибыль организации максимальны).

Что примечательно, можно заметить, что затраты предприятия снижаются для обеих производственных функций в случае с сокращением числа занятых в производстве.

Таблица — Прогноз по производственной функции комплексных переменных

Значения K и L	Производственная функция
(3.7)	(3.8)
Q	C	G	Q	C	G
K=const , L=const	2592	1367,5	1224,5	2592	1367,5	1224,5
/i> 200 , L=const	3205,875	1273,164	1932,712	2900,095	1066,395	1833,701
K=const, /i>	2218,672	1714,778	503,8946	2075,642	1464,925	610,7176
/i> 200 , /i>	3095,143	1748,623	1346,52	2842,661	1482,48	1360,181
K = 100, L = const	1470,29	1206,143	264,1469	1381,246	1031,633	349,6138
/i> 100 , /i>	1359,557	1681,602	-322,045	1323,812	1447,718	-123,905

Как видно из таблицы, сочетание максимального дохода и практически самых низких затрат на производство достигается как для функции (3.7), так и для функции (3.8) в одном случае — когда увеличиваются инвестиции в основные производственные фонды, а численность персонала остается неизменной (в этом случае и доход, и прибыль организации максимальны).

На основании этих данных можно сделать заключение о том, что Диатомовому комбинату стоит увеличить инвестиции в основные производственные фонды и, возможно, увеличить численность персонала.

3.3 Итоги проведенных исследований

Стоит, однако, отметить, что все получаемые численные значения входных и выходных переменных являются только ориентирами для организации, (показывающими, в какой части есть дисбаланс, в каком направлении надо работать и пр.), а не конкретной целью: увеличить численность персонала точно до человек, а стоимость основных производственных фондов до 200 тыс. руб. Подведём итоги проведённых исследований. В таблице ниже представлены рекомендации, выработанные для каждой из рассмотренных в этом параграфе производственных функций.

Вид функции	Рекомендации
Для достижения максимального дохода, организации стоит одновременно с привлечением инвестиций, увеличивать и численность персонала, занятого в производстве.
Увеличение численности персонала приведёт к росту дохода, при уменьшении инвестиций в основные фонды.
Для достижения максимального дохода, организации стоит одновременно с привлечением инвестиций, увеличивать и численность персонала, занятого в производстве.
С каждым кварталом производительность труда на комбинате растёт. Увеличение инвестиций в основные производственные фонды приведёт к увеличению дохода организации. Увеличение численности персонала также приведёт к росту дохода, хоть и не такому значительному.
Для достижения максимального дохода, организации стоит одновременно с привлечением инвестиций, увеличивать и численность персонала, занятого в производстве.
Для достижения максимального дохода, организации стоит одновременно с привлечением инвестиций, увеличивать и численность персонала, занятого в производстве.
Для достижения максимальной прибыли и максимального дохода, организации стоит не увеличивать численность персонала, но повысить стоимость основных производственных фондов за счёт инвестиций. Если организации требуется несколько уменьшить издержки производства, то стоит пересмотреть кадровую политику.

Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы по работе Диатомового комбината:

1. Увеличение инвестиций в основные производственные фонды от квартала к кварталу приводит к росту производительности труда, таким образом, работа предприятия становится всё более эффективной.

2. При сложившемся процессе производства, предприятие может работать и более эффективно. Для этого надо либо пересмотреть кадровую политику и увеличить численность персонала занятого в производстве (или оптимизировать работу персонала), либо продолжать инвестировать в основные производственные фонды.

Что же касается самих функций, можно заключить, что производственные функции комплексного аргумента и производственные функции комплексных переменных дают больше информации о сути происходящих производственных процессов, нежели производственные функции Кобба-Дугласа.

Из значений функций Кобба-Дугласа вовсе не следует вывод о том, что необходимо снижать численность занятых на производстве, наоборот, их прирост приводит к увеличению объёмов производства.

Функции, предложенные в диссертации, настоятельно рекомендую ООО «Квант» подумать увеличить занятых или, по крайней мере, — о рационализации структуры персонала комбината, позволяя таким образом принимать более взвешенное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе рассмотрены существующие представления об экономическом анализе, место в нём экономико-математических методов, значение теории производственных функций в экономике. Показано, что экономический анализ представляет собой полноценную научную дисциплину, которая использует информацию и методы из других научных дисциплин (таких, как бухгалтерский учёт, статистика, экономико-математические методы), для изучения экономических явлений и процессов с целью управления хозяйственными системами. Чёткого представления о том, что такое «экономический анализ» у отечественных учёных нет. Поэтому в работе уточнено определение экономического анализа — «это научная дисциплина, позволяющая изучать экономические явления и процессы, используя информацию и методы из других научных дисциплин для эффективного управления хозяйственными системами».

Теория производственных функций, как было выявлено в ходе дипломного исследования, в настоящее время практически не развивается — вносятся незначительные изменения в уже существующие модели, а принципиально новые модели не появляются. Кроме того, аппарат производственных функций используется лишь для определения различных характеристик экономического развития, нежели для анализа и прогнозирования производственных процессов, несмотря на то, что этот аппарат потенциально может дать экономисту-исследователю очень много.

В работе показано, что комплексные переменные — одна из математических абстракций, достаточно активно использующихся в различных областях науки, но редко применяемая в экономико-математическом моделировании. Изучены комплексные производственные функции комплексного аргумента, в которых действительному числу результата производства в соответствие ставится комплексное число факторов производства. Линейная производственная функция комплексного аргумента (2.1.1) обладает рядом интересных свойств, а её коэффициенты имеют простой экономический смысл. Показано, что её использование в экономическом анализе даёт новые результаты, благодаря тому, что коэффициенты этой функции могут быть найдены для каждого наблюдения и позволяют анализировать происходящие процессы на производстве.

Предложены и изучены производственные функции комплексных переменных, в которых одному комплексному числу результата производства в соответствие ставится другое комплексное число факторов производства. Все производственные функции комплексных переменных, рассмотренные в диссертации, не имеют аналогов в области вещественных чисел они позволяют моделировать более сложные зависимости объёма производства
Q
и затрат производства C
от капитала K
и труда L
в функции (2.1), и даже прибыли производства G
и затрат производства C
от K
и L
в функции (2.25).

Несмотря на относительную сложность, коэффициенты всех функций комплексных переменных могут быть найдены для каждого наблюдения, что даёт возможность иметь представления об эффективности работы предприятия. Параметры всех исследованных производственных функций комплексного аргумента могут быть найдены не только для каждого наблюдения, но также и для ряда с помощью метода наименьших квадратов. Полученные модели неплохо описывают динамику производства.

В работе последовательно рассмотрена линейная производственная функция комплексных переменных, исследованы её свойства, выведены формулы для расчёта коэффициентов производственных функций, позволяющих оценивать эффективность работы предприятия.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Подтележников В.П. Производственные функции/ В.П. Подтележников. Липецк: ЛЭГИ, 2002.

2. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем/ В.И. Чернецкий. Петрозаводск: Сзд-во Петр ГУ, 1996.

3. Данилов-Данильян В.И. Производственные функции в условиях неопределённости/ В.И. Данилов-Данильян, И.Л. Хранович Экономика и математические методы, 2007 , том 43, №1, с.16 — 26.

4. Федотов Ю.В. Методы и модели построения эмпирических производственных функций/ Ю.В. Федотов. СПб: Издательство Санкт-Петербургского университета, 1997.

5. Кобринский Н.Е. Введение в экономическую кибернетику/ Н.Е. Кобринский, Е.З Майминас, А.Д. Смирнов. М.: Издательство «Экономика», 1995.

6. Гальперин В.М Микроэкономика: В 2-х т. / В.М. Гальперина, С.М. Игнатьев , В.И. Моргунов. СПб.: Экономическая школа, 1994. Т. 1.

7. Колемаев В.А. Математическая экономика/ В.А. Колемаев. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

8. Раяцкас Р.Л. Количественный анализ в экономике/ Р.Л. Раяцкас, М.К. Плакунов. М.: «Наука», 1997.

9. Ущев Ф.А. Изобилие природных ресурсов, эфономический рост и повышение качества рыночных институтов: ещё одна «невозможная троица»/ Ф.А. Ущев Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. V. Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. с.71 — 79.

10. Матвеенко В.Д. Ресурсозависимость и экономический рост: модель с трёхфакторной производственной функцией / В.Д. Матвеенко// Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. V. Анализ процессов глобализации. Сборник трудов Санкт-Петербургского экономико-математического института РАН. СПб.: Нестор-История, 2006. с.80 — 105.

11. Филипцов А.В. Производственные функции: построение и анализ приминительно к аграрному сектору Беларуси / А.В. Филипцов// ЭКОВЕСТ, выпуск 3, №3, 2003г., с. 517 — 531.

12. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия/ И.М. Виноградов, т.2 Д — Коо. — М.: «Советская Энциклопедия», 1979.

13. Данилов Н.Н. Курс математической экономики/ Н.Н. Данилов. Новосибирск.: Издательство СО РАН, 2002.

14. Кондратьев Н.Д. Проблемы экономической динамики /Н.Д. Кондратьев. М.: Экономика, 1999.

15. Светуньков С.Г. О возможности использования комплексных чисел в теории производственных функций / С.Г. Светуньков, И.С. Светуньков. Известия Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2005, № 4, с.5 — 16.

16. Светуньков С.Г. Исследование свойств производственной функции комплексного аргумента / С.Г. Светуньков, И.С. Светуньков. Препринт. — СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005.

17. Светуньков С.Г. Эконометрические методы прогнозирования спроса/ С.Г. Светуньков. М.: Издательство МГУ, 1993.

18. Светуньков С.Г. Исследование свойств производственной функции комплексной переменной аргумента/ С.Г. Светуньков, И.С. Светуньков. Препринт. — СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005.

19. Костенко А. В. Моделирование линейной производственной функции комплексного аргумента одного предприятия/ Костенко А. В. //Материалы XIV научно — технической конференции «Вузовская наука — Северо-кавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки.- Ставрополь: СевКавГТУ, 2010

20. Светуньков И.С. Использование комплексных переменных в теории производственных функций/ Светуньков И.С. Известия Санкт-Петербургского государственного университета экономики и финансов, 2007, № 4.

21. Савичев П.И. Экономический анализ — орудие выявления внутрихозяйственных резервов/ П.И. Савичев. М.: Финансы, 1968.

22. Светуньков С.Г. Прогнозирование бюджетных доходов с помощью производственной функции в виде комплексной переменной/ С.Г. Светуньков, И.С. Светуньков. Состояние и проблемы трансформации финансов и экономики регионов в переходный период. Материалы Второй Международной научно-практической конференции мая 2005 г. Ч.1. — Черновцы — Букрек, 2005. с.330 — 331.

23. Светуньков С.Г. Производственные функции в виде комплексного числа в прогнозировании/ С.Г. Светуньков, И.С. Светуньков. Экономическое прогнозирование: модели и методы: материалы Международной научно-практической конференции, 29-30 апреля 2005 г.- Воронеж, Изд-во ВГУ, 2005. — Ч.1., с.58 — 61.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Таблица 1 — Интерпретация вариантов динамики коэффициентов рисунка 4

Номер варианта динамики	Характеристика варианта	Суть происходящих процессов
1	Оба коэффициента возрастают и их значения превышают начальную величину в 0,5	Сбалансированная экономика с устойчивым ростом производительности труда и фондоотдачи
2	Оба коэффициента уменьшаются и становятся меньше 0,5	Дисбаланс, структурная перестройка производства, когда один из ресурсов используется в большей степени, чем другой, а отдача ресурсов не увеличивается. Зона кризисной динамики
3	Значения коэффициента а ₀ уменьшаются, а значения коэффициента а ₁ возрастают и остаются больше 0,5	Процесс трудоинтенсивный с повышающейся фондоотдачей. Уменьшение роизводительности труда.
4	Значения коэффициента а ₀ возрастают и остаются больше 0,5, а значения коэффициента а ₁ уменьшаются	Фондоотдача уменьшается, а производительность труда растёт. Капиталоинтенсивный процесс

Таблица 2 — Исходные данные для построения производственных функций и расчётные значения коэффициентов использования ресурсов

Год	Выручка, Q _t	Издержки С _t	Основные производственные фонды, K _t	Расходы по з/п, тыс. руб., L _t
Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения	Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения	Абсолютные значения, тыс.руб.	Относительные значения	Абсолютные значения, чел.	Относительные значения
2007	5570	1	2858	1	350	1,000	874	1
2008	6918	1,24	3183	1,114	482	1,377	1126	1,288
2009	9143	1,641	4155	1,454	531	1,517	1380	1,578
2010	10686	1,918	5250	1,606	598	1,708	1610	1,84

Таблица 3 — Производственная деятельность за 2007 — 2010 годы. Поквартальные данные.

Квартал	Доход	Прибыль	Затраты	ОПФ	Расходы по з/п
Q _t	G _t	С _t	K _t	L _t
1кв. 2007	1390	566	824	87,5	218,5
2кв. 2007	1387	682	705	218
3кв. 2007	1392	736	656	219
4кв. 2007	1401	728	673	87,5	218,5
1кв. 2008	1710	915	795	120,5	281,5
2кв. 2008	1800	990,5	809,5	120	281
3кв. 2008	1694	912	782	121	282
4кв. 2008	1714	917,5	796,5	120,5	281,5
1кв. 2009	2285	1146,25	1138,75	132,75	345
2кв. 2009	2200	1222	978	132	344
3кв. 2009	2267	1228	1039	133	346
4кв. 2009	2191	1190,75	1000,25	133,25	345
1кв. 2010	2605	1392,5	1212,5	149,5	402,5
2кв. 2010	2673	1261	1412	149	402
3кв. 2010	2548	1435	1113	150	403
4кв. 2010	2860	1347,5	1512,5	149,5	402,5

Таблица 4 — Преобразованные данные о производственной деятельности Диатомового комбината (таблицы 3)

Квартал	Q _t	С _t	K _t	L _t
1кв. 2007	1	1	1	1
2кв. 2007	0,997842	0,855583	0,994286	0,997712
3кв. 2007	1,001439	0,796117	1,005714	1,002288
4кв. 2007	1,007914	0,816748	1	1
1кв. 2008	1,230216	0,964806	1,377143	1,28833
2кв. 2008	1,294964	0,982403	1,371429	1,286041
3кв. 2008	1,218705	0,949029	1,382857	1,290618
4кв. 2008	1,233094	0,966626	1,377143	1,28833
1кв. 2009	1,643885	1,381978	1,517143	1,578947
2кв. 2009	1,582734	1,186893	1,508571	1,574371
3кв. 2009	1,630935	1,260922	1,52	1,583524
4кв. 2009	1,576259	1,213896	1,522857	1,578947
1кв. 2010	1,874101	1,471481	1,708571	1,842105
2кв. 2010	1,923022	1,713592	1,702857	1,839817
3кв. 2010	1,833094	1,350728	1,714286	1,844394
4кв. 2010	2,057554	1,835558	1,708571	1,842105

Примеры похожих учебных работ

Экономика предприятий и организаций «Применение методов оценки технико-экономических ...

... существования производства, как его технико-экономические элементы. Под «землей» как ... соизмеримыми, «австрийцы» использовали стоимостные показатели (денежные цены). Но ведь ... неграмотный исполнитель мысленно составляет план и последовательность своих ...

Типы производства и их технико-экономическая характеристика

... Типы производства, их технико-экономическая характеристика Организация производственных процессов на предприятии, выбор наиболее рациональных методов подготовки, планирования и контроля за производством во многом определяется типом производства. Тип ...

И дневник производственной практики по управлению и

... Характеристика на студента, прошедшего производственную практику………….55 -3 1. Общие положения Производственная практика студентов по управлению и экономике фармации проводится в соответствии с учебным планом и программой и является важнейшей частью ...

Типы производства и их технико-зкономическая характеристика

... мест и их специализация, т.е. закрепление за рабочими местами определенных операций технологического процесса. В зависимости от сочетания перечисленных форм организации производства и его элементов различают сле-дующее типы производства массовый, ...

Методы оценки земельных ресурсов

... оценки земель недропользований. Кадастровая стоимость земель промышленности вне черты поселений формируется с учетом следующих видов земельной ренты: межрегиональная земельная рента, определяемая различиями в уровнях социально-экономического ...

Анализ экономической эффективности производства

1 – 84. Задание на выполнение курсовой работы. Разработан технический проект на реконструкцию и модернизацию завода по производству керамической черепицы ...