Контрольная по линейной алгебре

Контрольная работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГБОУ ВПО «Уральский государственный экономический университет»

Центр дистанционного образования

Контрольная работа

по дисциплине: Линейная алгебра

Исполнитель: студентка

Специальность: Управление качеством

Группа: УК-12 Ом

Аврусевич А. П

Омск

2013

Тема № 1. Матрицы и определители.

Задание 1.

Вычислить сумму матриц kA+mB, если ,

Решение:

Элементы матрицы суммы определяются по формуле:

Вычислим элементы строк матрицы суммы:

Таким образом, матрица суммы имеет вид:

Задание 1.1.

Вычислить определитель:

Решение:

Разложим определитель по 3-й строке, т.к. в ней содержится наибольшее количество нулей:

где – алгебраическое дополнение элемента .

Найдем алгебраическое дополнение по формуле:

где — минор элемента , который получается из исходного определителя «вычеркиванием» строки и столбца на пересечении которых стоит данный элемент:

; ;

; .

Подставим полученные значения в разложение определителя:

Ответ:

Задание 1.2.

Найти обратную матрицу для матрицы А и сделать проверку:

Решение:

Используем алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Т.к. матрица является квадратной (число строк равно числу столбцов), то обратная матрица существует.

2. Найдем определитель исходной матрицы:

3. Находим матрицу, состоящую из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы:

Т.о. получаем матрицу:

4. Полученную матрицу транспонируем:

5. Последнюю матрицу делим на определитель исходной матрицы и получаем обратную матрицу:

6. Осуществим проверку полученного результата. Для этого находим произведение полученной обратной матрицы на исходную:

Получили единичную матрицу, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Задание 2.

Вычислить определитель третьего порядка:

Решение:

Определителем третьего порядка матрицы называется число, которое определяется следующим образом, при помощи правила треугольников:

Используя правило треугольников, вычислим определитель:

Тема №2. Системы линейных уравнений

Решить систему уравнений 3-мя способами:

1. Методом обратной матрицы.

2. Методом Гаусса.

3. Методом Жордано-Гаусса.

4 стр., 1938 слов

Использование информатики для решения экономических задач

... 15 Задание №4 Решить задачу линейного программирования. Отчет долженсодержать следующие разделы: Условие задачи Формализация задачи Графическое решение задачи Распечатку решения задачи с помощью пакета Microsoft Excel Экономический вывод ... выпуска определяется по формуле />, гдеЕ — единичная матрица, />. /> />. Определитель матрицы Е-А определяем в пакете Microsoft Excelс помощью функции ...

Решение:

1. Запишем матрицу системы и матрицу-столбец свободных членов

Найдем определитель матрицы A:

Найдем матрицу обратную к матрице А, для этого составляем матрицу из алгебраических дополнений элементов определителя матрицы А и транспонируем ее:

Полученную матрицу делим на определитель исходной матрицы:

Решением исходной системы уравнений будет матрица-столбец , найденная как произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов:

Таким образом: .

2. Составим расширенную матрицу системы, в которую входят коэффициенты при переменной и свободные члены:

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение.

Разделим 1-ю

Вычтем из 2-ой строки 1-ю строку, умноженную на :

Вычтем из 3-й строки строку 1, умноженную на

Разделим 2-ю

Вычтем из 3-й строки 2-ю строку, умноженную на

Вычтем из 1-й строки 3-ю строку ,умноженную на

Вычтем из 1-й строки 2-ю строку, умноженную на

Т.о. решение системы следующее:

3. Путем элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к каноническому виду:

x

y

z

B

3

1

1

4

2

0

3

1

2

9

5

3

1

0

1

4/3

2/3

0

1

0

2

3

2

1

0

0

4/3

1

1

0

1

3

3

1

0

0

4/3

1

1

0

1

3

3

1

0

0

4/3

1

0

0

1

5

3

1

0

0

0

1

0

0

1

1

3

Т.о. решение системы следующее:

Задание 3.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

Определитель главной матрицы системы уравнений не равен нулю, следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение.

Приравниваем к 1, для этого разделим всю 1-ю строку на

Теперь обнулим 1-ый столбец. Для этого из 2-ой строки вычтем 1-ю строку, умноженную на =0

Из 3-ей строки вычли 1-ю строку, умноженную на

Приравниваем к 1, для этого разделим 2-ю строку на

Обнулим 2-й столбец, для этого из 1-й строки вычтем 2-ю строку, умноженную на

Из 3-й строки вычтем 2-ю строку, умноженную на

Приравниваем к 1: разделим всю 3-ю строку на

Из 2-й строки вычтем 3-ю строку, умноженную на

Следовательно:

Проверим:

Все равенства являются верными.

Тема 3. Векторная алгебра

Задание 4.

Найти косинус угла между векторами и , если А (6; 8; -4), если В(4; 1; 10) и С(9; 3; 6).

Решение:

По координатам концов найдем эти векторы:

Отсюда ,

Найдем скалярное произведение

Применяя теперь формулу, получим

Ответ:

Задание 5. (5 баллов)

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту DH, если А(3;2;5);

  • В(4;-7;2);
  • С(2;-4;-6) и D(7;2;7)

Решение:

Объем тетраэдра (с учетом знака), вершины которого находятся в точках А, В, С и D равен:

  • Вычислим объем тетраэдра АВСD:

С другой стороны:

В основании тетраэдра лежит треугольник ABC, S которого определяется как модуль векторного произведения векторов

Векторное произведение векторов равно:

Тогда площадь основания равна:

Следовательно:

  • Ответ: ;
  • Тема 4: Уравнение плоскости.

Даны точки М 1 (2; 5; 4) и М2 (1; 3; 4).

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору .

2. Найти отрезки, отсекаемые данной плоскостью на осях координат. Начертить эту плоскость.

Решение:

1. Найдем координаты , если

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 перпендикулярно вектору :

2. Уравнение плоскости в отрезках выглядит

z

x

42

y -42/8

Задание 6.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 и перпендикулярно вектору , если

Решение:

Найдем координаты вектора нормали к плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку М 1 (6;8;3) перпендикулярно вектору =(А; В; С), где А, В, С – координаты вектора нормали:

В нашем случае А=5, В=4, С=-4, соответственно уравнение плоскости примет следующий вид:

Ответ:

Задание 7.

Вычислить угол между плоскостями A 1 x+B1 y+C1 z+D1 =0 и A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0, если A1 =6; B1 =8; C1 =3; D1 =4; A2 =-4; B2 =10; C2 =9; D2 =0

Решение:

Угол между двумя плоскостями определяются по формуле:

Тогда получаем:

Тогда угол между плоскостями равен:

Ответ:

Тема 6. Пределы функций.

Вычислить пределы:

а) b) c)

Решение:

a)

b)

c)

Тема 8. Исследование функций.

Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

1.Найдем область определения функции:

ООФ:

2. Т.к. функция нечетная

, то ее можно исследовать только на промежутке . Функция не периодичная.

3. Вертикальные асимптота может быть в точке x=1

При .

При .

Т.о. прямая x=1 является вертикальной асимптотой.

4. Горизонтальных и наклонных асимптот нет, т.к.

5. Экстремумы функции и интервалы монотонности:

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную первого порядка:

Найдем значение х, при которых производная образуется в ноль или не существует:

Т.о. критической точкой является точка x=0.

─ + x

0

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба:

Для этого найдем производную функции второго порядка

Числитель может быть и положительный, и отрицательный y»≥0 и функция будет вогнута вверх.

7. Допустим x=0, тогда

(0; 0)

8. Построим график функции

y

1

  • 1 0 1 x

-1