Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Реферат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Реферат По дисциплине: Высшая математика для экономистов Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Работу выполнила:

Студентка группы:

УПЭТ 12а Помелило Алина

2013 г.

Дифференциальные

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. таких, которые допускают представление в виде

(1.1)

где f — некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

1.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y (x) уравнения (1.1), удовлетворяющее условию y ( );

2.Если два решения y= (x) и y= (x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т. е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

g (y) (1.2)

или в виде

M (x)N (y)dx+P (x)Q (y)dy=0, (1.3)

где, M (x), P (x) — некоторые функции переменной х , g (y), N (y) , Q (y) — функции переменной у.

(рис.1)

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и =. Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (1.2)

8 стр., 3795 слов

Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой ...

... который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том ... экономической системе. Прогнозные значения функций , задаются экзогенно. Материальные факторы являются фазовыми переменными модели. Множество индексов фазовых переменных ... зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января ...

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х ?0), приходим к равенству. Интегрируя, получим

(a)

или

+, (б)

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой = t ,, 2ydy=2tdt и .

Решение (б) перепишем в виде x=± или x=C , где C=± .

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

(2.1)

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т. е. уравнение (1.1) имеет вид

  • (2.2)

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки — нули функции f (у ), где производная у’ = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = ц (x ) (или х = ш ( у)) :

  • (2.3)

Пример 2

Решить уравнение:. (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x (y). Полагая, что y?0 из (2.3) и (2.4), получаем и, (2.5)

откуда и. Полагая, что произвольная постоянная, получим. (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(3.1)

где р (х) и q (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q (x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q (x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

14 стр., 6894 слов

Как решать задачи по экономике на спрос и предложение – Решение ...

... решения данной задачи. Когда студент сам произвольным образом задает значения цены (Р) и находит для каждого значения цены значение спроса и предложения по заданным уравнениям. ... на 36/31-1=5/31 Вот и второй ответ: молока будут покупать больше на 5/31, то есть примерно на 16%. [свернуть] 1553.ru Задачи по экономике, тема «Спрос и предложение». На ... снижаться. С точки зрения решения задачи в случае с ...

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

  • (3.2)

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у (х). К таковым относится уравнение Бернулли

, (3.3)

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение Пусть п ? 0, n ? 1. Введем новую функцию

, (3.4)

тогда

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n ), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z (x) :

  • (3.5)

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z (x ) связана с искомой функцией у (x ) соотношением (3.4).

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y (t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р , т. е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t)=py (t).

[см.словарь[1]]

(t)=l I (t) (а)

[см.словарь[2]]

Полагая, что величина инвестиций I (t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]] , получим

I (t)=mY (t)=mpy (t), (б) где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I (t) в (а), приходим к уравнению

(в) где k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y (t)= .

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т. е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p (y) (с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

4 стр., 1938 слов

Использование информатики для решения экономических задач

... решения уравнений СОГ принимает вид: /> Графическое решение задачи показано на рисунке 8. Очевидно,что критическая точка максимума целевой функции /> имееткоординаты />, />. В этом случае значение целевой функции /> Решение задачи ...

(г) оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными (13, «https:// «).

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то, и это уравнение описывает возрастающую функцию y (t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

[см.словарь[4]]

Таким образом, если спрос эластичен, т. е. или, то и функция y (t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т. е. , или — 1, то и функция y (t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x 0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x (t).

Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С . Полагая NC = D , получим равенство:

из которого определим функцию x (t ):

логистической

Если теперь учесть, что х (0) = х 0 и положить х 0 = N/ ?, где? > 0, то можно найти значение константы Е . Логистичеcкая функция примет вид:

На рис. 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях б. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

[см.словарь[5]]

где a (t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а (t ) < 1), b (t) — автономное (конечное) потребление, k (t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а).

Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a (t), b (t), k (t) и E (t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S (t) из второго уравнения и для I (t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y (t) :

11 стр., 5485 слов

Нетрадиционный курс по математике в 6 классе «Решение задач ...

... группы для принятия эффективных совместных решений. Самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.). Предметными результатами изучения предмета «Математика. 6 класс» ...

— (б) Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а , b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

— (в) Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y’ = 0, т. е.

  • (г) Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой, так что общее решение уравнения (в) имеет вид

. (д) Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис. 4. Если в начальный момент времени Y 0 < Y p , то С = Y 0 Y p < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т. е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а , b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y 0 > Y p , то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y р . Уравнение (в) является автономным; точка Y = Y p представляет собой точку неустойчивого равновесия.

(Рис.3)

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ

2.ДОХОД — денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане — выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т. п. ) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ — временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование).

4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1%.Рассчитывается через коэффициент эластичности. 5]

25 стр., 12074 слов

Проблемы молодой семьи и возможности их решения средствами социальной работы

... их решения средствами социальной работы». Целью нашей работы является: выявление эффективных методов работы по социальной поддержке молодой семьи. Задачи исследования: выявить проблемы молодых семей и пути их решения; рассмотреть особенности социальной работы с молодой семьей; показать формы и методы социальной работы с проблемами молодой семьи; раскрыть ...

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД — часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год).

Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты. 8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

Н. Ш. Высшая

2. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

3. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

4. http://www.bibliotekar.ru/bank-7−2/145.htm

5. http://ru.wikipedia.org/

Красс М. С.

7.http://www.bank24.ru/info/glossary/?srch=%CD%C0%D6%C8%CE%CD%C0%CB%DC%CD%DB%C9+%C4%CE%D5%CE%C4