Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой макроэкономической системы

Решение задач
Содержание скрыть

2

На правах рукописи

УДК 517.977.52:330.14

  • 08.00.13 — Математические и инструме нтальные методы экономики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МЕТОД РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИКОЙ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, САБИРОВА ОЛЬГА РАМИЛЕВНА

Ижевск — 2008

Работа выполнена в Ижевском государственном техническом униве, Научный руковод, Официальные о, Камалетдинов А.Ш.

(Институт экономики и предпринимательства, г. Москва)

Ведущая организация

Уральский государственный технический университет — УПИ

Защита состоится «

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

Ижевского государственного технического университета.

Автореферат разослан « » 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент К.В. Кетова

1. Общая характеристика работы, Актуальность проблемы

В Послании Президента Федеральному Собранию Российской Федерации 16 мая 2003 года была сформулирована задача удвоения валового внутреннего продукта (ВВП) за десять лет. Именно динамика изменения ВВП на душу населения рассматривается в качестве оценки успеха мероприятий по обеспечению экономического роста. Проблема роста ВВП приобретает дополнительную актуальность в России по причине больших экономических потерь в период с 1992 по 1998 г., приведших к значительному снижению уровня жизни населения. В Программе социально-экономического развития России, утвержденной правительством РФ в январе 2006 года, также говорится о необходимости создания системы стимулирования экономического роста.

При выработке определенной политики улучшения макроэкономических показателей возникает необходимость в предварительном анализе экономики, сложившейся в настоящее время, и в прогнозировании ее развития на будущее. Для этого применяются методы математического моделирования динамики макроэкономических систем, статистические методы обработки информации, методы оптимизации и др.

По мнению экономистов, из четырех основных экономических проблем: размещения ресурсов, распределения дохода, экономической устойчивости и экономического роста — последняя остается наиболее неизученной. В настоящей работе затрагиваются в большей или меньшей степени все названные проблемы, но именно оптимальный экономический рост является центральным понятием.

6 стр., 2807 слов

Проблемы экономического роста

... его модель макроэкономического равновесия является стартовой площадкой для анализа экономического роста. В дальнейшем проблемы экономического роста рассматривались ... цикличности экономического развития достаточна убедительна. Следует заметить, что вначале экономические кризисы повторялись через 11 лет, ... П. Самуэльсон рассматривает три варианта экономики. Стационарное общество с нулевыми чистыми ...

В работах, касающихся изучения экономической динамики, наиболее распространены одномерные модели. В реальных системах на экономический рост влияет множество факторов. Разработка и математический анализ многомерных моделей позволит расширить спектр решаемых прикладных задач.

Краткая историческая справка

Существенный вклад в разработку математических моделей и развитие математических методов в экономике внесли В.В. Леонтьев, В.С. Немчинов, В.В. Новожилов, В.К. Дмитриев, Е.Е. Слуцкий, Дж. фон Нейман, Д. Гейл, Л.В. Канторович, В.Л. Макаров, А.М. Рубинов, И.В. Романовский и другие ученые.

В 1928 году Ф. Рамсеем была впервые предложена модель оптимизации сбережений домохозяйств. В 1960-е годы Д. Касс и Т. Купманс, опираясь на работы Р. Солоу (1950-е годы), развили модель Рамсея, предвосхитив актуальные в наше время исследования по проблемам оптимального управления макроэкономическими системами. Развитие моделей этих ученых в настоящее время представлено работами В.Д. Матвеенко, В.З. Беленького, К.В. Кетовой и др.

Работы Л.С. Понтрягина и Р. Беллмана внесли большой вклад в разработку инструментальных методов оптимального управления и математического анализа динамики экономических систем.

Объектом исследования, Предметом исследования, Целью работы

В ходе работы решались следующие научные и практические задачи.

1. Построение оптимизационной математической модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающей инвестиционные процессы и максимальный рост благосостояния населения.

2. Разработка эффективного метода реализации многомерной модели. Тестирование разработанного метода для решения задач оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности.

3. Разработка многофакторной оптимизационной модели макроэкономической системы, учитывающей научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.

4. Проведение анализа и параметрических исследований многомерных экономико-математических моделей.

Методы исследования.

На защиту выносятся

1. Негомогенная оптимизационная математическая модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, учитывающая инвестирование средств в факторы производства, критерием оптимальности в которой является максимизация благосостояния населения.

2. Метод решения задачи оптимального управления в многомерном фазовом пространстве (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина. Результаты тестирования разработанного метода решения задачи в двумерном и четырехмерном фазовых пространствах.

3. Многофакторная оптимизационная математическая модель макроэкономической системы, учитывающая научно-технический прогресс в производственной и социальной сфере.

4. Анализ результатов численной реализации и параметрических исследований экономико-математических моделей.

Достоверность и обоснованность, Научная новизна работы

1. В разработанной негомогенной оптимизационной модели динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве впервые учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.

4 стр., 1802 слов

Особенности макроэкономических моделей российской экономики

... работа состоит из двух глав, введения, заключения и списка использованной литературы. Глава1. Базовая макроэкономическая модель ... от друга. Проблему выбора оптимальной политики децентрализованными органами государственного управления впервые исследовал американский ученый ... логику неоклассических рассуждений. Неоклассическая интерпретация фискальной экономики при подвижных ценах представлена на рисунке ...

2. Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в отличие от существующих методов, не требует знания граничных условий для вектора двойственных переменных и позволяет строить оптимальные траектории в фазовых пространствах произвольной размерности

3. В разработанной многофакторной оптимизационной математической модели впервые осуществляется одновременный учет научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере, а также распределения факторов во временно-возрастной плоскости.

4. Впервые индексным методом проведены комплексные исследования, в ходе которых установлены оптимальные пропорции распределения капиталовложений, а также выявлены существенные параметры, влияющие на показатели макроэкономического роста.

Значение научных результатов для теории

Сформулированная в работе модель динамики макроэкономической системы (региона) позволяет планировать оптимальное распределение капиталовложений при учете многих факторов, влияющих на макроэкономическое развитие.

В работе доказана теорема, согласно которой в случае выпуклых производственных функций гамильтониан разработанной модели является выпуклым, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траектории, построенных на основе принципа максимума.

Разработанный метод решения многомерных задач оптимального управления представляет собой теоретическое исследование и может быть непосредственно использован при построении и анализе экономических моделей. Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, что в многомерном фазовом пространстве существенно сокращает объем необходимых вычислений для определения оптимальной траектории.

Значение научных результатов для практики

На основе построенного алгоритма разработан программный комплекс в среде Borland Delphi 7.0, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов.

Разработанный метод используется на факультете «Прикладная математика» Ижевского государственного технического университета при проведении лабораторных работ, а также при подготовке курсовых и дипломных работ студентов, обучающихся по специальности 061800 — «Математические методы в экономике».

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVII» (Воронеж, 3-9 мая 2006 г.); Всероссийской научно-практической конференции «Инновационная экономика и региональное инновационно-устойчивое развитие» (Чебоксары, 25 октября 2006 г.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января — 2 февраля 2007 г.); Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVIII» (3-9 мая 2007); 3-ей Международной научно-практической конференции «Достижения ученых XXI века» (Тамбов, 30-31 июля 2007 г.); Всероссийской научно-практической internet-конференции «Проблемы функционирования и развития социально-экономических систем» (Уфа, 15 октября — 15 ноября 2007).

22 стр., 10692 слов

Задачи на издержки производства с решением по экономике

... Задачи на издержки производства с решением по экономике В помощь студентам и аспирантам 1 задача. Прибыль рассчитывается как разница выручки и издержек. Издержки предприятия Общие издержки ... переменные издержки, средние издержки, средние постоянные и средние переменные издержки. Общие издержки (ТС) = 50000000 р. Объем производства (Q) = 20 шт. Постоянные издержки (FC) = 20000 р. Переменные издержки ...

Публикации

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, из них 2 статьи [1, 2] в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертаций.

Структура и объем работы

Объем диссертации составляет 118 страниц и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 130 источников.

Содержание диссертации

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, цели и задачи диссертационной работы, положения, выносимые на защиту, значение полученных в работе результатов для науки и практики.

В первой главе, Во второй главе

Модель формулируется для замкнутой экономики при следующих предпосылках.

П1. Объем выпуска определяется -факторной производственной функцией , где — вектор факторов производства, ; функция принадлежит классу функций , то есть таких функций, которые определены на пространстве и подчинены условиям: а) ; б) монотонно возрастает по каждой переменной; в) выпукла вверх на ; г) — однородная функция со степенью однородности , т.е. ; д) В общем случае зависимость от времени в производственной функции может присутствовать в явном виде, т.е. .

П2. Среди производственных факторов особое место занимает фактор — объем трудовых ресурсов. Различаются трудовые ресурсы, задействованные в создании валового регионального продукта (ВРП), и все население региона , на которое распространяется потребление в экономической системе. Прогнозные значения функций , задаются экзогенно. Материальные факторы являются фазовыми переменными модели. Множество индексов фазовых переменных и множество индексов факторов обозначаются соответственно и .

П3. Произведенный продукт распределяется на часть согласно вектору управления , где доля направляется на потребление, — норма инвестиций в -й фактор производства; вектор — нижняя граница вектора , компонента обеспечивает гарантированный уровень душевого потребления. Общая сумма граничных долей ; вводятся фиксированные величины . Множество допустимых управлений имеет вид:

П4. Уровень эффективности инвестиций в -й фактор производства характеризуется показателем , .

П5. Выбытие факторов производства происходит согласно вектору коэффициентов амортизации .

П6. Модель развития экономики региона строится в непрерывном времени с конечным горизонтом планирования .

В качестве критерия максимизации выбирается удельное (в расчете на одного жителя) благосостояние населения на всем рассматриваемом горизонте планирования без учета гарантированной доли:

  • где ; коэффициент дисконтирования.

Траектория движения системы определяется фазовыми уравнениями:

;

с граничными условиями:

; ; .

Левое (начальное) условие (4) является заданным. Предполагается, что существует квазистационарная фазовая траектория такая, что, двигаясь в оптимальном режиме, система выходит на нее за конечное время и далее двигается по ней (параметры будут определены далее).

Правое (конечное) условие (4) рассматривается как состояние в момент на квазистационарной траектории.

канонической формой

Для построения оптимальной стратегии применяется принцип максимума Понтрягина. Гамильтониан задачи (2)-(4) имеет вид:

В работе доказывается, что гамильтониан (5) задачи (2)-(4) при допущениях П1-П6 есть выпуклая на функция, что обеспечивает необходимость и достаточность условий оптимальности траектории, построенной на основе принципа максимума. Данный вывод в работе формулируется в виде теоремы.

Таким образом, для оптимальности программы развития системы необходимо и достаточно наличие таких двойственных (сопряженных) функций , при которых выполняются условия:

1. При каждом фиксированном

2. Функции и удовлетворяют сопряженной системе дифференциальных уравнений:

  • а) ;
  • б) ;
  • ;
  • с граничными условиями (4).

В обозначениях гамильтониан (5) принимает вид:

условие (6) записывается в виде:

весами значимости

оптимальной

Согласно (10) оптимальные значения управляющих переменных равны минимальному значению всюду, кроме «положений равновесия» , которые характеризуются равенством между собой соответствующих коэффициентов .

конкурирующие факторы

Номер текущего этапа обозначается . Период планирования разбивается на интервал: . На каждом произвольном этапе выполняется равенство весов значимости соответствующих конкурирующих факторов:

Условия принципа максимума (7) записываются в виде:

Исходя из (11), множество имеет вид:

Таким образом, любой произвольный этап описывается уравнениями (12, а, б) при выполнении условий (11).

Причем в множество входит элементов, а в множество входит элементов.

При система выходит на квазистационарный режим, обеспечивающий выполнение правого граничного условия (4).

квазистационарн

Оптимальное управление на -м этапе является частным случаем управления .

Из вышесказанного ясно, что в оптимальном режиме политика инвестирования нацелена на выравнивание весов значимости всех производственных факторов. При такой политике множество постепенно расширяется, присоединяя к себе все новые и новые факторы. Фактор, вошедший в множество в какой-либо момент времени (т.е. ставший конкурирующим), уже не покидает и остается в нем до конца периода планирования.

индексный метод

где — индекс -го фактора.

Отсюда следует, что в каждый момент времени множество конкурирующих факторов определяется формулой

Таким образом, правило включения факторов в множество конкурирующих факторов определяется формулой (16), что не требует вычисления значений коэффициентов линейной формы , а, следовательно, и двойственных переменных .

С использованием множества , определенного по формуле (16), строится оптимальное управление на каждом -м этапе, затем при найденных значениях управляющих переменных решаются фазовые уравнения (3) при начальном условии (4).

Доказательство эквивалентности стратегий управления (10), полученных индексным методом (формула (16)) и непосредственным применением принципа максимума (формула (13)), осуществляется численно по следующей схеме.

После построения оптимальной траектории движения макроэкономической системы и соответствующего оптимального управления индексным методом (формула (16)), вычисляются значения коэффициентов как решение задачи Коши для уравнений (12) в обратном времени с правым краевым условием при оптимальном управлении (10), (13).

Если множества (13) и (16) совпадают на всем периоде планирования, то эквивалентность индексного метода и принципа максимума считается доказанной.

В третьей главе

В двухфакторной модели в качестве факторов производства рассматриваются два однородных фактора и . Каждый год ВРП () распределяется на потребление и инвестиции в каждый из факторов производства — и соответственно. Объем выпуска определяется производственной функцией .

При переходе от абсолютных величин к удельным: , , для производственной функции: . Вводятся обозначения , , где — постоянные коэффициенты износа факторов.

Постановка задачи (2)-(4) в данном случае записывается в виде:

;

, ;

Условие (8) задачи (17)-(19) имеет вид:

Так как задача имеет две фазовые переменные, то движение по оптимальной траектории состоит из трех этапов. В зависимости от начальных условий возможны четыре основных варианта.

В случае четырехфакторной задачи рассматривается следующий сценарий. Считается, что факторы, характеризующие производственный капитал и человеческий капитал , состоят из двух частей: и , и . При этом инновационные составляющие и начинают формироваться с момента в условиях НТП в производственной и социальной сфере соответственно.

Вводится вектор факторов производства , . Множества индексов и в данной модели имеют вид: , .

Производство конечного продукта описывается функцией вида:

где , причем , — темпы НТП в производственной и социальной сфере соответственно.

Целевой функционал задачи имеет вид:

Для более точного моделирования факторов экономического развития, в случае наличия статистических данных, можно рассматривать распределение факторов во временно-возрастной плоскости. Пусть — функция распределения -го фактора по возрастам, где — возраст -го фактора . Динамика функций описывается уравнением:

Таким образом, фазовые уравнения задачи записываются в частных производных. Начальные и граничные условия для факторов имеют вид.

При : , , , где — известные функции, причем для .

При : , .

Суммарный объем факторов в момент времени определяется по формуле: .

Рассмотренную задачу можно свести к канонической постановке, если принять и использовать распределение факторов по дате их рождения Переход к канонической постановке осуществляется с помощью замены . Тогда задача будет состоять в максимизации целевого функционала (22) при фазовых уравнениях вида:

и граничных условиях:

Таким образом, получены две задачи, (17)-(19) и (22), (24), (25), которые являются частными случаями канонической постановки и решаются с помощью разработанного индексного метода.

Четвертая глава

Рассматриваются результаты реализации двухфакторной модели экономической системы (17)-(19), где в качестве факторов производства принимаются основные производственные фонды (капитал) и фактор человеческого капитала .

Значения функций и переменных, составляющих исходную информацию модели, а также коэффициенты производственной функции определялись на основе статистических данных по Удмуртской Республике за период с 1994 по 2007 г. Для расчетов в качестве начального момента времени принимается 2007 г.

Объем выпуска описывается производственной функцией типа Кобба-Дугласа вида: . В удельных переменных функция принимает вид: ,где , . Принимаются следующие значения параметров: , где ; ; , где , ; . Период планирования составляет 10 лет.

На рисунках приняты следующие обозначения. Для фазовых траекторий:

  • удельный капитал (тыс. руб./чел.), — удельный человеческий капитал (тыс. руб./чел.);
  • 1 — квазистационарные траектории, 2 — оптимальные траектории. Для траекторий двойственных переменных: 1 — (соответствует фактору ), 2 — (соответствует фактору ), 3 — (равен ).

Начальные условия приведены в табл. 1.

Таблица 1 Начальные условия задачи оптимального управления

Вариант

I

II

III

IV

, тыс. руб./чел.

600

150

400

270

, тыс. руб./чел.

350

20

60

20

Построенное в каждом случае оптимальное управление обеспечивает выход системы на квазистационарную траекторию (рис. 1-4), которая характеризуется стабильным экономическим ростом (удельная величина ВРП увеличивается в среднем на 1,5 % ежегодно) и ростом благосостояния населения (среднедушевого потребления), которое на конец периода планирования составляет порядка 108 тыс. руб./чел. в год. Расчеты показывают, что на траектории сбалансированного роста (квазистационарной траектории) около одной трети произведенного продукта необходимо направлять в развитие факторов производства, и около двух третей — на потребление.

Рис. 1. Траектории динамики фазовых координат (вариант I)

Рис. 2. Траектории динамики фазовых координат (вариант II)

Рис. 3. Траектории динамики фазовых координат (вариант III)

математический макроэкономический инвестиционный благосостояние

Рис. 4. Траектории динамики фазовых координат (вариант IV)

Рис. 5. Траектории динамики весов значимости (варианты I и II)

Рис. 6. Траектории динамики весов значимости (варианты III и IV)

Параметрические исследования модели показали, что значение целевого функционала достигает наибольшего значения при . Удельное потребление в конце периода планирования монотонно уменьшается с ростом . Это связано с тем, что потребление есть доля произведенного ВРП, который уменьшается с ростом нижней границы потребления. Также снижается средний темп прироста ВРП на квазистационарной траектории. Расчеты также показали, что чем больше значение границы , тем при меньших значениях фазовых координат реализуется траектория сбалансированного роста.

Рассматриваются результаты реализации четырехфакторной модели экономической системы (22), (24), (25) с производственной функцией вида (21).

Коэффициенты параметров производственной функции: , , , , , , , . Функции задаются экзогенно. Принимаются следующие значения параметров: ; ; , где , ; . Период планирования лет. Начальные условия: , в тыс. руб./чел. в год.

Построенное при заданном начальном состоянии системы оптимальное управление (рис. 8) обеспечивает выход системы на квазистационарную траекторию (рис. 7), которая характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 6,5 % в год. На траектории сбалансированного роста около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление, остальные средства приблизительно в равных пропорциях распределяются на инвестиции во все факторы производства.

Рис. 7. Траектории фазовых координат:

1 — квазистационарные траектории факторов и , 2 — квазистационарные траектории факторов и , 3 — оптимальные траектории факторов и , 4 — оптимальные траектории факторов и

Рис. 8. Графики изменения параметров управления:

1 — доля , 2 — доля , 3 — доля , 4 — доля , 5 — доля

Параметрические исследования зависимости параметров оптимальной траектории от нижней границы потребления и начальных значений фазовых переменных показали результаты, аналогичные результатам, полученным в двумерной модели. Также исследовалось влияние на решение задачи темпов научно-технического прогресса ( и ).

Увеличение темпов НТП вызывает пропорциональный рост соответствующего неинновационного фактора на траектории сбалансированного роста. Чем больше значение темпа НТП, тем больше значения целевого функционала и удельного ВРП и, при заданных начальных условиях, быстрее наступает момент выхода на квазистационарную траекторию.

Заключение

Разработана негомогенная оптимизационная модель динамики макроэкономической системы в многомерном фазовом пространстве, в которой учитывается эффективность инвестиций и нижняя граница значений управляющих переменных.

Предложен новый метод (индексный метод), основанный на применении принципа максимума Понтрягина и позволяющий решать задачи оптимального управления динамикой макроэкономических систем на основе решения прямой задачи Коши с заданными начальными условиями для фазовых переменных.

Разработанный алгоритм численной реализации индексного метода применен к задачам оптимального управления в фазовых пространствах различной размерности, проведен анализ поведения управляемой экономической системы в зависимости от ее начального состояния. Во всех случаях тестирование предложенного метода показало эквивалентность управлений, построенных на основе индексного метода и непосредственного применения принципа максимума.

Представлена модель экономической системы с учетом научно-технического прогресса в производственной и социальной сфере. Дана постановка задачи в частных производных с учетом распределения факторов производства во временно-возрастной плоскости; данная задача при определенных условиях сводится к задаче в канонической форме; приводится ее решение с помощью разработанного алгоритма.

Параметры и коэффициенты разработанной двухфакторной модели рассчитывались на основе статистических данных по Удмуртской Республике. Построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей. Показано существование траектории сбалансированного развития (квазистационарной траектории), которая характеризуется ростом удельной величины ВРП и благосостояния населения в среднем на 1.5 % ежегодно; на траектории сбалансированного роста необходимо около одной трети произведенного продукта инвестировать в развитие факторов производства и около двух третей направлять на общее потребление.

В случае учета НТП также построены траектории оптимального управления и динамики макроэкономических показателей, а также показано существование траектории сбалансированного экономического развития, которая характеризуется экономическим ростом: ежегодно удельная величина ВРП и благосостояния населения увеличивается в среднем на 6,5 % в год; при этом около 90 % произведенного продукта направляется на общее потребление.

Проведены параметрические исследования двух- и четырехфакторной задач. Исследована зависимость решения от начальных условий и от нижней границы потребления. Показано, что время достижения траектории сбалансированного роста зависит от начального состояния системы, а функционал благосостояния системы немонотонно зависит от значения нижней границы потребления и достигает наибольших значений при задании границы на уровне 30 %. Показано, что, при заданных начальных условиях, при увеличении абсолютного значения темпов НТП быстрее наступает момент выхода на траекторию сбалансированного роста, а также возрастают значения целевого функционала и удельного ВРП. Темпы роста экономики на оптимальной траектории прямо пропорциональны абсолютной величине темпов НТП.

Основные публикации по теме диссертации, Русяк И.Г., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Беленький В.З., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Русяк И.Г., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Русяк И.Г., Кетова К.В., Сабирова О.Р., Сабирова О.Р.