Решение экономических задач оптимизационного типа

метки: Объем, Ограничение, Условие, Продукция, Товарный, Выражение, Прибыль, Условно

Методику построения модели и решения на ПЭВМ с ее помощью оптимизационных экономико-математических задач продемонстрируем на конкретном примере.

Пример 1. На консервное предприятие поступило 4800 т томатного сырья, из которого предполагается выработать четыре вида продукции: томатный сок, томат-пасту, острый томатный соус и томаты консервированные. Производство томатного соуса предполагает использование сахара. Нормы расхода сырья и материалов, время работы технологических линий, цены, материальные затраты, себестоимость и прибыль на тысячу условных банок (руб.) приведены в таблице 1.

Таблица 1

Показатели	Виды продукции
томатный сок	томат-паста	томат-соус	томаты консерв-ные
Нормы расхода, т.:
томатов	0,46	1,12	0,23	0,26
сахара	0,06
Потребность в технологических линиях, ч.	0,3	0,2	0,5	0,3
Затраты на сырье, тыс. руб.	1,9	2,1	3,9	2,0
Себестоимость, тыс. руб.	2,2	2,4	4,4	2,3
Цена, тыс. руб.	2,85	2,9	5,0	2,7
Прибыль, тыс. руб.	0,65	0,5	0,6	0,4

Должны быть соблюдены следующие условия: а) сырье должно быть использовано полностью; б) доля каждого из четырех видов продукции должна составить не менее 35, 20, и % от общего объема; в) должны быть определены потребность в сахаре на весь объем продукции, суммарная потребность в технологических линиях, а также суммарные величины итоговых экономических показателей (затрат на сырье, себестоимости и стоимости товарной продукции, прибыли); г) рентабельность продукции должна составить не менее 20%. Требуется определить оптимальный вариант производства продукции, позволяющий предприятию максимизировать экономический эффект. Составление модели. Первый этап предполагает выбор объекта и определение границ ее изучения, т.е. формулировку задачи.

Второй этап предполагает определение цели и выбор критерия (критериев) оптимальности. В соответствии с условием целью задачи является разработка варианта производства продукции, позволяющего максимизировать экономический эффект. Этот эффект в рассматриваемой задаче может быть выражен пятью показателями: объемом продукции в условно-натуральном выражении, суммарными материальными затратами, объемом товарной продукции, себестоимостью товарной продукции, прибылью от реализации товарной продукции. Следовательно, в качестве критерия оптимальности может быть принят один из указанных показателей (или все поочередно).

При выборе в качестве критерия оптимальности первого, третьего и пятого показателя задача решается на максимум, а при выборе второго и четвертого — на минимум.

Третий этап заключается в определении перечня переменных и условий ограничений. В рассматриваемой задаче переменными являются: X
₁
, X₂
, X₃
, X₄
— объем производства продукции соответственно томатного сока, томата-пасты, томата-соуса, томатов консервированных, в туб.; X₅
— объем производства всей продукции в условно-натуральном выражении, в туб.; X₆
— потребность в сахаре, в т.; X₇
— потребность в технологических линиях, в ч.; X₈
, X₉
, X _{, X — суммарные величины итоговых экономических показателей (в тыс. руб.) соответственно материальных затрат, себестоимости товарной продукции, прибыли.}

_{В качестве условий ограничений могут быть приняты: 1 — ограничение на использование томатного сырья, 2 — условие по определению общего объема производства продукции в условно-натуральном выражении; 3, 4, 5, 6 — ограничения на долю каждого из четырех видов продукции в общем объеме всей продукции; 7, 8 — условия по определению потребности в сахаре и технологических линиях; 9, 10, 11, — условия по определению итоговых экономических показателей, соответственно материальных затрат, себестоимости, стоимости и прибыли;}

• ограничение уровня рентабельности.

_{Четвертый этап предусматривает подготовку исходной информации. Такая информация для рассматриваемой задачи задана в ее условии.}

_{Пятый этап предполагает составление расширенной экономико-математической модели в аналитическом (в виде математических формул) или табличном виде.}

_{Для выполнения расчетов на ЭВМ удобен табличный вид составления модели. Однако, целесообразно составление модели как в табличном, так и в аналитическом виде.}

_{Для аналитической записи модели предварительно опишем методику математического выражения критерия оптимальности и условий-ограничений на основе исходной информации и выше предложенного перечня переменных.}

_{Прибыль на производства всей продукции (критерий оптимальности) равна сумме произведений объема продукции каждого вида и прибыли на единицу продукции и запишется в виде функции:}

_{экономический математический оптимизационный модель}

<sub>F = {0,65•X 1
+ 0,5•X2
+ 0,5•X3
+ 0,4•X4
}> max.</sub>

Этот критерий может быть выражен и следующим образом:

F = {X
_{/sub> }> max.}

_{Ограничение по полному использованию томатного сырья записывается в виде уравнения, левая часть которого представляет собой сумму произведений объемов продукции в условно-натуральном выражении на нормы сырья, а правая часть — объем подлежащих переработке томатов, т.е.}

<sub>0,46•X 1
+ 1,12•X2
+ 0,23•X3
+ 0,26•X4
= 4800.</sub>

Общий объем всей продукции равен сумме объемов всех четырех видов продукции:

X
₁
+ X₂
+ X₃
+ X₄
= X₅
.

Поэтому соответствующее второе условие в модели имеет вид:

X
₁
+ X₂
+ X₃
+ X₄
— X₅
= 0.

Третье ограничение должно обеспечить производства не менее 35% томатного сока от общего объема всей продукции. Оно имеет следующую математическую запись:

X
₁
— 0,35•X₅
? 0 (X₁
? 0,35•X₅
).

Следующие три ограничения аналогичны второму.

Потребность в сахаре равна произведению нормы его расхода на объем производства томатного соуса. Следовательно, соответствующее седьмое условие может быть записано в виде:

0,06•X
₃
— X₆
= 0 (0,06•X₃
= X₆
, где 0,06т = кг).

Условия 8-12 однотипны по методике математической записи. Аналитический вид их записи покажем на примере определения стоимости товарной продукции (11 условие).

Товарная продукция определяется путем умножения объема продукции каждого вида в условно-натуральном выражении на его цену и суммирование полученных произведений:

2,8•X
₁
+ 2,9•X₂
+ 5,0•X₃
+ 2,7•X₄
= X

<sub>Следовательно, соответствующее условие для ввода в ЭВМ запишется в виде: 2,8•X 1
+ 2,9•X2
+ 5,0•X3
+ 2,7•X4
— X = 0.</sub>

_{Особого пояснения требует методика записи ограничения на уровень рентабельности (13 условие).}

Как известно, рентабельность продукции равна отношению прибыли к себестоимости, выраженная в процентах. Если рентабельность обозначим через R, то

_{По условию задачи рентабельность оптимального варианта производства продукции должна быть не менее 14%. Следовательно, условие по обеспечению такого уровня рентабельности для ввода в ЭВМ целесообразно записать в виде:}

<sub>-14•X 9
+ 100•X ? 0 (?14).</sub>

_{Таким образом, аналитическая запись экономико-математической модели приобретает следующий вид:}

<sub>F = 0,65•X 1
+ 0,5•X2
+ 0,7•X3
+ + 0,4•X4
> max;</sub>

1. 0,46•X
₁
+ 1,12•X₂
+ 0,23•X₃
+ 0,26•X₄
= 4800;

2. X
₁
+ X₂
+ X₃
+ X₄
— X₅
= 0;

3. X
₁
— 0,35•X₅
? 0;

4. X
₂
— 0,20•X₅
? 0;

5. X
₃
— 0,15•X₅
? 0;

6. X
₄
— 0,25•X₅
? 0;

7. 0,06•X
₃
— X₆
= 0;

8. 0,3•X
₁
+ 0,2•X₂
+0,5•X₃
+ 0,3•X₄
— X₇
= 0;

9. 1,9•X
₁
+ 2,1•X₂
+ 3,9•X₃
+ 2,0•X₄
— X₈
= 0;

10. 2,2•X
₁
+ 2,4•X₂
+ 4,4•X₃
+ 2,3•X₄
— X₉
= 0;

11. 2,8•X
₁
+ 2,9•X₂
+ 5,0•X₃
+ 2,7•X₄
— X _{= 0;}

<sub>12. 0,6•X 1
+ 0,5•X2
+ 0,6•X3
+ 0,4•X4
— X = 0;</sub>

<sub>13. -14•X 9
+ 100•X ? 0.</sub>

_{Табличная запись экономико-математической модели называется рабочей матрицей и представляет собой прямоугольную таблицу, составляемую по следующей методике: а) переменные записываются в столбцы; б) условия-ограничения заносятся в строки; в) в клетки матрицы на пересечении столбцов и строк записываются технико-экономические коэффициенты (коэффициенты при переменных, записанные в аналитической модели); г) в последние два столбца вносятся виды ограничений (т.е. знаки равенства или неравенства) и величины ограничений (правые части уравнений и неравенств аналитической модели); д) в последнюю строку заносятся коэффициенты критерия оптимальности.}

_{В соответствии с описанной методикой табличная запись модели для рассматриваемой задачи будет следующей:}

Перечень ограничений (имя строки)	Перечень переменных (имя столбца)	Вид огранич
Х 1	Х 2	Х 3	Х 4	Х 5	X 6	X 7	X 8	X 9	X /sub>	X /sub>
1	0,46	1,12	0,23	0,26	=
2	1	1	1	1	=
3	1	-0,35	?
4	1	-0,2	?
5	1	-0,15	?
6	1	-0,25	?
7	0,06	=
8	0,3	0,2	0,5	0,3	=
9	1,9	2,1	3,9	2	=
2,2	2,4	4,4	2,3	=
2,8	2,9	5	2,7	=
0,6	0,5	0,6	0,4	=
-14	100	?
Критерий оптим-ти	0,65	0,5	0,6	0,4

_{Решение на ПЭВМ задач оптимизационного типа. Инструментарий}

_{“Поиск решения … ” электронных таблиц Excel и методика работы с ним. Реальные экономические задачи оптимизационного типа вручную невозможно решить в силу их большой размерности. По мнению одного из известных советских экономистов-математиков в области агропромышленного комплекса Блажа И.Д., для ручного решения оптимизационной задачи, содержащей 150 переменных и 100 условий-ограничений опытному математику потребуется лет. В экономической практике такие задачи считаются небольшими.}

_{Разработаны и широко распространены программные средства, позволяющие решать такие задачи на ЭВМ, в т.ч. на ПЭВМ. В частности, в электронных таблицах MS Excel содержится инструментарий для решения оптимизационных задач под названием “Поиск решения …”.}

_{Работа в процедуре “Поиска решения … ” осуществляется следующим образом:}

_{1. В окне Excel создается исходная таблица (в нашем примере таблица 2);}

_{2. Вводятся формулы для вычисления:}

_{а) расчетных значений по каждому ограничению (потребность сырья каждого вида по оптимальному решению), т.е.}

_{i = 1,2,3,4 ;}

_{б) суммарной величины критерия оптимальности, т.е.}

_{Эти формулы вводятся в столбец «Расчетное значение величины ограничителя», соответственно, в строки 1-4 и F;}

_{3. В строку «оптимальное решение» для Х j
вводятся нулевые значения;}

4. Запускается процедура «Поиск решения…» (Сервис > Поиск решения).

Появляется окно «Поиск решения» (рис. 1).

Рис. 1. Окно «Поиск решения» Excel

В окне «Поиск решения» следует выполнить следующие действия:

а) установить целевую ячейку, т.е. указать адрес ячейки, куда будет выведена суммарная величина критерия оптимальности (в нашем примере это ячейка таблицы (2) на пересечении строки (F) и столбца «Расчетное значение величины ограничителя»);

б) выбрать указатель цели, т.е. max, min или ноль (в нашем примере max);

в) ввести изменяемую ячейку, т.е. указать диапазон для вывода результата решения;

г) нажимая кнопку «добавить», через появляющееся окно (рис. 2) ввести последовательно все ограничения;

Рис. 2. Окно «Добавления ограничения» Excel

д) запустить задачу на решение (выбор кнопки «выполнить»).

После завершения решения на экран выводится окно «Результаты поиска решения» (рис. 3).

Рис. 3. Окно «Результаты поиска оптимального решения» Excel

Это окно используется для вывода итогового сообщения и найденного решения. Excel позволяет создать три типа отчетности по итогам поиска решения, называемые соответственно «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». «Результаты» представляет собой отчет, состоящий из целевой ячейки (критерия оптимальности) и списка влияющих ячеек модели (оптимального решения), их исходных и конечных значений, а также формул ограничений и дополнительных сведений о наложенных ограничениях.

«Устойчивость» — это отчет, содержащий сведения о чувствительности решения к малым изменениям в формуле модели: решение, ограничения и двойственные оценки (нормированный градиент (для переменных), множитель Лагранжа. Отчет «Пределы» состоит из целевой ячейки критерия оптимальности и списка влияющих ячеек модели (переменных), их значений, а также нижних и верхних границ. Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать влияющая ячейка при условии фиксированности значений остальных ячеек и их удовлетворения наложенным ограничениям. Соответственно верхним пределом называется наибольшее значение.