- Задача №1 Производственная задача №3
- Задача №2 Оптимальная организация рекламной компании №7
- Задача №3 Транспортная задача №8
- Задача №4 Задача об оптимальном назначении№8
Задача №1 Производственная задача
Постановка задачи.При производстве трех видов продукции используют два типа сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные таковы:Таблица 1.1
|
Запас сырья |
Расход сырья на единицу продукции |
|||
|
№1 |
№2 |
№3 |
||
|
40 |
4 |
5 |
1 |
|
|
24 |
2 |
1 |
3 |
|
|
Прибыль в у.е. |
80 |
60 |
70 |
|
Экономико-математическая модель.Обозначим за (i =1….3) объем производства соответствующей продукции.С учетом значений задачи получаем.4х
1
+ 5х
2
+ 1х
3
? 402х
1
+ 1х
2
+ 3х
3
? 24Дополнительные ограничения:, , .Необходимо найти оптимальный план выпуска продукций (т.е. ), который обеспечит максимальную выручку.Исходя из условий задачи целевая функция принимает вид:
Табличная модель. Рис. 1.1. Табличное представление модели
Более наглядно заполнение ячеек табличной формы задачи представлено на рисунке 1.2.
Рис. 1.2. Табличная модель с представленными формулами
Оптимизация. Сервис Поиск решений.
Рис. 1.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 1.4. Решение производственной задачи
Вывод: Оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что продукцию 1-ого и 3-ого видов необходимо производить в объеме 9 и 2 ед. соответственно, а продукции 2-ого вида не выпускать в производство. При этом обеспечивается максимальная выручка в размере 860 д.е.
Задача №2 Оптимальная организация рекламной компании
Постановка задачи.На рекламу выделено 80000 руб. Предприятие рекламирует свою деятельность, используя четыре источника массовой информации: Интернет, телевидение, радио, газеты. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что вложенные в рекламу средства приводят к увеличению прибыли на 16, 14, 9, 8 руб соответственно, в расчете на 1 руб, затраченный на рекламу. Руководство намерено потратить половину суммы на рекламу на телевидении, не менее 20% выделенной суммы — на радио, не более 25% — на газеты. Определить оптимальное распределение средств, направляемых на рекламу.
Экономико-математическая модель.
- средства, направленные на Интернет;
- средства, направленные на телевидение;
- средства, направленные на радио;
- средства, направленные на газеты.Целевая функция: Ограничения:х
1
+ х
2
+ х
3
+ х
4
= 80000,х
2
? 0,5 * 80000,х
3
? 0,2 * 80000х
4
? 0,25 * 80000х
1
? 0, х
2
? 0, х
3
? 0, х
4
? 0.
Табличная модель Рис. 2.1 Табличное представление модели Рис. 2.2 Табличная модель с представленными формулами Оптимизация
- Сервис Поиск решения
Рис. 2.3 Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 2.4 Решение задачи об оптимальной организации рекламной компании
Вывод: Для получения максимальной прибыли, предприятие, проводя рекламную компанию, должно вложить 24000 руб. на рекламу — в Интернете, 40000 руб. в рекламу на телевидении, 16000 р. — в рекламу на радио, и не вкладывать средства на рекламу в газетах. При этом максимальная прибыль составит 1088000 руб.
Задача №3 Транспортная задача
Постановка задачи.Фирма по доставке букетов цветов имеет шесть постоянных клиентов. Цветы поставляются из четырех киосков, где ежедневный запас составляет: 10, 20, 10, 30 букетов соответственно. Фирма получила заказ от постоянных клиентов: А, В, D, E, F по 10 букетов, C — 20 букетов. Удельные затраты на поставку букетов от каждого киоска каждому клиенту представлены в таблице. Определить объем поставки из каждого киоска каждому клиенту так, чтобы минимизировать суммарные затраты.
|
Киоск |
Клиенты |
||||||
|
А |
В |
С |
D |
E |
F |
||
|
1 |
2 |
10 |
8 |
4 |
7 |
6 |
|
|
2 |
3 |
6 |
3 |
9 |
3 |
5 |
|
|
3 |
5 |
3 |
3 |
5 |
6 |
4 |
|
|
4 |
4 |
7 |
2 |
2 |
1 |
8 |
|
Экономико-математическая модель.
Искомый объем перевозки от
i
- ого поставщика к
j
- ому потребителю обозначим через . Тогда определяются ограничения для условия реализации всех мощностей:Ограничения для удовлетворения спросов всех потребителей:х
11
+ х
21
+ х
31
+ х
41
= 10х
12
+ х
22
+ х
3 2
+ х
42
= 10х
13
+ х
23
+ х
33
+ х
43
= 20х
14
+ х
24
+ х
34
+х
44
= 10х
15
+ х
25
+ х
35
+ х
45
= 10х
16
+ х
26
+х
36
+ х
16
= 10Суммарные затраты на перевозку выражаются через коэффициенты затрат и поставки и определяют целевую функцию.Табличная модель.
Рис. 3.1.Табличное представление модели Рис. 3.2. Табличная модель с представленными формулами Оптимизация.
Сервис Поиск решения
Рис. 3.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 3.4. Решение транспортной задачи
Вывод: Минимальные суммарные затраты на доставку букетов цветов в размере 180 д.е. достигаются путем распределения поставок, представленных в ячейках [B4:G4]и[B6:G6] . Так, например, киоск 2 должен доставить клиенту C 10 ед. букетов и клиенту F 10ед. букетов. К клиентам A, В, D, E ехать не надо. А киоск 4 должен доставить клиентам C, D, E, по 10 ед. букетов. А к клиентам A, B, F ехать не надо.
Задача №4 Задача об оптимальном назначении
Постановка задачи.
На упаковочной поточной линии работают четыре сотрудника. Операции упаковки последовательны. Время работы (в мин.) каждого сотрудника на каждой операции представлено в таблице. Необходимо наладить процесс упаковки так, чтобы сократить общее время упаковки (повысить производительность).
|
Операции |
Сотрудники |
||||
|
А |
В |
С |
D |
||
|
1 |
9 |
8 |
8,5 |
7 |
|
|
2 |
8 |
8,8 |
8 |
8 |
|
|
3 |
8,5 |
7,5 |
7 |
7,4 |
|
|
4 |
8,8 |
8 |
7 |
7 |
|
Экономико-математическая модель. Данная задача является типичной моделью линейного целочисленного программирования (Ц.Л.П.), так как включает в себя двойственные ограничения на переменные (1- сотрудник назначается на должность, 0- сотрудник не назначается на должность).- сотрудник A назначается на должность № 1;
- сотрудник A назначается на должность № 2;х
13
- сотрудник A назначается на должность № 3;
- сотрудник A назначается на должность № 4;
- сотрудник B назначается на должность № 1;
- сотрудник B назначается на должность № 2;х
23
- сотрудник B назначается на должность № 3;
- сотрудник B назначается на должность № 4;
- сотрудник C назначается на должность № 1;
- сотрудник C назначается на должность № 2;х
33
- сотрудник C назначается на должность № 3;
- сотрудник C назначается на должность № 4;х
41
- сотрудник D назначается на должность № 1;
- сотрудник D назначается на должность № 2;х
43
- сотрудник D назначается на должность № 3;
- сотрудник D назначается на должность № 4;Имеем матрицу переменных:х
11
х
12
х
13
х
14
х
21
х
22
х
23
х
24
х
31
х
32
х
33
х
34
х
41
х
42
х
43
х
44
Целевая функция выражает суммарную производительность и имеет вид:Ограничения:Матрица переменных принимает двоичное значение:сотрудник назначается на должность;0- сотрудник не назначается на должность.
Табличная модель Рис. 4.1. Табличное представление модели
Рис. 4.2. Табличная модель с представленными формуламиОптимизация. Сервис Поиск решения
Рис. 4.3Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 4.4. Решение задачи об оптимальном назначении
Вывод: С учетом производительности труда всех работников по каждой операции, менеджеру необходимо назначить: сотрудника A на должность № 4, сотрудника B на должность №1, сотрудника C на должность №2, сотрудника D на должность №3,. При этом коллектив добьется общей времени упаковки 29,50 мин.
