Анализ экономических задач оптимизации

Решение задач
  • Задача №1 Производственная задача №3
  • Задача №2 Оптимальная организация рекламной компании №7
  • Задача №3 Транспортная задача №8
  • Задача №4 Задача об оптимальном назначении№8

Задача №1 Производственная задача

Постановка задачи.При производстве трех видов продукции используют два типа сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные таковы:Таблица 1.1

Запас сырья

Расход сырья на единицу продукции

№1

№2

№3

40

4

5

1

24

2

1

3

Прибыль в у.е.

80

60

70

Экономико-математическая модель.Обозначим за (i =1….3) объем производства соответствующей продукции.С учетом значений задачи получаем.4х

1

+ 5х

2

+ 1х

3

? 402х

1

+ 1х

2

+ 3х

3

? 24Дополнительные ограничения:, , .Необходимо найти оптимальный план выпуска продукций (т.е. ), который обеспечит максимальную выручку.Исходя из условий задачи целевая функция принимает вид:

Табличная модель. Рис. 1.1. Табличное представление модели

Более наглядно заполнение ячеек табличной формы задачи представлено на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. Табличная модель с представленными формулами

Оптимизация. Сервис Поиск решений.

Рис. 1.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 1.4. Решение производственной задачи

Вывод: Оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что продукцию 1-ого и 3-ого видов необходимо производить в объеме 9 и 2 ед. соответственно, а продукции 2-ого вида не выпускать в производство. При этом обеспечивается максимальная выручка в размере 860 д.е.

Задача №2 Оптимальная организация рекламной компании

Постановка задачи.На рекламу выделено 80000 руб. Предприятие рекламирует свою деятельность, используя четыре источника массовой информации: Интернет, телевидение, радио, газеты. Анализ рекламной деятельности в прошлом показал, что вложенные в рекламу средства приводят к увеличению прибыли на 16, 14, 9, 8 руб соответственно, в расчете на 1 руб, затраченный на рекламу. Руководство намерено потратить половину суммы на рекламу на телевидении, не менее 20% выделенной суммы — на радио, не более 25% — на газеты. Определить оптимальное распределение средств, направляемых на рекламу.

Экономико-математическая модель.

  • средства, направленные на Интернет;
  • средства, направленные на телевидение;
  • средства, направленные на радио;
  • средства, направленные на газеты.Целевая функция: Ограничения:х

1

+ х

2

+ х

3

+ х

4

= 80000,х

2

? 0,5 * 80000,х

3

? 0,2 * 80000х

4

? 0,25 * 80000х

1

? 0, х

2

? 0, х

3

? 0, х

4

? 0.

Табличная модель Рис. 2.1 Табличное представление модели Рис. 2.2 Табличная модель с представленными формулами Оптимизация

  • Сервис Поиск решения

Рис. 2.3 Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 2.4 Решение задачи об оптимальной организации рекламной компании

Вывод: Для получения максимальной прибыли, предприятие, проводя рекламную компанию, должно вложить 24000 руб. на рекламу — в Интернете, 40000 руб. в рекламу на телевидении, 16000 р. — в рекламу на радио, и не вкладывать средства на рекламу в газетах. При этом максимальная прибыль составит 1088000 руб.

Задача №3 Транспортная задача

Постановка задачи.Фирма по доставке букетов цветов имеет шесть постоянных клиентов. Цветы поставляются из четырех киосков, где ежедневный запас составляет: 10, 20, 10, 30 букетов соответственно. Фирма получила заказ от постоянных клиентов: А, В, D, E, F по 10 букетов, C — 20 букетов. Удельные затраты на поставку букетов от каждого киоска каждому клиенту представлены в таблице. Определить объем поставки из каждого киоска каждому клиенту так, чтобы минимизировать суммарные затраты.

Киоск

Клиенты

А

В

С

D

E

F

1

2

10

8

4

7

6

2

3

6

3

9

3

5

3

5

3

3

5

6

4

4

4

7

2

2

1

8

Экономико-математическая модель.

Искомый объем перевозки от

i

  • ого поставщика к

j

  • ому потребителю обозначим через . Тогда определяются ограничения для условия реализации всех мощностей:Ограничения для удовлетворения спросов всех потребителей:х

11

+ х

21

+ х

31

+ х

41

= 10х

12

+ х

22

+ х

3 2

+ х

42

= 10х

13

+ х

23

+ х

33

+ х

43

= 20х

14

+ х

24

+ х

34

44

= 10х

15

+ х

25

+ х

35

+ х

45

= 10х

16

+ х

26

36

+ х

16

= 10Суммарные затраты на перевозку выражаются через коэффициенты затрат и поставки и определяют целевую функцию.Табличная модель.

Рис. 3.1.Табличное представление модели Рис. 3.2. Табличная модель с представленными формулами Оптимизация.

Сервис Поиск решения

Рис. 3.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 3.4. Решение транспортной задачи

Вывод: Минимальные суммарные затраты на доставку букетов цветов в размере 180 д.е. достигаются путем распределения поставок, представленных в ячейках [B4:G4]и[B6:G6] . Так, например, киоск 2 должен доставить клиенту C 10 ед. букетов и клиенту F 10ед. букетов. К клиентам A, В, D, E ехать не надо. А киоск 4 должен доставить клиентам C, D, E, по 10 ед. букетов. А к клиентам A, B, F ехать не надо.

Задача №4 Задача об оптимальном назначении

Постановка задачи.

На упаковочной поточной линии работают четыре сотрудника. Операции упаковки последовательны. Время работы (в мин.) каждого сотрудника на каждой операции представлено в таблице. Необходимо наладить процесс упаковки так, чтобы сократить общее время упаковки (повысить производительность).

Операции

Сотрудники

А

В

С

D

1

9

8

8,5

7

2

8

8,8

8

8

3

8,5

7,5

7

7,4

4

8,8

8

7

7

Экономико-математическая модель. Данная задача является типичной моделью линейного целочисленного программирования (Ц.Л.П.), так как включает в себя двойственные ограничения на переменные (1- сотрудник назначается на должность, 0- сотрудник не назначается на должность).- сотрудник A назначается на должность № 1;

  • сотрудник A назначается на должность № 2;х

13

  • сотрудник A назначается на должность № 3;
  • сотрудник A назначается на должность № 4;
  • сотрудник B назначается на должность № 1;
  • сотрудник B назначается на должность № 2;х

23

  • сотрудник B назначается на должность № 3;
  • сотрудник B назначается на должность № 4;
  • сотрудник C назначается на должность № 1;
  • сотрудник C назначается на должность № 2;х

33

  • сотрудник C назначается на должность № 3;
  • сотрудник C назначается на должность № 4;х

41

  • сотрудник D назначается на должность № 1;
  • сотрудник D назначается на должность № 2;х

43

  • сотрудник D назначается на должность № 3;
  • сотрудник D назначается на должность № 4;Имеем матрицу переменных:х

11

х

12

х

13

х

14

х

21

х

22

х

23

х

24

х

31

х

32

х

33

х

34

х

41

х

42

х

43

х

44

Целевая функция выражает суммарную производительность и имеет вид:Ограничения:Матрица переменных принимает двоичное значение:сотрудник назначается на должность;0- сотрудник не назначается на должность.

Табличная модель Рис. 4.1. Табличное представление модели

Рис. 4.2. Табличная модель с представленными формуламиОптимизация. Сервис Поиск решения

Рис. 4.3Диалоговое окно надстройки Поиск решения Рис. 4.4. Решение задачи об оптимальном назначении

Вывод: С учетом производительности труда всех работников по каждой операции, менеджеру необходимо назначить: сотрудника A на должность № 4, сотрудника B на должность №1, сотрудника C на должность №2, сотрудника D на должность №3,. При этом коллектив добьется общей времени упаковки 29,50 мин.