В методических указаниях излагаются ы выполнения контрольных работ, контрольные задания

Вопросы к экзамену

Министерство Образования и Науки Российской Федерации ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА, МАРКЕТИНГА И ФИНАНСОВ

С.И. Моисеев, Ю.А. Померанцев, В.В. Свиридов

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу

для студентов заочной формы обучения

ВОРОНЕЖ – 2006

Авторы:

Кандидат физико-математических наук С.И. Моисеев, Кандидат физико-математических наук, доцент Ю.А. Померанцев, Доктор физико-математических наук, профессор В.В. Свиридов.

Методические указания по выполнению контрольных работ по курсу «Эконометрика» для студентов заочной формы обучения. Под редакцией д.ф.-м.н. профессора В.В. Свиридова. Воронеж: ИММиФ , 2006. — 83 с.

Методическое пособие утверждено на заседании кафедры математики и математических методов в экономике _______________________ 2006 г.

В методических указаниях излагаются примеры выполнения контрольных работ, контрольные задания, вопросы к экзамену по курсу «Эконометрика».

Предназначено для студентов заочного отделения ИММиФ.

© С.И. Моисеев, Ю.А. Померанцев, В.В. Свиридов, ИММиФ

1. Общие методические указания

Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради. На внешней обложке тетради следует указать фамилию и инициалы студента, полный учебный шифр, номер контрольной работы и дату отправки ее на проверку.

Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя нужно оставлять на каждой странице поля.

Студентам предлагается на выбор один из двух способов решения контрольной работы:

1) решение задач «вручную», то есть без применения статистических компьютерных пакетов (в этом случае достаточно иметь только инженерный калькулятор);

2) решение задач с помощью табличного процессора Excel.

Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить материалы конспектов лекций и практических занятий, а также соответствующие разделы рекомендуемой литературы.

На экзамен студент должен явиться с зачтенной контрольной работой. Если после проверки преподавателем работа помечена грифом «зачтено условно», то Вы в этой же тетради переделываете отмеченные проверявшим задания и представляете контрольную работу на повторную проверку прямо на экзамене (зачете).

Если же Ваша работа не зачтена, то Вы немедленно переделываете указанные в рецензии задания и высылаете на повторную проверку.

4 стр., 1675 слов

Курсовая работа: Методические указания к работе по курсу

... те работы, по которым автор слабо владеет материалом, не может ответить на вопросы преподавателя, не может объяснить выводы и основные положения работы. 8. Темы курсовых работ 1. Микроэкономика в ... 20. Эластичность спроса и предложения 21. Модели формирования рыночного равновесия 22. Влияние налогов и дотаций на рыночное равновесие 23. Производственная функция и ее роль в анализе деятельности ...

Номер варианта соответствует номеру фамилии в списке студентов из журнала группы. Если он превышает 30, то вариант равен номеру в списке минус 30 (31 соответствует первый вариант, 48 – восемнадцатый и т.д.).

2. Примеры выполнения контрольных заданий

Рассмотрим на примере способы выполнения заданий, предусмотренных контрольной работой. В данном разделе приводится способ решения контрольной работы без использования ЭВМ.

2.1. Пример выполнения контрольного задания № 1

Предположим, что первое задание некоторого нулевого варианта имеет следующий вид.

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y, необходимо:

1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей Х и Y.

2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~ y = ax + b .

3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p = 0,95 проверить его значимость.

4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.

5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных. Таблица 1. Вари- Расходы на рекламу хi , млн. р. ант 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Количества продаж yi , тыс. ед.

0. 14,2 16,3 16,6 18,9 19,4 20,4 23,3 24,2 27,1 27,4

Решение

1. Точечными оценками математического ожидания и дисперсии служат соответственно выборочная средняя и «исправленная» выборочная дисперсия. Точечной оценкой среднего квадратического отклонения служит корень квадратный из «исправленной» выборочной дисперсии.

Для вычисления точечных оценок математического ожидания, дисперсии, и среднего квадратического отклонения показателей X и Y составим вспомогательную таблицу 2.

Таблица 2. № xi yi xi − x ср (xi − xср)2

y i − y ср ( yi − yср )2

1 0,0 14,2 -2,25 5,0625 -6,58 43,2964 2 0,5 16,3 -1,75 3,0625 -4,48 20,0704 3 1,0 16,6 -1,25 1,5625 -4,18 17,4724 4 1,5 18,8 -0,75 0,5625 -1,88 3,5344 5 2,0 19,4 -0,25 0,0625 -1,38 1,9044 6 2,5 20,4 0,25 0,0625 -0,38 0,1444 7 3,0 23,3 0,75 0,5625 2,52 6,3504 8 3,5 24,2 1,25 1,5625 3,42 11,6964 9 4,0 27,1 1,75 3,0625 6,32 39,9424 10 4,5 27,4 2,25 5,0625 6,62 43,8244 Сумма 22,5 207,8 0 20,625 0 188,236 Сред- 2,25 20,78 нее зна чение

Выборочное среднее величины X определяется по формуле

1 n

xср = x = ∑ xi =2,25 (млн. руб.)

n i =1 Выборочная дисперсия величины X определяется по формуле

1 n

σ x2 = x = ∑ ( x i − x ) 2 =

20,625

= 2,0625

n i =1 10 «Исправленная» выборочная дисперсия величины X определяется по формуле

n 10

s x2 = σ x2 = 2,0625 ≈ 2, 2917

n −1 10 − 1 «Исправленное» среднее квадратическое отклонение величины X определяется по формуле

s x = s x2 = 2,2917 ≈ 1,514 (млн. руб).

4 стр., 1531 слов

Реферат: Использование средних величин в анализе социально экономических явлений

... Средние величины имеют очень важное значение в статистике, выполняя роль наиболее распространённой формы сводных показателей ... вузов в целом определяются действующим положением о начислении стипендии. В то ... в экономике, закономерностях их становления и развития. Работа посвящена рассмотрению метода средних величин. Она состоит из трёх разделов. В первом разделе рассматривается сущность средних величин ...

Выборочное среднее величины Y определяется по формуле

1 n 207,8

y ср = y = ∑

n i =1

yi =

=20,78 (тыс. ед.)

Выборочная дисперсия величины Y определяется по формуле

1 n 188,236

σ y2 = ∑

n i =1

( yi − y ) 2 =

= 18,8236 «Исправленная» выборочная дисперсия величины Y определяется по формуле

n 10

s 2y = σ y2 = 18,8236 ≈ 20,9151

n −1 10 − 1 «Исправленное» среднее квадратическое отклонение величины Y определяется по формуле

s y = s 2y = 20,9151 ≈ 4,573 (тыс. ед.).

2. В соответствии с методом наименьших квадратов (MHK) параметры a и b линейного уравнения регрессии ~y = ax + b определяются из системы нормальных уравнений:

 n n

nb + a ∑

i =1

x i = ∑

i =1

yi 

 n n 

b x + a x 2 = xi y i 

 ∑

i =1

i ∑ i ∑i =1 

Вычислим с помощью расчетной таблицы 3 необходимые вспомогательные суммы:

Таблица 3 № x y xy x 2

y 2 ~

y ~

y − y ( y − ~y )2

i i i i i i i i i i i 1 0,0 14,2 0 0 201,64 14,055 0,145 0,021 2 0,5 16,3 8,15 0,25 265,69 15,5495 0,7505 0,5633 3 1,0 16,6 16,6 1 275,56 17,044 -0,444 0,1971 4 1,5 18,8 28,35 2,25 357,21 18,5385 0,3615 0,1307 5 2,0 19,4 38,8 4 376,36 20,033 -0,633 0,4007 6 2,5 20,4 51 6,25 416,16 21,5275 -1,1275 1,2713 7 3,0 23,3 69,9 9 542,89 23,022 0,278 0,0773 8 3,5 24,2 84,7 12,25 585,64 24,5165 -0,3165 0,1002 9 4,0 27,1 108,4 16 734,41 26,011 1,089 1,1859 10 4,5 27,4 123,3 20,25 750,76 27,5055 -0,1055 0,0111 Ито- 22,5 207,8 529,2 71,25 4506,32 3,9585 го

В таблице 3 приведены также колонки для y i , y i − ~

yi , ( yi − ~

y i ) 2 , которые будут использованы для вычисления линейного коэффициента парной корреляции и средней стандартной ошибки прогноза.

Используя данные таблицы 3 система нормальных уравнений имеет вид:

10b + 22,5a = 207,8

22,5b + 71,25a = 529,2 Эта система имеет решения a ≈ 2,989 и b ≈ 14,055 . Линейное уравнение парной регрессии будет определяться по формуле

~y = 2,989 x + 14,055 .

3. Линейный коэффициент парной корреляции определяется по формуле:

n n n

n∑ xi y i − ∑ xi ∑ y i

r= i =1 i =1 i =1

.

2 2

n

  n n

  n

n ∑ xi2 −  ∑ xi  n∑ y i2 −  ∑ y i 

i =1  i =1  i =1  i =1 

С помощью таблицы 3 получаем

10 ⋅ 529,2 − 22,5 ⋅ 207,8 r= ≈ 0,9894.

10 ⋅ 71,25 − 22,5 2 ⋅ 10 ⋅ 4506,32 − 207,8 2

Так как коэффициент корреляции положителен и близок к единице, то между показателями X и Y существует очень тесная прямая связь.

Значимость коэффициента корреляции проверим с помощью t − критерия Стьюдента с доверительной вероятностью р=0,95, т.е. на уровне значимости α = 0,05 .

Наблюдаемое значение t − критерия Стьюдента находится по формуле

r n−2 0,9894 10 − 2

tн = = ≈ 19,30 .

1− r 2

1 − 0,9894 2

48 стр., 23733 слов

Методические рекомендации: Ключевые слова. модель регрессии, метод наименьших квадратов, остатки регрессии

... спецификация модели? 5. В чем состоит различие между теоретическим и эмпирическим уравнениями регрессии? 6. В чем суть метода наименьших квадратов? 7. Каковы формулы расчета коэффициентов эмпирического парного линейного уравнения регрессии по ... %B0&page=4#none) С. 323-338. 4. Валентинов, В. А. Эконометрика [Электронный ресурс]: Практикум / В. А. Валентинов. - 3-е изд. - М.: Дашков и К, ...

Для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n − 2 = 8 находим по таблице критических точек распределения Стьюдента приложения 1: t кр (0,95; 8) = 2,31 . Так как t н > t кр , то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, т.е. является значимым.

4. Прогнозное значение количества продаж определим по регрессионному уравнению ~y = 2,989 x + 14,055 , подставив в него планируемую величину расходов на рекламу 5 млн. руб.:

~

y пр = 2,989 ⋅ 5 + 14,055 ≈ 29,000 (тыс. ед.)

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

α = 0,05 .

Средняя квадратическая ошибка прогноза находится по формуле

1 ( x пр − x ) 2

S np = S y 1 + + n ,

n

∑ ( xi − x ) 2

i =1 где S — дисперсия отклонений фактических наблюдений от

y расчетных и

n

∑ ( y i − ~y i ) 2

i =1

S y = S y2 = .

n−m Здесь m — число нормальных уравнений, связывающих независимые наблюдения случайной величины. В нашем случае m =2.

Предельная ошибка прогноза определяется по формуле

∆упр = tкр (0,95; 8) ⋅S пр= 2,31⋅ 0,852 ≈ 1,968 (тыс.ед.).

Доверительный интервал прогноза будет определяться выражением

у пр ± ∆y пр = 29 ± 1,968 .

Таким образом, с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что если расходы на рекламу составят 5 млн. руб., то количество продаж будет заключено в пределах от 29-1,968=27,032 до 29+1,968=30,968 (тыс. ед.)

5. На рис.1 представлен график линии регрессии с нанесением на него опытных данных. График выполнен с применением системы Statistica.

Рис. 1. График линии регрессии ~y = 2,989 x + 14,055 ;

o опытные данные, ______ линейная модель регрессии; ———— границы 95% доверительного коридора (трубки) (при выполнении задания «вручную» такие границы вычислять и строить

на графике не нужно).

2.2. Пример выполнения контрольного задания № 2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер ~ y = a / x + b . Необходимо: 1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии ~y = a / x + b . 2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,95 проверить его значимость.

Таблица 4.

Вари- Доход семьи xi , тыс.р. на 1 чел.

ант 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

Процент расходов на товары длительного

пользования уi

0. 27,0 23,4 22,1 20,5 19,3 18,9 17,3 16,7 17,7 16,1

Решение

1. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид: ~ y = a x + b.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1 / х. В

y = aX + b . Рассчитаем его

результате получим линейное уравнение ~

параметры по данным таблицы 5.

Таблица 5. i xi yi Xi =1/xi Xi 2 Xiyi ~

yi (yi − ~ yi )2 (yi −y) ( yi − y)2

yi ) (yi − ~ 1 2 27 0.50 0.25 13.50 26.88 0.1200 0.0144 7.1000 50.410 2 2.5 23.4 0.40 0.16 9.36 23.85 -0.4536 0.2058 3.5000 12.250 3 3 22.1 0.33 0.11 7.37 21.84 0.2639 0.0697 2.2000 4.8400 4 3.5 20.5 0.29 0.08 5.86 20.39 0.1050 0.0110 0.6000 0.3600 5 4 19.3 0.25 0.06 4.83 19.31 -0.0141 0.0002 -0.6000 0.3600 6 4.5 18.9 0.22 0.05 4.20 18.47 0.4265 0.1819 -1.0000 1.0000 7 5 17.3 0.20 0.04 3.46 17.80 -0.5010 0.2510 -2.6000 6.7600 8 5.5 16.7 0.18 0.03 3.04 17.25 -0.5507 0.3033 -3.2000 10.240 9 6 17.7 0.17 0.03 2.95 16.79 0.9078 0.8241 -2.2 4.8400 10 6.5 16.1 0.15 0.02 2.48 16.40 -0.3042 0.0925 -3.8 14.440 Σ 42.5 199 2.69 0.84 57.03 1.9539 105.5 Ср. 4.25 19.9

12 стр., 5691 слов

Курсовой проект: Сравнительный анализ эконометрических моделей регрессии

... времени. В эконометрике в основном рассматривают ошибки спецификации модели, предполагая, что ошибки измерения сведены к минимуму. [2] Спецификация модели - выбор вида функциональной зависимости (уравнения регрессии). Величина ... особенностями: 1. причина Х и следствие Y взаимодействуют не непосредственно, а через промежуточные факторы, которые при анализе опускаются. 2. социально-экономические ...

Применяя МНК к уравнению ~

y = aX + b , получим систему

нормальных уравнений:

 n n

nb + a ∑i =1

X i = ∑

i =1

yi ,

10b + 2.6936 ⋅ a = 199,

 n 

2.6936b + 0.8391 ⋅ a = 57.0321;

n n

b X + a X 2 =

 ∑ ∑ ∑

i i X i yi ;

i =1 i =1 i =1

a ≈ 30.19346; Эта система имеет решения 

b ≈ 11.76709.

Уравнение нелинейной регрессии имеет вид:

~ 30.19346

y = 11.76709 + ;

x

2. Определим индекс корреляции по формуле:

pYX = 1−

∑ ( y − ~y )

i i

= 1−

1.9539

≈ 0.991;

∑(y − y)

i

105.5 Связь между показателем у и фактором х очень тесная.

Проверим значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение статистики определяется по формуле:

p 2 yx 0.9912

F= ⋅ (n − 2 ) = ⋅ (10 − 2 ) ≈ 423.953;

1 − p yx2

1 − 0.9912

По таблице критических точек F-распределения ФишераСнедекора приложения 2 находим табличное значение FТабл .

F > Fтабл = 5,32 для α = 0,05 , k1 = m = 1 ,

k2 = n − m − 1 = 8

Индекс корреляции значим, т.к. F > FТабл . Нанесем на график фактические данные и построенную модель регрессии (рис.2 и рис.3).

Рис.2. График линейной регрессии ~

y =11.76709+ 30.193Х . (X=X1) o — опытные данные, ______ линеаризованная модель регрессии; ———— границы 95% доверительного коридора (трубки) (при выполнении задания такие границы вычислять и строить на графике не нужно).

График выполнен с применением системы Statistica. y, процент расходов

20

y

y1

5

0 2 4 6 8

x, доход семьи,тыс. руб. на чел.

Рис.3. График нелинейной гиперболической регрессии

30.19346

~

y = 11.76709 + ; y- опытные данные, y1= ~

y x

гиперболическая модель регрессии.

График выполнен с применением табличного процессора Excel.

2.3. Пример выполнения контрольного задания № 3

Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семьи yi , чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~ z = ax + by + c .

2. Найти парные коэффициенты корреляции rxy , rxz , ryz .

3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.

4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью p = 0,95 его статистическую значимость.

12 стр., 5531 слов

Курсовая работа: Модели множественной линейной регрессии

... . rxj, xk — линейный парный коэффициент корреляции, измеряющий тесноту связи между признаками хj и хk j, k =1; m. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям: 1 ... лет со стажем работы по данной специальности 10 лет. Задачи: 1. Определить наличие зависимости показателя Заработная плата от Возраста и Стажа с использованием корреляционной матрицы. 2. Найти ...

Таблица 6.

Значения факторов хi и уi хi 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4 уi 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Вар. Значения фактора zi 0. 3,7 4,0 4,8 4,6 4,9 5,1 6,1 6,6 7,0 6,9 7,2 7,9 7,3 7,7 8,6

Решение 1. Согласно МНК параметры уравнения регрессии находятся по формуле:

(

A = XT ⋅ X )

−1

⋅ XTZ ,

1 x1 y1 

 

1 x2 y2  где X =  — матрица значений объясняющих переменных;

… … … 

 

1 xn yn 

  z1    z  Z =  2  — матрица-столбец значений зависимой переменной;

…   z   n c   A =  a  — матрица-столбец параметров линейного уравнения b   регрессии.

В нашем случае

1 2 1  3.7 

   

1 3 1  4.0 

1 4 1  4.8 

   

1 2 2  4.6 

   

1 3 2  4.9 

1 4 2  5.1 

   

1 3 3  6.1 

X = 1 4 3 Z =  6.6 

   

1 5 3  7.0 

1 3 4  6.9 

   

1 4 4  7.2 

1 5 4   7.9 

  

1 2 5  7.3 

   

1 3 5  7.7 

1 5   8.6 

 4  

Матрица XTX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:

1 1 1 x1 y1 

… 1   

  1

 x2 y2 

X T X =  x1 x 2 … x n  ⋅  =

  … … … 

 y1 y 2 … y n   

  1 x n y n 

 n n

n

∑ xi

n =1

∑y i

i =1

 15 51 45

 n n n   

=  ∑ xi ∑ xi ∑ xi y i  =  51 187 156 

 i =1 i =1 i =1   

 n n n   45 156 165 

 ∑ y i ∑ x i y i ∑ yi2 

 i =1 i =1 i =1 

Обозначим через B = XTX. Тогда матрица B-1 определяется по формуле

1 ~T

B −1 =⋅B ,

B

~ где |B| — определитель матрицы B, B — матрица, составленная из

~ алгебраических дополнений к элементам матрицы B . B T –

~ транспонированная матрица к матрице B .

Получаем:

( )

B = 15 ⋅ 187 ⋅ 165 − 156 2 − 51 ⋅ (51 ⋅ 165 − 45 ⋅ 156 ) +

+ 45 ⋅ (51 ⋅ 156 − 45 ⋅ 187 ) = 5985

~ 187 156

B11 = = 187 ⋅ 165 − 156 2 = 6519

156 165

51 156

= −(51 ⋅ 165 − 45 ⋅ 156 ) = −1395

~

B12 =

45 165

~ 51 187

B13 = = 51 ⋅ 156 − 45 ⋅ 187 = −459

45 156

51 45

= −(51 ⋅ 165 − 156 ⋅ 45) = −1395

~

B21 = −

156 165

~ 15 45

B22 = = 15 ⋅ 165 − 45 2 = 450

45 165

15 51

= −(15 ⋅ 156 − 45 ⋅ 51) = −45

~

B23 = −

45 156

~ 51 45

B31 = = 51 ⋅ 156 − 187 ⋅ 45 = −459

187 156

15 45

= −(15 ⋅ 156 − 51 ⋅ 45) = −45

~

B32 = −

51 156

3 стр., 1499 слов

Курсовая работа: Расчет коэффициента корреляции между притоком прямых иностранных инвестиций и темпами экономического роста на примере Сингапура и Перу

... %. По сравнению с аналогичным периодом прошлого года экономика Сингапура за минувший квартал увеличилась на 6 %. В ... иностранных предпринимателей. Оффшорные банки Сингапура дают использующим их хозяйствующим субъектам целый ряд преимуществ. А благодаря взвешенной ... в Сингапур, прежде всего, качественное и доступное оборудование, солидные зарплаты и хорошие перспективы спокойной научной работы. В ...

~ 15 51

B33 = = 15 ⋅ 187 − 512 = 204

51 187

~ Таким образом, матрица B имеет вид

~ ~ ~

 B11 B12 B13   6519 − 1395 − 459 

 

~ ~ ~ ~   

B = B21 B22 B23 =  − 1395 450 − 45  ,

~ ~ ~   − 459 − 45 204 

 B31 B B  

 32 33 

~ а матрица B T примет вид

B~ ~ ~

B21 B31   6519 − 1395 − 459 

 11 

~T  ~ ~ ~   

B = B 12 B22 B32 =  − 1395 450 − 45 

~ ~   − 459

 B13 B ~

B  − 45 204 

 23 33 

Для матрицы B-1 получаем:

1 ~T 1

B −1 = ⋅B = •

B 5985  6519 − 1395 − 459  1.08922 − 0.23308 − 0.07669     •  − 1395 450 − 45  =  − 0.23308 0.07519 − 0.00752  − 459 − 45 204   − 0.07669 − 0.00752 0.03409   Нетрудно получить, что матрица

 3.7 

 

 4.0 

 4.8 

 

 4.6 

 

 4.9 

 5.1 

 

1 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1   6.1   92.4 

   

C = X T ⋅ Z =  2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4  ⋅  6.6  =  323.7 

1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5   7.0   306.8 

     

 6.9 

 

 7.2 

 7.9 

 

 7.3 

 

 7.7 

 8.6 

  Окончательно, для матрицы A получаем

A = ( X T ⋅ X ) −1 ⋅ ( X T ⋅ Z ) = B −1 ⋅ C =

 1.08922 − 0.23308 − 0.07669  92.4  1.666   c 

       

=  − 0.23308 0.07519 − 0.00752 ⋅  323.7  =  0.495 =  a 

 − 0.07669 − 0.00752 0.03409   306.8   0.937  b 

       

Следовательно, c = 1.666;

a = 0.495;

b = 0.937.

Окончательно, уравнение множественной линейной регрессии имеет вид: ~

z = 1.666 + 0.495 ⋅ x + 0.937 ⋅ y .

2. Рассчитаем парные коэффициенты корреляции по формулам:

n

− 1

∑ (

xi − x z i − z

n

)(

)

∑ yi − y z i − z ( )( ) rxz = ; ryz = ;

Sx ⋅ Sz S y ⋅ Sz

n

− 1

∑ xi − x y i − y ( )( )

rxy = ;

Sx ⋅ Sy

∑ (x ) ∑ (y )

2 2

−x −y где S x = ; Sy =

i i

;

n −1 n −1

∑ (z )2

−z Sz =

i

— «исправленные» среднеквадратические

n −1 отклонения величин x, y и z.

По данным расчетной таблицы 7 находим:

∑ (x )2

−x 13.6

Sx = = ≈ 0.986;

i

n −1 14

∑ (y ) ∑ (z )

2 2

−y 30 −z Sy = = ≈ 1.464; S z = ≈ 1.533

i i

n −1 14 n −1

Таблица 7.

xi yi zi xi − x yi −y zi −z (xi −x) (yi −y) (zi −z) (xi − x) ⋅ (yi − y) ⋅ (xi −x)⋅

2 2 2 i

⋅(zi − z) ⋅ (zi − z) ⋅(yi − y) 1 2 1 3.7 -1.4 -2 -2.46 1.96 4 6.052 3.444 4.920 2.8 2 3 1 4 -0.4 -2 -2.16 0.16 4 4.666 0.864 4.320 0.8 3 4 1 4.8 0.6 -2 -1.36 0.36 4 1.850 -0.816 2.720 -1.2 4 2 2 4.6 -1.4 -1 -1.56 1.96 1 2.434 2.184 1.560 1.4 5 3 2 4.9 -0.4 -1 -1.26 0.16 1 1.588 0.504 1.260 0.4 6 4 2 5.1 0.6 -1 -1.06 0.36 1 1.124 -0.636 1.060 -0.6 7 3 3 6.1 -0.4 0 -0.06 0.16 0 0.004 0.024 0.000 0 8 4 3 6.6 0.6 0 0.440 0.36 0 0.194 0.264 0.000 0 9 5 3 7 1.6 0 0.840 2.56 0 0.706 1.344 0.000 0 10 3 4 6.9 -0.4 1 0.740 0.16 1 0.548 -0.296 0.740 -0.4 11 4 4 7.2 0.6 1 1.040 0.36 1 1.082 0.624 1.040 0.6 12 5 4 7.9 1.6 1 1.740 2.56 1 3.028 2.784 1.740 1.6 13 2 5 7.3 -1.4 2 1.140 1.96 4 1.300 -1.596 2.280 -2.8 14 3 5 7.7 -0.4 2 1.540 0.16 4 2.372 -0.616 3.080 -0.8 15 4 5 8.6 0.6 2 2.440 0.36 4 5.954 1.464 4.880 1.2 Ито 51 45 92.4 0 0 0 13.6 30 32.896 9.54 29.6 3 го Cp.

4 стр., 1657 слов

Реферат: Временные ряды в эконометрических исследованиях

... составляющие временного ряда; 3. Сглаживание и фильтрация, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний; 4. Модели авторегрессии ... нему ключ. Именно объединение их и составляет предмет эконометрики. Основные понятия в теории временных рядов Временной ряд — это некоторая последовательность чисел (измерений) экономического или ...

3.4 3 6.16 знач

∑ ( )(

xi − x z i − z

)

⋅ 9.54

rxz = n − 1 = 14 ≈ 0.451

Sx ⋅ Sz 0.986 ⋅ 1.533

∑ ( )(

yi − y z i − z

)

⋅ 29.6

ryz = n − 1 = 14 ≈ 0.942

S y ⋅ Sz 1.464 ⋅1.533

1

∑ (

xi − x yi − y)( 1

⋅3)

rxy = n − 1 = 14 ≈ 0.149

Sx ⋅ Sy 0.986 ⋅ 1.464 Матрица парных коэффициентов корреляции примет вид:

1 rxy rxz   1 0.149 0.451 

   

Qr =  ryx 1 ryz  =  0.149 1 0.942 

r rzy 1   0.451 0.942 1 

 zx

3. Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью р=0,95, т.е. на уровне значимости α = =1 — р = 0,05 . Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:

1 − rxz2 1 − 0.4512

σ rxz = = ≈ 0.248;

n−2 15 − 2

1 − ryz2 1 − 0.942 2

σ ryz = = ≈ 0.093;

n−2 15 − 2

1 − rxy2 1 − 0.1492

σ rxy = = ≈ 0.274;

n−2 15 − 2 Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:

rxz 0.451

t rрасч = = ≈ 1.822

xz

σ rxz 0.248

ryz 0.942

trрасч = = ≈ 10.143

yz

σ ryz 0.093

rxy 0.149

trрасч = = ≈ 0.542

xy

σ rxy 0.274

По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики (приложение 1): при α = 1 — р = 0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: tкр = 2,16.

Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции ryz , т.к. для него

trрасч

xz

> t кр 4. Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизованные β — коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:

a ⋅ S x 0.495 ⋅ 0.986

βx = = ≈ 0.318;

Sz 1.533

b ⋅ S y 0.937 ⋅ 1.464

βy = = ≈ 0.895;

Sz 1.533 Индекс множественной корреляции равен: R = β x ⋅ rxz + β y ⋅ ryz = 0.318 ⋅ 0.451 + 0.895 ⋅ 0.942 ≈ 0.993;

Оценка значимости индекса множественной корреляции вытекает из оценки значимости индекса множественной детерминации с использованием общего F-критерия Фишера:

R 2 (n − m − 1) 0.993 2 (15 − 2 − 1) F= = = 447.427;

(

m 1− R2 ) (

2 1 − 0.993 2 ) Здесь n — число наблюдений, n=15, m – число факторов множественной регрессии.

По таблице F-распределения приложения 2 находим для степеней свободы k1 = m = 2 и k 2 = n − m − 1 = 15 − 2 − 1 = 12; α = 0,05 ; Fкр = 3,88 . Следовательно, значение индекса множественной корреляции является значимым, т.к. F > Fкр.

4 стр., 1989 слов

Реферат: Белорусская экономическая модель – компонент идеологии белорусского государства

... т.д. Иными словами, государство обеспечивает жизнедеятельность и эффективность экономической системы. Деятельность государства осуществляется, исходя из его идеологии, которая ... модель национально-экономического развития, которая формируется на базе синтеза региональных тенденций и мирового опыта. Впервые четкую формулировку основных особенностей белорусской модели дал в марте 2002 г. Президент РБ ...

2.4. Пример выполнения контрольного задания № 4

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1.Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95 .

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную (или мультипликативную) модель временного ряда.

Таблица 8. Вари- Стоимость акции по месяцам (руб.) ант 0. 13,1 11,9 11,8 17,3 15,9 16,1 20,5 19,2 19,9 23,9 22,8 23,8

Решение

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:

n −k n −k n −k

(n − k )∑ yt yt + k − ∑ yt ⋅ ∑ yt + k r (k ) = t =1 t =1 t =1

2 2

(n − k )∑ y −  ∑ yt  ⋅  n− k 

n− k n− k n −k

t (n − k )∑ y 2

t+k −  ∑ yt +k 

t =1  t =1  t =1  t =1 

Функция r(k) называется автокорреляционной функцией, а ее график — коррелограммой.

1.1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 9.

Таблица 9. Месяц yt yt+1 yt 2 2

y t+1 ytyt+1

1 13.1 11.9 171.61 141.61 155.89

2 11.9 11.8 141.61 139.24 140.42

3 11.8 17.3 139.24 299.29 204.14

4 17.3 15.9 299.29 252.81 275.07

5 15.9 16.1 252.81 259.21 255.99

6 16.1 20.5 259.21 420.25 330.05

7 20.5 19.2 420.25 368.64 393.6

8 19.2 19.9 368.64 396.01 382.08

9 19.9 23.9 396.01 571.21 475.61

10 23.9 22.8 571.21 519.84 544.92

11 22.8 23.8 519.84 566.44 542.64 Итого 192.4 203.1 3539.72 3934.55 3700.41

11 11 11

(12 − 1)∑ yt yt + k − ∑ yt ⋅ ∑ yt + k r (1) = t =1 t =1 t =1

=

2 2

(12 − 1)∑ yt2 −  ∑ yt  ⋅ (12 − 1)∑ yt2+1 −  ∑ yt +1 

11 11 11

t =1  t =1  t =1  t =1 

11 ⋅ 3700.41 − 192.4 ⋅ 203.1 = ≈ 0.825; 11 ⋅ 3539.72 − 192.4 ⋅ 11 ⋅ 3934.55 − 201.3

2 2

1.2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 2 месяца. Для этого составим расчетную таблицу 10.

Таблица 10.

Месяц yt yt+2 yt 2 y2t+2 ytyt+2

1 13.1 11.8 171.61 139.24 154.58

2 11.9 17.3 141.61 299.29 205.87

3 11.8 15.9 139.24 252.81 187.62

4 17.3 16.1 299.29 259.21 278.53

5 15.9 20.5 252.81 420.25 325.95

6 16.1 19.2 259.21 368.64 309.12

7 20.5 19.9 420.25 396.01 407.95

8 19.2 23.9 368.64 571.21 458.88

9 19.9 22.8 396.01 519.84 453.72

10 23.9 23.8 571.21 566.44 568.82 Итого 169.6 191.2 3019.88 3792.94 3351.04

10 10 10

(12 − 2 )∑ yt yt + 2 − ∑ yt ⋅ ∑ yt + 2 r (2 ) = t =1 t =1 t =1

=

2 2

(12 − 2)∑ yt2 −  ∑ yt  ⋅  10 

10 10 10

(12 − 2 )∑ yt2+ 2 −  ∑ yt +2 

t =1  t =1  t =1  t =1 

10 ⋅ 3351.04 − 169.6 ⋅ 191.2 = ≈ 0.772;

10 ⋅ 3019.88 − 169.6 2 ⋅ 10 ⋅ 3792.94 − 191.2 2

1.3. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца. Для этого составим расчетную таблицу 11.

Таблица 11.

Месяц yt yt+3 yt 2 y2t+3 ytyt+3

1 13.1 17.3 171.61 299.29 226.63

2 11.9 15.9 141.61 252.81 189.21

3 11.8 16.1 139.24 259.21 189.98

4 17.3 20.5 299.29 420.25 354.65

5 15.9 19.2 252.81 368.64 305.28

6 16.1 19.9 259.21 396.01 320.39

7 20.5 23.9 420.25 571.21 489.95

8 19.2 22.8 368.64 519.84 437.76

9 19.9 23.8 396.01 566.44 473.62 Итого 145.7 179.4 2448.67 3653.7 2987.47

9 9 9

(12 − 3)∑ yt yt +3 − ∑ yt ⋅ ∑ yt +3 r (3) = t =1 t =1 t =1

=

2 2

(12 − 3)∑ yt2 −  ∑ yt  ⋅ (12 − 3)∑ yt2+3 −  ∑ yt +3 

9 9 9 9

t =1  t =1  t =1  t =1 

9 ⋅ 2987.47 − 145.7 ⋅ 179.4 = ≈ 0.995; 9 ⋅ 2448.67 − 145.7 2 ⋅ 9 ⋅ 3653.7 − 179.4 2

1.4. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяца. Для этого составим расчетную таблицу 12.

Таблица 12. Месяц yt yt+4 yt 2

y 2

t+4 ytyt+4

1 13.1 15.9 171.61 252.81 208.29

2 11.9 16.1 141.61 259.21 191.59

3 11.8 20.5 139.24 420.25 241.9

4 17.3 19.2 299.29 368.64 332.16

5 15.9 19.9 252.81 396.01 316.41

6 16.1 23.9 , 259.21 571.21 384.79

7 20.5 22.8, 420.25 519.84 467.4

8 19.2 23.8 368.64 566.44 456.96 Итого 125.8 162.1 2052.66 3354.41 2599.5

8 8 8

(12 − 4)∑ yt y t + 4 − ∑ y t ⋅ ∑ y t + 4 r (4) = t =1 t =1 t =1

=

2 2

(12 − 4)∑ y t2 −  ∑ y t  ⋅ (12 − 4)∑ yt2+ 4 −  ∑ y t + 4 

8 8 8 8

t =1  t =1  t =1  t =1 

8 ⋅ 2599.5 − 125.8 ⋅ 162.1 = ≈ 0.700; 8 ⋅ 2052.66 − 125.8 2 ⋅ 8 ⋅ 3354.41 − 162.12

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции.

Значимость коэффициентов автокорреляции принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q критерия Бокса – Пирса.

Первый критерий используется для проверки значимости отдельного коэффициента автокорреляции. С его помощью удается выявить среди запаздывающих переменных те, которые необходимо включить в модель. Второй критерий позволяет сделать вывод о значимости всего множества переменных, включаемых в модель.

Суть проверки по первому критерию сводится к построению доверительного интервала для каждого коэффициента автокорреляции по формуле:

1 1

− 1,96 ≤ rk ≤ 1,96 ,

n n где n — число пар наблюдений временного ряда.

Возможность построения такого интервала основана на том, что коэффициенты автокорреляции случайных данных обладают выборочным распределением, приближающемся к нормальному с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, равным . Если рассчитанное значение

n автокорреляции попадает в этот интервал, то можно сделать вывод, что данные не показывают наличие автокорреляции k -го порядка с 95% уровнем надежности.

Статистика для проверки по Q критерию рассчитывается по формуле

m

Q = n∑ ri 2 ,

i =1 где n — объем выборочной совокупности (длина временного ряда); m — максимальный рассматриваемый лаг.

Статистика Q имеет распределение χ с m — степенями свободы и поэтому в случае, когда расчетное значение Q превосходит критическое значение χ с соответствующими степенями свободы, то, в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m, считается значимой.

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции исходного временного ряда с помощью критерия стандартной ошибки. Доверительный интервал для к − го коэффициента автокорреляции исходного временного ряда в соответствии с формулой

− 1.96 1.96

≤ rk ≤

n n будет равен:

− 1.96 1.96

1) для r (1) ≤ r (1) ≤ или

11 11 − 0,591 ≤ r (1) ≤ 0,591 , так как объем выборки в этом случае составляет n-1=12-1=11 пар наблюдений;

− 1.96 1.96

2) для r (2) ≤ r (2) ≤ или

10 10 − 0,620 ≤ r (1) ≤ 0,620 , так как объем выборки в этом случае составляет n-2=12-2=10 пар наблюдений;

− 1.96 1.96

3) для r (3) ≤ r (3) ≤ или

9 9 − 0,653 ≤ r (1) ≤ 0,653 , так как объем выборки в этом случае составляет n-3=12-3=9 пар наблюдений;

− 1.96 1.96

4) для r (4) ≤ r (4) ≤ или

8 8 − 0,693 ≤ r (1) ≤ 0,693 , так как объем выборки в этом случае составляет n-4=12-4=8 пар наблюдений. Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда составляют

r (1) = 0.825

r (2) = 0.772

r (3) = 0.995

r (4) = 0.700 и не попадают в соответствующие доверительные интервалы. Тогда делаем вывод, что данные наблюдений показывают наличие автокорреляции 1-ого, 2-ого, 3-его и 4-ого порядков.

Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.

Наблюдаемое значение Q-статистики равно

( )

m 4 Q H = n∑ ri2 = 12∑ ri2 = 12 ⋅ 0.825 2 + 0.772 2 + 0.995 2 + 0.700 ≈ 33.08

i =1 i =1

Для уровня значимости α = 0.05 и числа степеней свободы k = 4 находим по таблице критических точек распределения χ приложения 3

χ кр2 (α = 0.05; k = 4 ) = 9.5 . Так как Q H > χ кр , то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m = 4, считается значимой.

3. Построим коррелограмму для исходного временного ряда (рис.4).

Коррелограмма

1,2

0,8

r(k)

0,6 r

0,4

0,2

1 2 3 4

Величина лага, к

Рис.4. График автокорреляционной функции r (k ) (коррелограмма исходного временного ряда).

График выполнен с применением

табличного процессора Excel.

Знание автокорреляционной функции r (k ) может оказать помощь при подборе и идентификации модели анализируемого временного ряда и статистической оценки его параметров.

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, например, параболу второго порядка или экспоненту, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях временного ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка к, исследуемый ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в к моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Следует отметить, что интерпретация коррелограмм требует определенного навыка и не всегда легко осуществима.

Если при анализе временного ряда установлено, что ряд содержит сезонные или циклические колебания, то при моделировании сезонных колебаний применяют простейший подход – рассчитывают значения сезонной компоненты методом скользящей средней и строят аддитивную или мультипликативную модель временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

Y=T+S+E.

Такая модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой T, сезонной S и случайной E компонент. Общий вид мультипликативной модели может быть представлен формулой

Y=T ⋅ S ⋅ E.

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой T, сезонной S и случайной E компонент. Выбор одной из двух моделей проводится на основе анализа структуры сезонных колебаний.

Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие пункты. 1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. 2) Расчет значений сезонной компоненты S. 3) Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+S) в аддитивной модели или (T⋅S) в мультипликативной модели. 4) Аналитическое выравнивание уровней (T+S) или (T⋅ S) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда. 5) Расчет полученных по модели значений (T+S) или (T ⋅ S).

6) Расчет абсолютных или относительных ошибок.

4. Проведем анализ исходного временного ряда по его коррелограмме, изображенной на рис. 4.

На рис.5 по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда. Стоимость акции, руб.

20

15 y

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

месяцы

Рис.5. График наблюдаемых значений исходного временного ряда .

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков, а также значимость всей группы коэффициентов автокорреляции, свидетельствуют о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции третьего порядка свидетельствует о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

Рассчитаем компоненты выбранной модели.

1).

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого: просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящие средние (гр.3 табл. 13);

2).

Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней (гр.4 табл.13).

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл.14).

Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты S i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для аддитивной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна нулю.

Таблица13.

Простая

t, месяцы Оценка

yt, стоимость 3-х членная

сезонной

акции, руб. скользящая

компоненты

средняя

1 13,1 — 2 11,9 12,267 -0,367

3 11,8 13,667 -1,867

4 17,3 15 2,3

5 15,9 16,433 -0,533

6 16,1 17,5 -1,4

7 20,5 18,6 1,9

8 19,2 19,867 -0,667

9 19,9 21 -1,1

10 23,9 22,2 1,7

11 22,8 23,5 -0,7

12 23,8 — Таблица 14.

Показатель Номер месяца, i

1 2 3

1 — -0,36667 -1,86667

Квартал 2 2,3 -0,53333 -1,4

3 1,9 -0,66667 -1,1

4 1,7 -0,7 Итого за i -ый месяц (за весь год) 5,9 -2,26667 -4,36667

Средняя оценка сезонной 1,96667 -0,56667 -1,45556 компоненты для , i –го месяца, S i Скорректированная сезонная 1,98519 -0,54815 -1,43704

компонента, S i

Для данной модели получаем:

1,96667-0,56667-1,45556=-0,05556.

Корректирующий коэффициент определится по формуле:

S1 + S 2 + S 3

f = = — 0,05556 / 3 = -0,01852.

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом f:

S i = S i — f, i=1,2,3.

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты S1 + S 2 + S 2 = 0 :

1,98519-0,54815-1,43704=0.

Окончательно, для сезонной компоненты получены следующие значения:

за 1 месяц S1 = 1,98519;

за 2 месяц S 2 = -0,54815;

за 3 месяц S1 = -1,43704.

Полученные данные записываем в таблицу 15 для соответствующих месяцев года.

3) Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда:

T+E=Y-S (гр.4 табл. 15).

Таблица 15. t yt, Si T+E= T T+S E= yt – Е 2

y t − y t ( yt − yt )2

= yt — S i -(T+ S i ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 13,1 1,985 11,115 11,186 13,171 -0,071 0,005 -4,917 24,174 2 11,9 -0,548 12,448 12,428 11,88 0,019 0 -6,117 37,414 3 11,8 -1,437 13,237 13,670 12,233 -0,433 0,035 -6,217 38,647 4 17,3 1,985 15,315 14,912 16,897 0,403 0,026 -0,717 0,514 5 15,9 -0,548 16,448 16,154 15,606 0,294 0,007 -2,117 4,48 6 16,1 -1,437 17,537 17,396 15,959 0,141 0 -1,917 3,673 7 20,5 1,985 18,515 18,638 20,623 -0,123 0 2,483 6,167 8 19,2 -0,548 19,748 19,88 19,331 -0,131 0 1,183 1,4 9 19,9 -1,437 21,337 21,121 19,684 0,216 0,002 1,883 3,547 10 23,9 1,985 21,915 22,363 24,348 -0,448 0,04 5,883 34,614 11 22,8 -0,548 23,348 23,605 23,057 -0,257 0,004 4,783 22,88 12 23,8 -1,437 25,237 24,847 23,41 0,39 0,152 5,783 33,447

Итого 0,274 210,957

4).

Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E ) (гр.4 табл. 15) с помощью линейного тренда.

Для удобства переобозначим ряд (T+E) как W:

W=T+E.

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид

~ = a ⋅t + b .

wt

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений:

 n n

nb + a ∑

t =1

t = ∑

t =1

wt ;

 n n n

b t + a t 2 = tw

 t =1 ∑

t =1

∑t =1

t

Вычислим в таблице 13 необходимые суммы:

Таблица 16.

t wt t 2

twt ~

w t

1 11,115 1 11,115 11,18636

2 12,448 4 24,85647 12,42823

3 13,237 9 41,01032 13,67011

4 15,315 16 59,64793 14,91198

5 16,448 25 80,76928 16,15386

6 17,537 36 104,3744 17,39573

7 18,515 49 130,4632 18,6376

8 19,748 64 159,0358 19,87948

9 21,337 81 190,0922 21,12135

10 21,915 100 223,6323 22,36323

11 23,348 121 259,6561 23,6051

12 25,237 144 302,844 24,84697

Итого 78 216,5187 650 1587,497

Система нормальных уравнений имеет вид:

12b + 78a = 216,5187 a = 1, 241874;

 

78b + 650a = 1587,497; b = 9,944485.

Линейная модель тенденции временного ряда имеет вид:

~ = 1,241874 ⋅ t + 9,944485 .

wt

Подставив в это уравнение значения t =1,2,3, …, 12 , получим выровненные уровни w ~ для каждого момента времени (табл. 16) или,

t в старых обозначениях, уровни (T+E ) ( гр.5 табл.15).

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев (гр.6 табл.15).

6) Расчет ошибки проводится по формуле

E=Y-(T+S).

Значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл.15.

Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 0,274 (см. гр.8 табл. 15).

Средний уровень исходного временного ряда легко посчитать по гр.2 табл.15. Он будет равен

y t = (13,1+11,9+11,8+…+23,8)/12=18,017.

Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца y t − y t (гр.9 табл. 15).

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня ∑ ( yt − yt ) 2 (гр.10 табл. 15), которая равна 210,957.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину

1 — ( 0,274085 / 210,9567 ) = 0,9987 или 99,87%

Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняет 99,87% общей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.

Если при выборе модели сезонных колебаний была выбрана мультипликативная модель, то методика её построения состоит из следующих шагов (на примере модели с периодичностью в 3 месяца):

1).

Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

просуммируем уровни ряда последовательно за каждые 3 месяца со сдвигом на один месяц и, разделив полученные суммы на 3, найдем скользящие средние ;

2).

Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на уровни скользящей средней. Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый месяц (по всем кварталам) оценки сезонной компоненты S i . В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимно погашаются. Для мультипликативной модели это выражается в том, что сумма сезонной компоненты по всем месяцам должна быть равна числу периодов в цикле, то есть 3; корректирующий коэффициент рассчитывается по формуле

f =

S1 + S 2 + S 3 Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как произведение средней оценки на корректирующий коэффициент f:

S i = S i ⋅ f, i=1,2,3.

Проверяется условие равенства трем суммы значений сезонной компоненты S1 + S 2 + S 2 = 3 .

3).

Делится каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. При этом в таблицу заносится величина

T⋅E=Y/S.

4).

Определим трендовую компоненту T мультипликативной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T⋅E ) с помощью линейного тренда. Для удобства переобозначим ряд (T⋅E ) как W:

W=T⋅E.

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид

~ = a ⋅t + b .

w t

Согласно методу наименьших квадратов параметры модели линейного тренда a и b определяются из системы нормальных уравнений:

 n n

nb + a ∑

t =1

t = ∑

t =1

wt ;

 n n n

b t + a t 2 = tw

 ∑

t =1

t =1

∑t =1

t

Подставив в уравнение w ~ = a ⋅ t + b значения t =1,2,3, …, 12 ,

t

получим выровненные уровни w ~ для каждого момента времени или,

t в старых обозначениях, уровни (T⋅E ) .

5) Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни T на значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев.

6) Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле

E=Y / (T⋅ S).

Для сравнения мультипликативной модели с другими моделями временного ряда можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле

E′ = yt − (T ⋅ S ) .

Делается в таблице восьмой столбец для величины E ′ и девятый столбец для квадрата абсолютной ошибки (E ′) . Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца y t − y t (в десятом столбце таблицы).

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня ∑ ( y t − y t ) 2 (в столбце 11 таблицы).

(E’ ) 2

С помощью величины 1 − вычисляется доля

∑ ( y t − yt ) 2 объясненной дисперсии уровней ряда.

Таким образом, рассчитанная мультипликативная модель исходного временного ряда с сезонной составляющей

Y=T ⋅ S ⋅ E представляется в таблице 17.

Таблица 17 t y S T⋅E=Y/S T T⋅S E=y/(T⋅S) E’=y-(T⋅S) (E ‘)2 y − y ( y − y )2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … … … … … … … … … … …

При выборе модели с сезонной компонентой можно также применить модель регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных. Подробная методика построения этой

[] модели приведена в литературе 2 . 3. Примеры выполнения контрольных заданий с

помощью табличного процессора Excel

3.1. Пример выполнения контрольного задания № 1

Запуск процессора Excel можно осуществить несколькими способами:

а) нажать кнопку Пуск и в перечне Все программы выбрать название Microsoft Excel;

б) если на рабочем столе имеется ярлык Microsoft Excel вверху экрана на панели приложений, то дважды щелкнуть по нему левой кнопкой мыши.

При запуске Excel автоматически выводит на экран новую рабочую книгу с условным именем Книга 1. Это имя появляется в строке заголовка справа от имени Microsoft Excel.

1. Введите исходные данные задания 1 для переменных y и x так, как показано в таблице 18.

Таблица18

A B

1 x y

2 0,0 14,2

3 0,5 16,3

4 1,0 16,6

5 1,5 18,9

6 2,0 19,4

7 2,5 20,4

8 3,0 23,3

9 3,5 24,2

10 4,0 27,1

11 4,5 27,4

x – это расходы на рекламу, млн. руб.;

y — это количество продаж, тыс. ед.

2. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок (галочку) Пакет анализа (рис. 6), после чего щелкните по кнопке ОК;

Рис.6. Диалоговое окно «Надстройки».

3. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Описательная статистика (рис. 7), после чего щелкните по кнопке ОК;

Рис. 7. Диалоговое окно «Анализ данных».

4. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 8).

Входной интервал – это диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть один или несколько столбцов (строк);

Группирование – по столбцам или по строкам – необходимо указать дополнительно;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию Итоговой статистики, Уровня надежности, к — го наибольшего и к го наименьшего значений, установите соответствующие флажки в диалоговом окне, после чего щелкните по кнопке ОК.

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены в таблице 19.

Рис. 8. Диалоговое окно ввода параметров инструмента

«Описательная статистика»

Таблица19.

х y

Среднее 2,25 Среднее 20,78 Стандартная 0,478714 Стандартная 1,446206 ошибка ошибка Медиана 2,25 Медиана 19,9 Мода #Н/Д Мода #Н/Д Стандартное 1,513825 Стандартное 4,573304 отклонение отклонение Дисперсия выборки 2,291667 Дисперсия выборки 20,91511 Эксцесс -1,2 Эксцесс -1,20004 Асимметричность 0 Асимметричность 0,205304 Интервал 4,5 Интервал 13,2 Минимум 0 Минимум 14,2 Максимум 4,5 Максимум 27,4 Сумма 22,5 Сумма 207,8 Счет 10 Счет 10 Наибольший(1) 4,5 Наибольший(1) 27,4 Наименьший(1) 0 Наименьший(1) 14,2 Уровень 1,082926 Уровень 3,271547 надежности(95,0%) надежности(95,0%)

По данным таблицы 19 находим, что : 1) выборочное среднее величины X равно 2,25 млн. руб.; 2) «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины X равно 1,514 млн. руб.; 3) «исправленная» выборочная дисперсия величины X равна 2,2917; 4) выборочное среднее величины Y равно 20,78 тыс. ед.; 5) «исправленное» среднее квадратическое отклонение величины Y равно 4,573 тыс. ед.; 6) «исправленная» выборочная дисперсия величины Y равна 20,9151.

5. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис.9), после чего щелкните по кнопке ОК;

Рис. 9. Диалоговое окно «Анализ данных».

6. Заполните диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия» (рис.10).

Рис. 10. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»

Входной интервал Y – это диапазон, содержащий анализируемые данные результативного признака;

Входной интервал X– это диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа – ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал – здесь достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию по остаткам и графикам остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне, после чего щелкните по кнопке ОК. Результаты регрессионного анализа представлены в табл. 20 и на рис. 11.

Таблица 20 Вывод итогов Регрессионная статистика Множественный 0,9894292 R R-квадрат 0,9789703 Нормированный 0,9763415 R-квадрат Стандартная 0,7034331 ошибка Наблюдения 10 Дисперсионный анализ

df SS MS F Значимость F Регрессия 1 184,27 184,2774 372,41 5,39357E-08 Остаток 8 3,9585 0,494818 Итого 9 188,23

Коэффи- Стан- t-статис- P- Нижние 95%

циенты дартная тика Значение

ошибка Y-пересечение 14,054545 0,4134 33,99370 6,1E-10 13,10113778 X 2,9890909 0,1548 19,29804 5,3E-08 2,631911669 ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное y Остатки Стандартные

остатки

1 14,05454545 0,14545454 0,219321261

2 15,54909091 0,75090909 1,13224601

3 17,04363636 -0,44363636 -0,668929846

4 18,53818182 0,36181818 0,545561637

5 20,03272727 -0,63272727 -0,954047485

6 21,52727273 -1,12727272 -1,699739772

7 23,02181818 0,27818181 0,419451912

8 24,51636364 -0,31636363 -0,477023743

9 26,01090909 1,08909090 1,642167941

10 27,50545455 -0,10545454 -0,159007914

ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ

Персентиль y

5 14,2

15 16,3

25 16,6

35 18,9

45 19,4

55 20,4

65 23,3

75 24,2

85 27,1

95 27,4

x График остатков Остатки

0 1 2 3 4 5

-2

x

x График подбора

20 y

y

Предсказанно

0 2 4 6

еy

x

График нормального распределения

20

y

0 20 40 60 80 100

Персентиль выборки

Рис. 11. Результаты регрессионного анализа: график остатков, график

подбора, график нормального распределения.

По данным таблицы 20 находим, что :

1) линейное уравнение парной регрессии будет определяться по формуле

~y = 2,989 x + 14,055 ;

2) для коэффициента регрессии а=2,989 величина t — критерия равна 19,29804335 , а его уровень значимости составляет 5,3E-08, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

3) для коэффициента регрессии b=14,055 величина t — критерия равна 33,99370679 , а его уровень значимости составляет 6,1E-10, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

4) для построенного уравнения регрессии величина F- критерия равна 372,4144773, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 5,39357E-08 , что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.

5) линейный коэффициент парной корреляции равен 0,989429283; так как коэффициент корреляции положителен и близок к единице, то между показателями X и Y существует очень тесная прямая связь;

6) прогнозное значение количества продаж определим по регрессионному уравнению y = 2,989 x + 14,055 , подставив в него планируемую величину расходов на рекламу 5 млн. руб.:

~

y пр = 2,989 ⋅ 5 + 14,055 ≈ 29,000 (тыс. ед.)

7. В главном меню выберите Файл/Сохранить как. В появившемся диалоговом окне (рис.12) Сохранение документа укажите имя файла (zadanie1), укажите в какой папке будет храниться этот файл (STATISTICA), после чего щелкните по кнопке Сохранить.

Рис. 12. Диалоговое окно «Сохранение документа».

3.2. Пример выполнения контрольного задания № 2

1. Введите исходные данные задания 2 для переменных y и x так, как показано в таблице 21.

Таблица 21

A B C

1 y x X

2 27 2 0,5000

3 23,4 2,5 0,4000

4 22,1 3 0,3333

5 20,5 3,5 0,2857

6 19,3 4 0,2500

7 18,9 4,5 0,2222

8 17,3 5 0,2000

9 16,7 5,5 0,1818

10 17,7 6 0,1667

11 16,1 6,5 0,1538 y – это процент расходов на товары длительного пользования;

x — это доход семьи, тыс. руб. на 1 чел.

Произведем линеаризацию модели путем замены X = 1 / х. В результате получим линейное уравнение регрессии ~ y = aX + b .

Чтобы рассчитать параметры этого уравнения, необходимо заполнить колонку для новой переменной Х в таблице 21. При этом можно использовать возможности табличного процессора Excel. Так значение 0,5000 в ячейке С2 получится, если в эту пустую ячейку написать формулу по правилу: = 1/В2 и нажать клавишу Enter или любую клавишу со стрелкой.

2. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Описательная статистика (рис.13), после чего щелкните по кнопке ОК;

Рис. 13. Диалоговое окно «Анализ данных».

3. Заполните диалоговое окно ввода параметров инструмента «Описательная статистика» (рис. 14).

Рис. 14. Диалоговое окно ввода параметров инструмента

«Описательная статистика»

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены в таблице 22.

Таблица 22

y x

Среднее 19,9 Среднее 4,25 Стандартная ошибка 1,082692 Стандартная ошибка 0,478714 Медиана 19,1 Медиана 4,25 Мода #Н/Д Мода #Н/Д Стандартное отклонение 3,423773 Стандартное отклонение 1,513825 Дисперсия выборки 11,72222 Дисперсия выборки 2,291667 Эксцесс 0,582029 Эксцесс -1,2 Асимметричность 1,019392 Асимметричность 0 Интервал 10,9 Интервал 4,5

Продолжение таблицы 22 Минимум 16,1 Минимум 2 Максимум 27 Максимум 6,5 Сумма 199 Сумма 42,5 Счет 10 Счет 10 Наибольший(1) 27 Наибольший(1) 6,5 Наименьший(1) 16,1 Наименьший(1) 2 Уровень 2,449222 Уровень 1,082926 надежности(95,0%) надежности(95,0%) 4. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис.15), после чего щелкните по кнопке OK.

Рис. 15. Диалоговое окно «Анализ данных».

5. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 16), после чего щелкните по кнопке OK.

Рис. 16. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 23 и на рис. 17.

Таблица 23. ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика Множественный 0,9907 R R-квадрат 0,9815 Нормированный 0,9792 R-квадрат Стандартная 0,4941 ошибка Наблюдения 10

Дисперсионный анализ

Df SS MS F Значи мость F Регрессия 1 103,547 103,55 424,076 3,2E-08 Остаток 8 1,95336 0,2442 Итого 9 105,5

Коэффи- Станда- t- P- Нижние Верхние

циенты ртная статис- Значение 95% 95%

ошибка тика Y-пересечение 11,767 0,42472 27,7053 3,11E-09 10,788 12,746 X 30,194 1,46619 20,5931 3,24E-08 26,812 33,574

ВЫВОД ВЫВОД ОСТАТКА ВЕРОЯТНОСТИ

Продолжение таблицы 23 Наблюдение Предска- Остатки Стандарт- Персен- y

занное y ные остатки тиль

1 26,864 0,1362 0,2923 5 16,1

2 23,844 -0,4445 -0,954 15 16,7

3 21,831 0,2684 0,5762 25 17,3

4 20,394 0,1062 0,2279 35 17,7

5 19,315 -0,0155 -0,0331 45 18,9

6 18,477 0,4233 0,9085 55 19,3

7 17,806 -0,5058 -1,0857 65 20,5

8 17,257 -0,5568 -1,1952 75 22,1

9 16,799 0,9007 1,9333 85 23,4

10 16,412 -0,3122 -0,6702 95 27

X График подбора

X График остатков

30

0,5 Остатки

y

0 0,2 0,4 0,6 10

-0,5

-1

X

0 0,5 1

X

График нормального распределения

20

y

0

0 20 40 60 80 100

Персентиль выборки

Рис. 17. Результаты регрессионного анализа: график остатков, график

подбора, график нормального распределения.

По данным таблицы 23 находим, что :

1) линеаризованное уравнение регрессии будет определяться по формуле ~ y = 11.76709 + 30.19346 Х ;

2) для коэффициента регрессии а=30.19346 величина t критерия равна 20,59 , а его уровень значимости составляет 3,24E-08, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

3) для коэффициента регрессии b=11.76709 величина t критерия равна 27,705 , а его уровень значимости составляет 3,11E09, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

4) для построенного уравнения регрессии величина F- критерия равна 424,076, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 3,24Е-08 что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.

5) индекс корреляции равен 0,991; так как коэффициент индекс корреляции близок к единице, то между показателями X и Y существует очень тесная прямая связь;

3.3. Пример выполнения контрольного задания № 3

1. Введите исходные данные задания 3 для переменных y, x1 и х2 так, как показано в таблице 24.

Таблица24.

A B C

1 y X1 X2

2 3,7 2 1

3 4,0 3 1

4 4,8 4 1

5 4,6 2 2

6 4,9 3 2

7 5,1 4 2

8 6,1 3 3

9 6,6 4 3

10 7,0 5 3

11 6,9 3 4

12 7,2 4 4

13 7,9 5 4

14 7,3 2 5

15 7,7 3 5

16 8,6 4 5

В таблице использованы новые обозначения:

y — это месячный расход семьи на продукты питания, тыс. руб.;

x1 — это месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x2 — это размер семьи, чел.

2. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Описательная статистика (рис.18), после чего щелкните по кнопке ОК.

Рис. 18. Диалоговое окно «Анализ данных».

3. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 19).

Рис. 19. Диалоговое окно ввода параметров инструмента

«Описательная статистика»

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены в таблице 25.

Таблица 25

y x1

Среднее 6,16 Среднее 3,4 Стандартная ошибка 0,395787 Стандартная ошибка 0,254484 Медиана 6,6 Медиана 3 Мода #Н/Д Мода 3 Стандартное отклонение 1,532878 Стандартное отклонение 0,985611 Дисперсия выборки 2,349714 Дисперсия выборки 0,971429 Эксцесс -1,27242 Эксцесс -0,81049 Асимметричность -0,16776 Асимметричность 0,061978 Интервал 4,9 Интервал 3 Минимум 3,7 Минимум 2 Максимум 8,6 Максимум 5 Сумма 92,4 Сумма 51 Счет 15 Счет 15 Наибольший(1) 8,6 Наибольший(1) 5 Наименьший(1) 3,7 Наименьший(1) 2 Уровень надежности 0,84888 Уровень надежности 0,545814 (95,0%) (95,0%)

4. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия (рис.20), после чего щелкните по кнопке OK.

Рис.20. Диалоговое окно «Анализ данных».

5. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 21).

Рис.21. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Регрессия»

Результаты регрессионного анализа представлены в таблице 26 и на рис. 22.

Таблица 26.

ВЫВОД ИТОГОВ

Регрессионная статистика

Множественный R 0,993362

R-квадрат 0,986767

Нормированный R-квадрат 0,984562

Стандартная ошибка 0,19046

Наблюдения 15

Продолжение таблицы 26 Дисперсионный анализ

df SS MS F Значи мость F Регрессия 2 32,4607 16,23035 447,4271 5,37E-12 Остаток 12 0,435298 0,036275 Итого 14 32,896

Коэффи- Стандарт- t-ста- P- Нижние Верхние

циенты ная ошибка тистика Значение 95% 95% Y-пере- 1,666316 0,198775 8,382934 2,32E-06 1,233223 2,099409 сечение x1 0,494737 0,052225 9,473212 6,41E-07 0,380949 0,608525 x2 0,937193 0,035163 226,6528 4,77E-12 0,860579 1,013807

ВЫВОД ОСТАТКА ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ

Наблю- Предска- Остатки Стандартные Персентиль y дение занное y остатки

1 3,592982 0,107018 0,606912 3,333333 3,7

2 4,087719 -0,08772 -0,49747 10 4

3 4,582456 0,217544 1,233722 16,66667 4,6

4 4,530175 0,069825 0,395985 23,33333 4,8

5 5,024912 -0,12491 -0,7084 30 4,9

6 5,519649 -0,41965 -2,37989 36,66667 5,1

7 5,962105 0,137895 0,782021 43,33333 6,1

8 6,456842 0,143158 0,811869 50 6,6

9 6,951579 0,048421 0,274603 56,66667 6,9 10 6,899298 0,000702 0,00398 63,33333 7 11 7,394035 -0,19404 -1,1004 70 7,2 12 7,888772 0,011228 0,063676 76,66667 7,3 13 7,341754 -0,04175 -0,2368 83,33333 7,7 14 7,836491 -0,13649 -0,77406 90 7,9 15 8,331228 0,268772 1,524244 96,66667 8,6

x1 График остатков x2 График остатков

0,4 0,4

0,3 0,3

0,2 0,2

0,1 0,1 Остатк и

Остатк и

0 0

-0,1 0 2 4 6 -0,1 0 2 4 6

-0,2 -0,2

-0,3 -0,3

-0,4 -0,4

-0,5 -0,5

x1 x2

x1 График подбора x2 График подбора

10 9

7

5 y

y

3

0 1

0 5 10 0 2 4 6

x2

x1

График нормального

распределения

y

0 20 40 60 80 100 120

Персентиль выборки

Рис.22. Результаты регрессионного анализа: графики остатков,

графики подбора, график нормального распределения.

По данным таблицы 26 находим, что:

1) уравнение множественной линейной регрессии определяется по формуле

~у = 1.666 + 0.495 ⋅ x1 + 0.937 ⋅ x 2

или в старых обозначениях ~

z = 1.666 + 0.495 ⋅ x + 0.937 ⋅ y .

2) для коэффициента регрессии с=1,666 величина t — критерия равна 8,382934 , а его уровень значимости составляет 2,32E-06, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

3) для коэффициента регрессии а=0,495 величина t — критерия равна 9,473212 , а его уровень значимости составляет 6,41E-07, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

4) для коэффициента регрессии b=0,937 величина t — критерия равна 226,6528 , а его уровень значимости составляет 4,77E-12, т.е. коэффициент регрессии является значимым на указанном уровне;

5) для построенного уравнения регрессии величина F- критерия равна 447,4271, а уровень значимости нулевой гипотезы составляет 5,37E-12, что означает значимость полученного уравнения регрессии на указанном уровне.

6) индекс множественной корреляции равен 0,993362.

6. В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Корреляция (рис. 23), после чего щелкните по кнопке OK.

Рис.23. Диалоговое окно «Анализ данных».

7. Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 24).

Рис.24. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Корреляция»

Результаты корреляционного анализа представлены в таблице 27, которая представляет собой матрицу парных коэффициентов корреляции.

Таблица27

y x1 x2

Y 1

x1 0,451032 1

x2 0,942236 0,148522 1

3.4. Пример выполнения контрольного задания № 4

1. Введите исходные данные задания 4 для переменных y и t так, как показано в таблице 28.

Таблица28.

A B C D E F 1 t Y(t) Y(t+1) Y(t+2) Y(t+3) Y(t+4) 2 1 13,1 11,9 11,8 17,3 15,9 3 2 11,9 11,8 17,3 15,9 16,1 4 3 11,8 17,3 15,9 16,1 20,5 5 4 17,3 15,9 16,1 20,5 19,2 6 5 15,9 16,1 20,5 19,2 19,9 7 6 16,1 20,5 19,2 19,9 23,9 8 7 20,5 19,2 19,9 23,9 22,8 9 8 19,2 19,9 23,9 22,8 23,8 10 9 19,9 23,9 22,8 23,8 11 10 23,9 22,8 23,8 12 11 22,8 23,8 13 12 23,8

y — стоимость акции, руб.;

t- месяц.

2. В главном меню выберите Вставка/Диаграмма.

3. В окне Тип выберите График(рис. 25).

Вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее.

Рис.25. Диалоговое окно Мастера диаграмм: тип диаграммы Рис.26. Диалоговое окно Мастера диаграмм: источник данных

(диапазон данных)

4. Заполните диапазон данных, как показано на рис. 26. Установите флажок размещения данных в столбцах..

5. Щелкните по кнопке Ряд. Появится диалоговое окно, изображенное на рис. 27. В окне Ряд оставьте только ряд y(t) для анализа. Рис. 27. Диалоговое окно Мастера диаграмм: источник данных (ряд)

6. Щелкните по кнопке Далее.

7. Заполните параметры диаграммы на разных закладках (рис. 28): название диаграммы и осей, линии сетки, параметры легенды. Рис. 28. Диалоговое окно Мастера диаграмм: параметры диаграммы

1. Щелкните по кнопке ОК(Далее).

Укажите место размещения диаграммы на отдельном или на имеющемся листе (рис. 29).

Щелкните по кнопке Готово.

Рис.29. Диалоговое окно Мастера диаграмм: размещение диаграммы

Готовая диаграмма, отображающая динамику уровней изучаемого ряда, представлена на рис. 30.

y(t)

25

y(t)

15 y(t)

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

t

Рис. 30. Диаграмма динамики уровней изучаемого ряда, построенная

по наблюдаемым значениям.

В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок (галочку) Пакет анализа, после чего щелкните по кнопке ОК.

В главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Корреляция, после чего щелкните по кнопке OK.

Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 31).

Рис.31. Диалоговое окно ввода параметров инструмента «Корреляция»

Результаты корреляционного анализа представлены в таблице 29, которая представляет собой матрицу парных коэффициентов корреляции (автокорреляции).

Таблица 29

y(t) y(t+1) y(t+2) y(t+3) y(t+4) y(t) 1 y(t+1) 0,82475 1 y(t+2) 0,771859 0,802062 1 y(t+3) 0,995267 0,77454 0,718436 1 y(t+4) 0,699907 0,995195 0,752174 0,722694 1

Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда составляют

r (1) = 0.825

r (2) = 0.772

r (3) = 0.995

r (4) = 0.700 Построим коррелограмму для исходного временного ряда (рис.32).

Коррелограмма

1,2

0,8

r(k)

0,6 r

0,4

0,2

1 2 3 4

Величина лага, к

Рис.32. График автокорреляционной функции r (k ) (коррелограмма

исходного временного ряда).

Проведем анализ исходного временного ряда по его коррелограмме, изображенной на рис. 32.

На рис. 30 по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.

Высокие значения коэффициентов автокорреляции первого, второго и третьего порядков, а также значимость всей группы коэффициентов автокорреляции, свидетельствуют о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции третьего порядка свидетельствует о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

В дальнейшем построение модели сводится к расчету таблиц 13, 14, 15, 16, используя возможности табличного процессора Excel.

Так, при расчете простой скользящей средней следует воспользоваться кнопкой Автосумма на стандартной панели. Далее выбрать приглашение Среднее. При этом в строке формул появится написанная функция суммирования с указанием предполагаемого диапазона ячеек, между которыми вычисляется среднее. Если окажется, что диапазон указан правильно, то нажать клавишу «Enter». В противном случае сначала надо ввести исправления в указанный диапазон. Для этого щелкнуть по строке формул и ввести новые адреса ячеек, затем нажать клавишу «Enter».

При расчете суммирования данных по двум столбцам рекомендуется записывать формулу, по которой производится суммирование в одну ячейку с дальнейшим её копированием в Буфер обмена. Далее необходимо выделить область, куда нужно копировать данные, и нажать Правка ⇒ Вставить. Установить указатель мыши на правый нижний угол копируемой ячейки. Курсор при этом принимает форму черного креста. Далее, держа нажатой кнопку мыши, протянуть на всю область, куда надо скопировать данные. После снять выделение. После этого в ячейках выделенной ранее области появится результат расчета.

Окончательно, рассчитанная аддитивная модель исходного временного ряда с сезонной составляющей

Y=T+S+E, представлена в таблице 30.

Таблица 30

A B C D E F G H I J 1 t y S T+E= T T+S E=y- E^2 y-yср. (y =y-S (T+S) ycр.)^2

2 1 13,1 1,985 11,115 11,18636 13,17136 -0,07136 0,005092 -4,917 24,173 3 2 11,9 -0,548 12,448 12,42823 11,88023 0,019767 1,53E-07 -6,117 37,413 4 3 11,8 -1,437 13,237 13,67011 12,23311 -0,43311 0,035187 -6,217 38,646 5 4 17,3 1,985 15,315 14,91198 16,89698 0,403019 0,026382 -0,717 0,5136 6 5 15,9 -0,548 16,448 16,15386 15,60586 0,294145 0,007486 -2,117 4,4802 7 6 16,1 -1,437 17,537 17,39573 15,95873 0,14127 0,000398 -1,917 3,6736 8 7 20,5 1,985 18,515 18,6376 20,6226 -0,1226 0,000226 2,483 6,1669 9 8 19,2 -0,548 19,748 19,87948 19,33148 -0,13148 0,000299 1,183 1,4002 10 9 19,9 -1,437 21,337 21,12135 19,68435 0,215648 0,002163 1,883 3,5469 11 10 23,9 1,985 21,915 22,36323 24,34823 -0,44823 0,040363 5,883 34,613 12 11 22,8 -0,548 23,348 23,6051 23,0571 -0,2571 0,004369 4,783 22,880 13 12 23,8 -1,437 25,237 24,84697 23,40997 0,390026 0,15212 5,783 33,446 14 0,274085 210,95 ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

СТУДЕНТАМИ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Необходимо строго выполнять свой вариант задания, который определяется по номеру зачетной книжки. Определите две последние цифры числа, которое составляют номер вашей зачетной книжки. По этим цифрам NN выберите из таблицы Ваш вариант:

NN Вар. NN Вар. NN Вар. NN Вар. NN Вар. 1 1 21 21 41 11 61 1 81 21 2 2 22 22 42 12 62 2 82 22 3 3 23 23 43 13 63 3 83 23 4 4 24 24 44 14 64 4 84 24 5 5 25 25 45 15 65 5 85 25 6 6 26 26 46 16 66 6 86 26 7 7 27 27 47 17 67 7 87 27 8 8 28 28 48 18 68 8 88 28 9 9 29 29 49 19 69 9 89 29 10 10 30 30 50 20 70 10 90 30 11 11 31 1 51 21 71 11 91 1 12 12 32 2 52 22 72 12 92 2 13 13 33 3 53 23 73 13 93 3 14 14 34 4 54 24 74 14 94 4 15 15 35 5 55 25 75 15 95 5 16 16 36 6 56 26 76 16 96 6 17 17 37 7 57 27 77 17 97 7 18 18 38 8 58 28 78 18 98 8 19 19 39 9 59 29 79 19 99 9 20 20 40 10 60 30 80 20 00 10

Задание № 1.

Некоторая фирма, производящая товар, хочет проверить, эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая количество продаж Х пропорциональны расходам на рекламу Y, необходимо:

1. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей Х и Y.

2. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~y = ax + b .

3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятности p = 0,95 проверить его значимость.

4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн. руб.

5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Таблица 31. Вари- Расходы на рекламу хi , млн. р.(одинаковое для всех ант вариантов)

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

Количества продаж yi , тыс. ед. (по вариантам) 1. 12,3 16,3 16,4 16,0 18,5 17,3 20,0 19,5 19,0 19,7 2. 39,5 40,3 40,7 40,8 43,1 42,7 45,3 46,2 47,4 49,5 3. 32,4 32,4 34,8 37,1 38,0 38,7 38,6 39,9 43,8 43,5 4. 21,0 23,0 23,7 23,8 25,8 27,6 28,4 29,7 31,7 31,6 5. 27,6 28,8 29,6 31,1 30,9 31,3 33,1 34,6 35,1 37,2 6. 30,6 32,8 32,1 33,7 35,1 39,2 37,4 39,7 42,3 43,4 7. 18,5 19,5 20,1 23,7 23,6 24,0 26,2 26,5 28,3 28,1 8. 13,3 12,2 13,1 11,5 15,7 13,7 16,8 13,9 16,9 16,8 9. 14,1 16,2 16,5 18,9 19,5 20,3 23,4 24,3 27,2 27,5 10. 34,4 34,8 36,1 37,7 37,3 37,5 37,5 39,6 40,9 43,6 11. 20,6 20,2 19,6 21,3 23,2 23,9 23,2 23,0 24,1 25,2 12. 17,4 18,6 18,0 21,3 21,3 24,4 24,1 27,2 27,0 28,7 13. 38,3 39,3 40,1 43,9 42,9 42,1 45,2 44,3 47,9 47,8 14. 38,0 40,9 39,1 39,7 39,3 38,4 41,4 42,9 41,3 42,7 15. 36,7 36,5 37,2 38,0 38,3 39,5 41,7 39,9 42,0 41,8 16. 38,1 38,6 40,9 38,6 41,3 43,1 44,3 43,0 45,8 46,2 17. 30,8 31,1 30,4 31,7 30,5 33,5 31,0 34,5 36,0 32,9 18. 10,7 11,0 13,2 12,4 13,2 13,3 14,4 15,3 14,8 14,8 19. 23,7 24,8 25,8 27,6 26,9 25,2 26,6 26,3 29,0 30,4 20. 22,8 26,3 28,0 26,1 26,0 29,9 30,9 32,9 33,9 33,5 21. 26,5 26,4 28,2 26,7 29,1 29,7 29,7 31,2 32,1 32,4 22. 25,3 28,8 30,1 30,0 32,5 31,4 32,0 36,4 35,6 36,9 23. 10,0 9,7 11,6 12,2 13,3 13,9 15,6 16,7 15,1 16,8 24. 20,9 20,7 20,8 20,9 22,8 22,4 24,5 22,9 22,7 24,6

Продолжение таблицы 31 Вар. Количества продаж yi , тыс. ед. (по вариантам) 25. 24,8 26,5 28,3 29,1 27,0 28,4 30,0 32,4 32,0 32,3 26. 29,4 30,0 32,0 33,1 32,6 33,9 33,6 35,0 34,7 35,9 27. 20,3 20,4 22,1 24,3 25,1 25,1 26,9 25,4 27,8 26,9 28. 20,8 20,2 21,5 21,8 24,4 23,7 25,7 24,7 27,2 24,8 29. 28,6 28,6 28,8 29,2 31,7 32,7 32,1 33,3 33,8 35,0 30. 16,1 17,0 20,5 17,1 18,8 21,0 22,7 24,2 23,4 26,7

Задание № 2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования уi от среднемесячного дохода семьи xi. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер ~ y = a/x+b. Необходимо:

1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии ~y = a / x + b .

2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью p = 0,95 проверить его значимость.

Таблица 32 Вари- Доход семьи xi , тыс.р. на 1 чел.(для всех вариантов) ант 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

Процент расходов на товары длительного

пользования уi (по вариантам) 1. 29,3 25,4 25,0 23,4 23,1 22,6 21,7 21,7 22,2 22,4 2. 31,2 27,0 26,1 26,1 23,1 23,8 22,3 21,4 21,8 22,5 3. 29,7 26,3 24,8 23,5 22,3 21,7 21,5 19,0 20,5 22,8 4. 20,4 19,7 16,6 17,3 15,1 15,2 14,3 14,1 14,3 14,1 5. 30,7 27,0 25,1 24,1 21,3 22,7 23,7 20,8 19,8 21,9 6. 29,7 28,2 24,6 24,6 22,8 22,2 22,0 21,8 23,3 21,5 7. 31,4 28,4 27,3 24,9 23,5 23,6 23,2 21,8 23,3 22,1 8. 27,9 25,4 20,7 23,6 21,6 20,1 21,3 21,2 20,8 18,5 9. 27,1 23,3 22,2 20,6 19,2 18,8 17,3 16,8 17,6 16,2 10. 30,0 27,9 25,7 23,7 21,8 21,7 22,0 19,3 22,2 19,5 11. 29,5 27,2 23,4 21,9 21,3 22,2 21,0 20,0 20,2 19,6 12. 29,8 26,9 24,3 23,7 23,0 23,2 20,7 21,9 21,0 20,7 13. 26,7 24,5 19,5 21,5 21,0 18,0 16,5 16,2 17,2 17,8 14. 24,7 21,5 22,1 21,9 20,3 19,1 20,6 20,2 18,7 20,3 15. 27,1 23,9 25,1 20,9 21,6 20,6 20,5 19,1 21,8 20,6 16. 27,9 24,3 22,1 21,8 20,7 17,9 17,8 19,5 15,8 20,1

Продолжение таблицы 32 Вари- Процент расходов на товары длительного ант пользования уi (по вариантам) 17. 23,2 19,7 19,2 16,5 16,7 17,8 16,2 16,8 14,5 15,6 18. 23,1 22,4 19,1 18,3 16,7 15,3 17,3 16,2 14,7 15,8 19. 27,8 25,3 25,2 24,9 24,7 24,8 23,4 22,9 21,4 22,0 20. 19,9 19,4 17,5 17,2 16,5 16,1 13,5 13,8 15,1 13,2 21. 25,1 21,9 21,9 19,7 17,9 18,0 18,7 17,5 16,5 16,2 22. 27,7 27,6 26,4 24,7 24,5 23,9 23,9 22,6 23,7 21,7 23. 23,0 21,7 20,6 20,3 19,6 16,9 19,1 18,9 16,0 16,4 24. 25,5 23,4 21,6 19,7 18,3 17,6 18,3 16,9 18,0 18,2 25. 20,4 16,9 16,7 16,8 15,6 14,9 12,7 12,0 14,2 13,5 26. 32,6 31,1 25,8 24,7 25,6 24,7 22,9 24,5 22,7 22,5 27. 20,8 19,9 19,0 18,6 17,7 16,9 18,3 15,8 14,2 14,3 28. 19,3 17,8 15,4 16,0 15,5 14,5 15,2 15,3 13,1 14,1 29. 26,1 20,5 20,9 18,7 18,4 18,5 17,4 18,5 13,7 15,8 30. 27,1 24,4 22,2 20,9 20,4 18,3 19,0 19,4 20,0 19,6

Задание № 3

Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания zi. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи xi тыс.р. и от размера семью yi , чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии ~ z = ax + by + c .

2. Найти парные коэффициенты корреляции rxy , rxz , ryz .

3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.

4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью p = 0,95 его статистическую значимость.

Таблица 33.

Значения факторов хi и уi (одинаковое для всех вариантов) хi 2 3 4 2 3 4 3 4 5 3 4 5 2 3 4 уi 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Вар. Значения фактора zi (по вариантам) 1. 2,1 2,6 2,5 2,9 3,1 3,3 3,9 4,5 4,9 4,6 5,1 5,7 5,0 5,4 5,6 2. 2,3 2,1 2,9 2,7 3,2 3,4 3,8 4,2 4,2 4,5 5,2 5,8 4,7 5,5 5,1 3. 2,4 3,1 3,4 3,7 4,0 4,2 4,5 4,7 6,0 5,9 6,3 6,4 6,3 6,5 7,2 4. 1,2 1,5 2,0 2,2 2,5 2,5 2,6 3,0 3,3 3,0 3,7 3,6 3,5 4,2 4,6

Продолжение таблицы 33 Вар. Значения фактора zi (по вариантам) 5. 2,6 2,8 3,3 3,4 3,6 4,2 4,7 4,8 5,6 5,3 5,8 5,7 5,8 6,2 6,5 6. 1,6 2,2 2,3 2,3 2,6 3,0 3,1 3,2 3,4 3,4 3,6 3,8 3,8 4,1 4,3 7. 1,9 2,7 2,7 3,1 3,2 3,3 3,6 3,7 4,7 4,2 4,6 4,8 4,4 4,8 5,2 8. 3,0 3,5 3,6 3,7 4,4 4,7 5,3 5,6 6,1 6,3 6,5 6,9 6,4 6,8 7,0 9. 3,6 4,1 4,7 4,5 4,9 5,2 6,0 6,5 7,1 6,8 7,2 7,9 7,4 7,8 8,5 10. 2,9 3,2 3,4 3,8 4,1 5,0 4,8 5,3 6,3 6,3 6,6 7,1 6,4 7,1 7,5 11. 3,3 3,7 4,0 3,9 4,6 5,2 5,4 6,2 6,6 6,3 7,1 7,5 7,4 7,7 7,8 12. 3,3 3,5 3,9 3,8 4,0 4,6 5,1 5,6 5,6 6,0 6,1 6,6 6,7 7,1 7,4 13. 3,1 3,6 3,9 3,7 4,3 4,9 5,0 5,4 5,9 5,7 6,7 6,6 6,2 6,2 7,2 14. 1,4 2,0 2,4 2,5 2,7 2,7 3,3 3,5 3,5 3,9 4,1 4,4 4,3 4,6 4,8 15. 2,9 3,3 3,3 3,4 4,1 4,3 4,3 5,5 5,8 5,7 6,1 6,9 6,2 6,3 6,9 16. 2,3 2,8 3,1 2,8 3,4 3,7 4,0 4,7 4,9 4,9 5,2 5,7 4,2 5,0 5,7 17. 1,6 2,4 2,7 2,4 2,6 3,4 3,3 3,8 4,1 4,0 4,1 4,7 4,4 4,5 4,8 18. 2,2 2,6 2,8 3,4 3,3 3,7 3,8 4,4 4,3 4,5 4,8 5,1 5,4 5,6 5,6 19. 2,3 2,1 2,4 2,6 2,7 2,7 3,5 3,9 3,9 4,0 4,3 4,2 4,9 5,0 4,9 20. 3,0 2,7 3,7 3,4 4,0 4,0 4,7 5,0 5,1 5,6 5,4 6,1 5,1 5,5 6,4 21. 2,5 3,6 3,4 3,6 3,8 4,4 4,9 4,9 5,5 5,5 6,0 6,5 6,9 6,4 6,7 22. 2,2 2,4 2,4 3,2 3,3 3,5 4,7 4,4 4,8 5,1 5,5 5,7 5,9 6,4 6,3 23. 2,5 2,6 3,2 3,7 3,9 4,1 4,9 5,4 5,3 5,9 6,4 6,9 6,1 6,4 7,1 24. 2,6 2,8 2,6 3,1 3,8 3,4 4,1 4,6 4,0 5,6 5,1 5,8 5,7 6,2 6,3 25. 2,9 3,4 3,7 3,3 4,4 4,0 4,5 4,8 5,8 5,3 6,0 6,2 5,4 5,8 6,2 26. 2,1 1,8 2,8 2,3 2,4 2,9 3,3 3,3 3,6 3,7 4,0 4,3 4,3 4,4 4,7 27. 2,7 3,0 3,4 3,4 4,2 4,5 5,0 5,5 5,9 5,7 6,3 7,0 5,5 6,6 6,7 28. 2,5 2,9 3,0 3,6 4,0 4,5 5,0 5,0 5,4 5,7 6,1 6,6 6,6 7,0 6,9 29. 3,1 3,3 3,5 4,1 4,6 4,7 5,0 5,4 6,0 6,1 7,0 7,2 6,6 6,8 7,5 30. 2,0 2,3 2,4 2,5 2,7 3,0 3,1 3,0 3,3 3,3 3,8 4,2 3,7 4,0 4,2

Задание № 4

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95 .

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную (или мультипликативную) модель временного ряда.

Таблица 34. Вари- Стоимость акции по месяцам (руб.) ант 1. 52,7 52,1 53,4 57,3 56,1 56,2 61,3 60,9 60,5 65,4 65,6 65,6 2. 79 78,2 78,6 83,5 81 82,3 87,1 86,3 85,5 91,4 90,6 90,7 3. 74,4 73,2 74,3 79,9 78,7 79,7 84,1 84,3 85,4 89,3 89,6 91 4. 107 105 106 111 112 113 117 116 117 122 121 122 5. 84,1 82,6 83,8 87,5 87,3 88,1 93 92,3 93,6 98,4 97,2 97,1 6. 112 111 112 117 117 117 122 121 123 126 127 127 7. 32,8 30,3 30,8 35,7 34,1 34,2 37,5 35,8 35,7 39,1 38,8 37,3 8. 46,7 46,1 45,7 49,7 47,4 47,8 52 50,1 49,8 54,6 51,9 52,3 9. 13,3 12,5 12,7 17,2 15,9 16,1 20,5 19,2 19,9 23,9 22,8 23,5 10. 35,1 33 33,9 38,6 36,3 38 41,9 40 40,3 44,8 43,8 45,2 11. 19,2 18 18,9 24,4 23,2 23,1 27,9 28,8 28,2 34,8 33,2 33,3 12. 48,2 48,4 50,1 53,8 52,8 54,4 59,4 58,1 58,5 64,5 63,4 64,3 13. 27 25,4 25,6 31 28,9 28,2 34 32,2 32,3 36,9 34,3 33,6 14. 44,8 41,9 42,8 46,8 44,7 44,7 48,4 47,7 48,3 52,7 49,7 50,8 15. 22 20,4 21,6 25,6 22,9 24,3 27,3 26,7 26,7 30,9 28,9 28,9 16. 37,4 35,9 35,4 40,4 38,3 38,6 42,6 40,3 40,3 45,1 43,2 42,2 17. 53,4 52,8 52 57,3 54,9 54,9 60,4 59,9 60,4 63,6 63,2 63,3 18. 73,9 73,2 72,8 78 77,4 77,6 81,4 80,8 80,8 85,2 83,4 85,5 19. 73,2 72,8 73,4 79,6 77,9 78,4 84,1 82,5 84 89,9 88,6 88 20. 104 103 104 108 108 110 114 115 114 119 119 120 21. 82,1 82,2 82 85,9 83,1 83,2 88,7 87,4 87,3 90,5 89,7 90 22. 98,1 97,1 96,8 103 101 101 104 103 102 108 105 105 23. 33,7 31,6 32,6 37,4 37,3 37,5 42,9 42,1 41,3 47,7 45,8 46,1 24. 61,3 59 60,4 64,7 63,2 65,3 69,2 68,8 69,3 73,9 72,1 73,4 25. 53,5 52,7 53,6 58,8 58,7 60,5 65,5 63,8 66 70,8 70 70,9 26. 88,3 86,8 89,2 94 93,7 93,4 99,5 99,4 99,1 105 105 105 27. 23,2 21,6 23,3 26,8 27 25,5 31,8 30,4 29,6 34,1 33,1 33,8 28. 46,1 45,5 46,4 49,9 49,2 50,7 53,8 52,8 52,9 57,9 57,8 57,3 29. 74,3 74,1 75,4 80,8 78,7 81,4 85,4 86,2 85,9 92 90,9 93,1 30. 110 109 111 116 115 116 121 121 123 129 127 128

ВОПРОСЫ ПО КУРСУ «ЭКОНОМЕТРИКА» .

1. Цели и задачи курса. Возникновение эконометрики и выделение ее в отдельную науку.

2. Методология эконометрического исследования. Математические и эконометрические модели, их классификации.

3. Виды переменных в эконометрических моделях. Понятия спецификации и идентифицируемости модели.

4. Понятие регрессионной модели. Уравнение регрессии. Экономическая интерпретация случайной составляющей.

5. Метод наименьших квадратов, его геометрическая интерпретация.

6. Линейная регрессия. Уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

7. Полная дисперсия результирующего признака, дисперсия обусловленная регрессией и остаточная дисперсия.

8. Коэффициент детерминации. Коэффициент линейной корреляции.

9. Стандартная ошибка и значимость коэффициентов уравнения линейной регрессии.

10. Значимость коэффициента линейной корреляции. Адекватность линейной регрессионной модели и ее значимость.

11. Точечное и интервальное прогнозирование по линейной регрессионной модели. Зависимость точности от горизонта прогноза.

12. Экономические задачи, приводящие к нелинейным регрессионным моделям. Кривые Филлипса и Энгеля.

13. Внутренне линейные парные регрессионные модели: гиперболическая, степенная, показательная регрессия, — экономический смысл способы их линеаризации.

14. Внутренне линейные парные регрессионные модели: полулогарифмическая, логистическая, обратная регрессия, — экономический смысл способы их линеаризации.

15. Полиномиальная регрессия – оценка коэффициентов, экономический смысл.

16. Параболическая регрессии – оценка коэффициентов, экономический смысл.

17. Индексы детерминации и корреляции для парных нелинейных регрессионных моделей, проверка их значимости.

18. Адекватность нелинейной регрессии, ее значимость.

19. Классификация уравнений множественной регрессии, их использование в экономике.

20. Метод наименьших квадратов в многомерном случае, его геометрическая интерпретация.

21. Уравнение множественной линейной регрессии. Оценка параметров. Регрессионное уравнение в стандартизованном масштабе.

22. Нелинейные уравнения множественной регрессии и их линеаризация.

23. Оценки неизвестных параметров производственных функций КоббаДугласа..

24. Матричная форма записи множественной регрессии.

25. Методы отбора факторов при построении множественных регрессионный моделей. Мультиколлинеарность факторов, способы ее устранения.

26. Множественная корреляция. Матрицы парных коэффициентов корреляции и межфакторной корреляции.

27. Частная корреляция множественной регрессии. Индексы детерминации.

28. Проверка значимости коэффициентов множественной корреляции. Адекватность множественной регрессионной модели.

29. Фиктивные переменные во множественной регрессии. Система нормальных уравнений для оценок параметров при фиктивных переменных.

30. Предпосылки методов наименьших квадратов. Анализ отклонений эмпирических данных от уравнения регрессии.

31. Гомоскедастичность и гетероскедастичность отклонений.

32. Автокорреляция остатков, вычисление коэффициентов автокорреляции.

33. Обобщенный метод наименьших квадратов. Его применение для уменьшения гетероскедастичности и автокорреляции.

34. Общие понятия о системах уравнений, используемых в эконометрике. Эндогенные, экзогенные и лаговые переменные.

35. Структурная и приведенная формы регрессионной модели. Проблема идентификации.

36. Оценивание параметров структурной модели. Косвенный, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов.

37. Применение систем эконометрических уравнений.

38. Основные элементы временного ряда. Виды моделей временного ряда.

39. Общая характеристика компонент временного ряда.

40. Автокорреляция уровней временного ряда и выявление его структуры. Коррелограмма.

41. Моделирование тенденции временного ряда.

42. Алгоритм сглаживания временных рядов с помощью скользящей средней.

43. Моделирование циклических колебаний временного ряда.

44. Моделирование тенденции временного ряда при наличии структурных изменений.

45. Статистическая оценка взаимосвязи двух временных рядов. Методы исключения тенденции.

46. Общая характеристика моделей с распределенным лагом и моделей авторегрессии. Интерпретация параметров моделей с распределенным лагом.

47. Изучение структуры лага и выбор вида модели с распределенным лагом.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основная:

1. Давнис В.В., Тинякова В.И. Основы эконометрического моделирования: Учебное пособие. — Воронеж: АОНО «ИММиФ», 2003.- 155 с.

2. Джонстон Д. Эконометрические методы. М.: Статистика, 1980.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.:ИНФРА-М, 1997.

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика, ЮНИТИ, 2002, 311с.

5. Магнус Я., Катышев П., Пересецкий А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2000.

6. Практикум по эконометрике: Учебное пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001.

7. Эконометрика: Учебник / Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2001.

8. Яновский Л.П., Буховец А.Г. Введение в эконометрику : Учебное пособие.- Воронеж: АОНО «ИММиФ», 2003.- 176 с.

Дополнительная:

1. Айвазян C.А., Бухштабер В.А., Енюков И.C., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Классификация и снижения размерности. М.: Финансы и статистика, 1989.

2. Айвазян C.А., Енюков И.C., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

3. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Юнити, 1998, 122 с.

4. Андерсон Т. Cтатистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.

5. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979.

6. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. (Вып. 1, 2.) М.: Мир, 1972.

7. Болч, Б.У., Хуань, К.Д. Многомерные статистические методы для экономики. М.: Статистика, 1979.

8. Бородич С.А. Эконометрика, Серия: Экономическое образование, 2001, 408с.

9. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.: Наука, 1979.

10. Гренджер К., Хатанака М. Cпектральный анализ временных рядов в экономике. М.: Статистика, 1972.

11. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981.

12. Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: Статистика, 1980.

13. Дрейпер, Н., Смит, Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. — М: Финансы и статистика, 1986.

14. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики.— 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Финансы и статистика, 2001.

15. Зельнер А. Байесовские методы в эконометрии. М.: Статистика, 1980.

16. Катышев П. К., Пересецкий А. А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики М.: Дело, 1999.

17. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. — М.: Статистика, 1977. — Вып. 1.

18. Кендэл М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981.

19. Кулинич Е. И. Эконометрия. — М.: Финансы и статистика, 1999.

20. Ланге О. Введение в эконометрику / Пер. с польск. — М.: Прогресс, 1964.

21. Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: Статистика, 1971.

22. Маленво Э. Cтатистические методы эконометрии. М.: Статистика, 1976.

23. Многомерный статистический анализ в экономике. Под ред. В. Н. Тамашевича. — М.: Юнити-Дана, 1999. — 598 с.

24. Мостеллер, Ф., Тьюки, Дж. Анализ данных и регрессия. В 2х вып. М.: Финансы и статистика, 1982.

25. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. М.: Мир, 1980.

26. Справочник по прикладной статистике. М.: Финансы и статистика, 1990.

27. Тинтнер Г. Введение в эконометрию. — М.: Финансы и статистика, 1965.

28. Фишер Ф. Проблема идентификации в эконометрии. — М.: Статистика, 1978.

29. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977.

30. Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: ВШЭ, 1995.

31. Экономическая статистика. Эконометрика : Методические материалы по экономическим дисциплинам для преподавателей средних школ и вузов. Под ред. Л. С. Гребнева. — Высшая школа экономики, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЯ Приложение 1. Критические точки распределения Стьюдента

Число Уровень значимости α (двусторонняя критическая степеней область) свободы к 0,10 0,05 0,02 0,01 0,002 0,001 1 6,31 12,7 31,82 63,7 318,3 637,0 2 2,92 4,3 6,97 9,92 22,33 31,6 3 2,35 3,18 4,54 5,84 10,22 12,9 4 2,13 2,78 3,75 4,60 7,17 8,61 5 2,01 2,57 3,37 4,03 5,89 6,86 6 1,94 2,45 3,14 3,71 5,21 5,96 7 1,89 2,36 3,00 3,50 4,79 5,40 8 1,86 2,31 2,90 3,36 4,5 5,04 9 1,83 2,26 2,82 3,25 4,3 4,78 10 1,81 2,23 2,76 3,17 4,14 4,59 11 1,80 2,20 2,72 3,11 4,03 4,44 12 1,78 2,18 2,68 3,05 3,93 4,32 13 1,77 2,16 2,65 3,01 3,85 4,22 14 1,76 2,14 2,62 2,98 3,79 4,14 15 1,75 2,13 2,60 2,95 3,73 4,07 16 1,75 2,12 2,58 2,92 3,69 4,01 17 1,74 2,11 2,57 2,90 3,65 3,96 18 1,73 2,10 2,55 2,88 3,61 3,92 19 1,73 2,09 2,54 2,86 3,58 3,88 20 1,73 2,09 2,53 2,85 3,55 3,85 21 1,72 2,08 2,52 2,83 3,53 3,82 22 1,72 2,07 2,51 2,82 3,51 3,79 23 1,71 2,07 2,50 2,81 3,49 3,77 24 1,71 2,06 2,49 2,80 3,47 3,74 25 1,71 2,06 2,49 2,79 3,45 3,72 26 1,71 2,06 2,48 2,78 3,44 3,71 27 1,71 2,05 2,47 2,77 3,42 3,69 28 1,70 2,05 2,46 2,76 3,40 3,66 29 1,7 2,05 2,46 2,76 3,4 3,66 30 1,7 2,04 2,46 2,75 3,39 3,65 40 1,68 2,02 2,42 2,70 3,31 3,55 60 1,67 2,00 2,39 2,66 3,23 3,46 120 1,66 1,98 2,36 2,62 3,17 3,37 ∞ 1,64 1,96 2,33 2,58 3,09 3,29

Приложение 2. Критические точки распределения

F Фишера – Снедекора

( к1 − число степеней свободы большей дисперсии) ( к 2 − число степеней свободы меньшей дисперсии)

Уровень значимости α = 0,05 (p=0,95)

к 2 \ к1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 2 18,5 19,0 19,1 19,3 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,88 8,84 8,81 8,78 8,76 8,74 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,93 5,91 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,78 4,74 4,70 4,68 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,63 3,60 3,57 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,5 3,44 3,39 3,34 3,31 3,28 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 3,10 3,07 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,97 2,94 2,91 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,86 2,82 2,79 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,92 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,84 2,77 2,72 2,67 2,63 2,60 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,77 2,70 2,65 2,60 2,56 2,53 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,45 2,42 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,62 2,55 2,50 2,45 2,41 2,38 Приложение 3. Критические точки распределения χ Число Уровень значимости α степен ей

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,89 свобод ыk 1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016 2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020 3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115 4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297 5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554 6 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872 7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24 8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65 9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09 10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56 11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05 12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57 13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11 14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66 15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23 16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81 17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41 18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01 19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63 20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26 21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90 22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54 23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2 24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9 25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5 26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2 27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9 28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6 29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3 30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

СОДЕРЖАНИЕ

1. Общие методические указания ………………………………3 2. Примеры выполнения контрольных заданий указания ……4

2.1. Пример выполнения контрольного задания № 1 …..4

2.2. Пример выполнения контрольного задания № 2 …..9

2.3. Пример выполнения контрольного задания № 3 ….13

2.4. Пример выполнения контрольного задания № 4 ….21 3. Примеры выполнения контрольных заданий с помощью табличного процессора Excel …………………………………38

4.1. Пример выполнения контрольного задания № 1 ….38

4.2. Пример выполнения контрольного задания № 2 ….47

4.3. Пример выполнения контрольного задания № 3 …52

4.4. Пример выполнения контрольного задания № 4 …59 Задания для выполнения контрольной работы студентами заочной формы обучения ………………………………………68 Вопросы по курсу «Эконометрика» ………………………….74 Рекомендуемая литература …………………………………….76 ПРИЛОЖЕНИЯ ………………………………………………..79

Приложение 1. Критические точки распределения Стьюдента ………………………………………………………79

Приложение 2. Критические точки распределения F Фишера – Снедекора ……………………………………………80

Приложение 3. Критические точки распределения χ 2 .. 81

Учебное издание

Моисеев Сергей Игоревич Померанцев Юрий Александрович Свиридов Владимир Владимирович

ЭКОНОМЕТРИКА

Методические указания

по выполнению контрольных работ по курсу

ИНСТИТУТ МЕНЕДЖМЕНТА МАРКЕТИНГА И ФИНАНСОВ