Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Прикладная математика»
И.А. Александрова, В.М. Гончаренко, М.С. Елаева,
В.В. Киселев
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
2011-2012 учебный год
Москва 2012
Экзаменационный билет состоит из 8 заданий: 2 теоретических вопросов и 6 практических заданий (все по 10 баллов).
Методика расчета итоговой оценки Письменный экзамен (максимум 80 баллов) + работа в триместрах (максимум 20 баллов).
51-69 баллов 70-85 баллов 86-100 «удовлетворительно» «хорошо» «отлично»
80-балльная оценка за письменный экзамен получается суммированием 10-балльных оценок за ответ на каждый теоретический вопрос и 10бальных оценок за ответ на каждый практический вопрос экзамена.
20-балльная оценка за работу в триместрах складывается из 10бальной оценки за первую половину зимнего триместра (если такая аттестация проставлялась) и 10-бальной оценки за вторую половину зимнего триместра и весенний триместр. Если аттестация за первую половину зимнего триместра не проставлялась, то порядок получения баллов определяется преподавателем, ведущим практические занятия в группе.
10-балльная оценка за половину семестра получается преобразованием 100-балльной оценки по следующей таблице:
51-55 = 1 балл 76-80 = 6 баллов
56-60 = 2 балла 81-85 = 7 баллов
61-65 = 3 балла 86-90 = 8 баллов
66-70 = 4 балла 91-95 = 9 баллов
71-75 = 5 баллов 96-100 = 10 баллов
II. Программа экзамена
5.1. Содержание разделов дисциплины
Раздел 1. Введение. Задачи оптимизации в экономике и финансах.
1.1. Общая постановка задачи оптимизации. Задача математического программирования. Примеры задач оптимизации в экономике и финансах. Производственные функции, функции полезности, функции спроса.
1.2. Решение финансово-экономических оптимизационных задач при помощи дифференциального исчисления функций одной переменной (задача об оптимизации налогового бремени, задача об оптимизации налогообложения и т.д.)
ИНВЕСТИЦИОННАЯ ПАРАДИГМА РАЗВИТИЯ РЕГИОНАЛЬНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО ...
... региональных экономических субъектов; предложена диагностическая методика оценки инвестиционной привлекательности региональной экономики и ее составных элементов, способствующая конкретизации и оптимизации ... можно ознакомиться в научной библиотеке Северо- ... регионального продукта от общего по России в два с половиной раза меньше, чем доля региона по среднегодовой численности занятых в экономике. ...
1.3. Примеры применения дифференциального исчисления функций нескольких переменных для решения финансово-экономических. Функция полезности, линия безразличия. Критерий оптимального набора товаров. Раздел 2. Финансово-экономические приложения линейного программирования
2.1. Двойственные задачи линейного программирования. Экономический смысл двойственной задачи. Примеры двойственных задач линейного программирования с финансово-экономическим содержанием.
2.2. Транспортная задача. Метод потенциалов и двойственность. Экономический смысл потенциалов. Постоптимальный анализ.
2.3. Открытая и закрытая модели двойственной задачи. Различные типы ограничений в транспортной задаче.
2.4. Предпосылки двойственного симплекс-метода. Псевдорешение. Алгоритм решения задач линейного программирования двойственным симплекс-методом.
2.6. Постановка задачи целочисленного программирования. Графический метод решения задач целочисленного программирования. 2.7. Метод Гомори решения задач целочисленного программирования. Примеры решения экономических задач. Раздел 3. Задачи многокритериальной оптимизации.
3.1. Происхождение и постановка задачи многокритериальной оптимизации. Множество достижимых критериальных векторов. Доминирование и оптимальность по Парето. Эффективные решения и паретова граница.
3.2. Основные методы решения многокритериальных задач. Свертка критериев с весовыми коэффициентами. Метод обобщенного критерия.
3.3. Методы параметрического программирования и последовательных уступок решения многокритериальных задач. Раздел 4. Элементы теории игр
4.1. Понятие об игровых моделях. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры. Седловая точка. Решение игр в смешанных стратегиях. Теорема Неймана. Матричная игра как задача линейного программирования.
4.2. Принципы максимина и минимакса. Оптимальная стратегия и цена игры. Графическое решение игр вида 2 × n и m × 2 . Решения игровых задач методами линейного программирования.
Раздел 5. Задачи выпуклого программирования
5.1. Постановка задачи выпуклого программирования. Условия регулярности системы ограничений задачи оптимизации (условия Слейтера).
Функция Лагранжа.
5.2. Теорема Куна-Таккера. Экономический смысл множителей Лагранжа. Связь с седловыми точками функции Лагранжа. Задача квадратичного программирования.
5.3. Решение задач финансово-экономических задач выпуклого программирования при помощи теоремы Куна-Таккера. Решение задачи об оптимальном портфеле ценных бумаг. Раздел 6. Динамическое программирование.
6.1. Основные предпосылки метода динамического программирования (ДП).
Условия оптимум. Уравнения Беллмана и порядок их решения.
6.2. Решение задачи о распределении средств между предприятиями (дискретный и непрерывный случаи).
6.3. Решение задач об оптимальной замене оборудования и оптимальном распределении ресурсов методами динамического программирования.
Задача: Решение задач по Макроэкономике
... на бизнес 58 Прочие выплаты 0,5 Решение: Все данные, приведенные в условии задачи, относятся либо к числу статей доходов ... платежи). Импорт – это приобретение у иностранного контрагента товара с ввозом его в страну из за границы. Чистые инвестиции ... 390 Индивидуальные налоги 590 Решение: Данные, представленные в задании, позволяют рассчитать ВНП по расходам или по доходам. Используя первый ...
III. СОДЕРЖАНИЕ ЭКЗАМЕНА
Теоретические вопросы
1. Задача оптимизации. Постановка задач математического и линейного программирования. Примеры задач оптимизации с экономическим содержанием.
2. Производственная функция. Однофакторные и многофакторные производственные функции. Примеры производственных функций.
3. Виды производственных функций. Изокванты. Приведите пример производственной функции и ее изоквант.
4. Функции полезности. Линии безразличия. Приведите пример функции полезности и укажите ее линии безразличия. Поясните, как найти оптимальный набор товаров при заданном бюджетном множестве.
5. Функция спроса и его эластичность. Как связаны эластичность спроса и эластичность выручки? Ответ обоснуйте.
6. Как определяются эластичный и неэластичный спрос? Как изменяется выручка при изменении цены в случае эластичного и неэластичного спроса? Ответ обоснуйте.
7. В каком отношении распределится бремя дополнительного налога между потребителем и производителем, если известны функции спроса D ( p ) и предложения S ( p) , а величина дополнительного налога мала по сравнению с равновесной ценой? В каком отношении распределится налоговое бремя между потребителем и производителем, если ED ( ES ) − эластичность спроса (предложения) при равновесной цене (ответ обоснуйте!)?
8. Предельные величины в экономике. Предельные издержки и предельный доход. Связь с оптимизацией прибыли.
9. Предельная полезность. Как определяется предельная норма замещения MRS X , X ( x1 , , xn ) товара X k товаром X l ? Приведите пример ее
k l
вычисления.
10. Функция полезности и предельная полезность. Что такое изоклина? Приведите пример ее вычисления.
11. Как определяется предельная норма замещения набора из двух товаров? Постановка задачи об оптимальном наборе товара с данным уровнем полезности (с данной стоимостью) и ее решение.
12. Как определяется предельная норма замещения набора из двух ресурсов? Постановка задачи об оптимальном производственном плане с данным уровнем издержек (с данным объемом производства) и ее решение.
13. Постановка взаимно-двойственных задач. Поясните (можно на примере) экономическую суть понятия двойственности.
14. Постановка транспортной задачи как задачи линейного программирования. Закрытая и открытая модель транспортной задачи. Приведите примеры.
15. Обоснуйте метод потенциалов с помощью основных теорем двойственности.
16. Метод искусственного базиса. Как на основании применения этого метода можно сделать вывод о существовании допустимого базиса? Приведите примеры.
17. Двойственный симплекс-метод. Псевдорешение. Предпосылки применения алгоритма двойственного симплекс-метода.
18. Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры задач с экономическим содержанием.
19. Сформулируйте алгоритм метода Гомори решения задач целочисленного программирования.
20. Объясните геометрический смысл введения дополнительного ограничения в методе Гомори. Приведите пример.
21. Общая постановка задач многокритериальной оптимизации. Примеры задач с экономическим содержанием.
22. Что называется оценкой допустимого решения задачи многокритериальной оптимизации? Как определяется отношение строгого предпочтения на множестве допустимых решений D ? Приведите примеры несравнимых элементов из D .
Применение линейного программирования для решения экономических ...
... анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются: 1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования; 2. Выявление области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач; 3. Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования; 4. Постановка задачи и ...
23. Дайте определения доминирования по Парето. Приведите примеры. Эффективное (недоминируемое) решение.
24. Дайте определение Парето-эффективной границы и приведите пример ее построения.
25. Основные методы решения задач многокритериальной оптимизации.
26. Предмет теории игр. Примеры игровых моделей в экономике.
27. Антагонистическая игра двух лиц с нулевой суммой. Платежная матрица.
28. Оптимальные стратегии игроков. Верхняя и нижняя цена игры и соотношение между ними.
29. Игра с седловой точкой. Решение игры в чистых стратегиях. Приведите примеры игр с седловой точкой.
30. Смешанные стратегии. Свойство оптимальности. Теорема Неймана.
31. Сведение матричной игры к задачам линейного программирования. Приведите примеры.
32. Матричная игра и взаимно двойственные задачи линейного программирования. Приведите примеры.
33. Постановка задачи динамического программирования. Состояния системы. Управление. Уравнение состояний. Поясните смысл отсутствия последействия в динамической системе.
34. Эффективность шага в задаче динамического программирования. Как оценивается эффективность всего процесса всего процесса в задаче динамического программирования? Поясните обозначения.
35. Дайте определение функций zk ( sk ) в задаче динамического программирования. Поясните обозначения.
36. Запишите уравнения Беллмана для общей задачи динамического программирования. Поясните обозначения. В каком порядке их решают?
37. Непрерывная задача о распределении средств между предприятиями. Постановка задачи. Уравнения Беллмана.
38. Дискретная задача о распределении средств между предприятиями. Постановка задачи. Уравнения Беллмана.
39. Постановка задачи выпуклого программирования. Условие регулярности. Теорема Куна-Таккера.
Примеры задач практической части
1. Пусть функция спроса имеет вид D ( p )= 7 − 2 p , а функция предложения S ( p ) = 1 + p. Найти эластичность спроса в точке рыночного равновесия. Эластичен ли спрос в этой точке?
2. Пусть C ( q ) = 2q 3 − 376q 2 + 4100q + 2000 − функция полных затрат на производство q единиц товара, R= ( q ) 500q − q 2 − функция дохода от продажи. Найти максимум прибыли.
3. В каком отношении распределится бремя дополнительного налога между потребителем и производителем, если D ( p ) = , S ( p )= p − 2 , а ве p личина дополнительного налога мала по сравнению с равновесной ценой?
4. Найти изменение равновесной цены при введении дополнительного налога t на единицу продукции, если D(p) = 52 — 4p , S(p) = 8p — 2 .
5. Пусть R(= q ) 47 q − 5q 2 − доход (выручка) от продажи, а C (q ) =q 2 − 13q + 14 − затраты на выпуск продукта в зависимости от количества q . Найти величину дополнительного налога t на каждую единицу продукта, чтобы налог T = tq от всей реализуемой продукции был максимальным, и весь налоговый сбор. Как уменьшится количество выпускаемой продукции?
6. Для товаров X 1 и X 2 известны функции спроса: q= 1 54 − p1 , q= 2 35 − p2 . Фирма-монополист имеет функцию издержек C = 2q12 + 6 q1 q2 + 3 q22 + 4 . Вычислите максимальную прибыль фирмы в этих условиях и найдите соответствующий производственный план. 7. Для функции полезности U ( x, y ) = 7 x y выяснить, являются ли
Задача: Задачи к экзамену по эконометрике в Excel
... 0(ж) 1(м) 0(ж) 1(м) 1(м) 1(м) 1(м) 1(м) 1(м) При решении использовать средства Excel. Задача №5 Риэлтерская фирма занимается реализацией квартир на вторичном регионе. ... коэффициент детерминации, коэффициенты эластичности. Дать содержательную интерпретацию параметров модели и найденных коэффициентов. Задача №6 Известен объем реализации собственной продукции предприятием пищевой промышленности в ...
1 2
3 3
наборы товаров а) ( 8, 27 ) , б) ( 6,7 ) , самыми полезными из всех наборов, имеющих равную с ними стоимость, если p1 = 21 ; p2 = 36 . 8. Для функции полезности Кобба–Дугласа U ( x1 , x2 ) = 3×1 3 x2 3 про 1 2
верьте, будут ли наборы товаров: а) ( 2,5 ) , б) ( 7,10 ) самыми дешевыми среди всех наборов, имеющих равные с ними уровни полезности, если стоимости этих товаров составляют p1 = 40 ; p2 = 56 .
−2
1 1
9. Дана производственная функция CES Q(K, L) = K −1/ 3 + L−1/ 3
2 2 цена выпускаемой продукции pK = 16 , pL = 81 . Обеспечат ли планы: а) ( K , L) = (27,8) , б) ( K , L) = (8,1) наибольший выпуск производства при фиксированных издержках?
10. Дана производственная функция CES Q(K, L) = (3K −1/ 2 + 2 L−1/ 2 ) ,
−1
цена выпускаемой продукции pK = 81 , pL = 16 . Позволят ли планы: а) ( K , L) = (4,9) , б) ( K , L) = (9,4) минимизировать издержки при заданном объеме производства?
B1 B2 B3 B4
A1 16 8 9 1 70
11. Для заданной транспортной задачи A2 13 16 18 9 50 (от A3 14 23 12 7 240
100 10 70 160 крытая модель) найти оптимальный план и стоимость перевозок.
12. Пусть в транспортной задаче B1 B2 B3 B4 (табл. 1) перевозки от A1 к B2 и от A3 к A1 2 5 4 6 120 B3 временно запрещены. Найти опти- A2 4 5 6 8 80 мальный план и стоимость перевозок. A3 2 6 3 1 60
13. Пусть в транспортной задаче (табл. 2) от A1 к B3 необходимо перевезти 100 70 70 20 ровно 40 ед., от A2 к B2 не менее 50 ед., Таблица 1
от A3 к B1 — не более 20 ед. Найти оптимальный план и стоимость перевозок.
14. Решить задачу целочисленного программирования с целевой функцией z = 5 x + 9 y + 3 → max и ограниче- B B B B
1 2 3 4
y − x − 3 ≤ 0, A1 6 8 15 4 60
y + x − 14 ≤ 0,
A2 9 15 2 3 130 ниями: .
x ∈ Z, y ∈ Z, A3 6 12 7 1 90
x ≥ 0, y ≥ 0.
30 80 60 110 a) Графическим способом; б) Методом Го Таблица 2 мори; в) Дать геометрическую интерпретацию введения дополнительного ограничения.
f =x1 + 3 x2 → min
x + x − x =
1 2 3 4,
15. Решить задачу линейного программирования − x1 + 2 x2 + x4 = 2, ,
x − x + x = 2,
1 2 5
xi ≥ 0, i =
1, ,5. используя метод искусственного базиса.
f1 = 4 x1 + x2 → max
f 2 =x1 + 2 x2 → max
x + x ≤ 7,
16. Найти Парето-оптимальную границу задачи 1 2
x1 ≤ 5,
x2 ≤ 4,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. 17. Найти компромиссное решение задачи № 13 методом идеальной точки. 18. Найти компромиссное решение задачи № 13 методом обобщенного критерия с соответствующими весами равными 0,5; 0,5. 19. Найти компромиссное решение задачи № 13 методом приоритетов( f1 > f 2 ).
20. Решите задачу линейного программирования f =− x1 − 10 x2 + 10 → max −2 x − 2 x + x = −1, 1 2 3
Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой ...
... 7.0, который может быть использован для решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе ... и нижняя граница значений управляющих переменных. 2. Новый аналитический метод решения задачи оптимального управления макроэкономической системой, в ... Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 ...
−2 x1 + 2 x2 + x4 = −2, , используя двойственный симплекс-метод. −4 x + 2 x + x = −1, 1 2 5
xi ≥ 0, i =
1, ,5.
f1 =x1 + 6 x2 → max
f = x + x → min
2 1 2
21. Найти Парето-оптимальную границу в задаче 2 x1 + 3×2 ≤ 12,
3 x + x ≤ 9,
1 2
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
22. Рассматривается задача с двумя критериями. u1 – первый критерий, измеряет стоимость; u2 – второй критерий, измеряет эффективность. Множество допустимых значений U – имеет вид: U = A ∪ B, где
A = {u ∈ R 2 (u1 − 1) 2 + u 22 ≤ 1 и 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ u 2 ≤ 1};
B = {u ∈ R 2 1 ≤ u1 ≤ 2, 0 ≤ u 2 ≤ 3}. Построить множество недоминируемых решений. 23. Две отрасли заняты производством двух продуктов.
ui – доля трудовых ресурсов; cj – чистый выпуск продукта j; С j = ∑ ui aijλ i .
Заданы вектор-процессы отраслей:
3 1
a=
1 (2; −1); a=
1 ( ; −2); a12 = (−1; ); a22 = (−2;3); a23 = (−4;4).
2 2 Построить множество Парето-оптимальных решений. 24. Для выпуска двух видов продукции используются два вида ресур 2 1 сов. Известны A = — матрица норм расхода сырья, Q = (1, 2 ) — цены на
1 3
10 ресурсы, P = ( 5,12 ) — цена реализации, B = — запасы ресурсов. Найти
15 Парето-оптимальную границу в задаче максимизации прибыли и выручки. 25. Рекламное агентство, в штате которого 15 человек, получило заказ на рекламу нового продукта на радио и ТВ. Основные данные об аудитории, стоимости рекламы и количестве занятых ее изготовлением агентов занесены в таблицу 3. Рекламное Радио ТВ агентство решает задачу о мак- Рекламная аудитория симизации возможной аудито- (млн. человек) 4 8 рии и минимизации издержек
Стоимость минуты на изготовление рекламы при 3 12
(тыс. у.е.) условии, что контракт запре Кол-во занятых агентов 1 3 щает использовать более 6 ми- Таблица 3 нут рекламы на радио. Найти Парето-оптимальную границу.
4 3 3 26. Найдите решение игры с платежной матрицей 2 1 3 в чис 2 4 3
