Математические методы и модели в экономике

Контрольная работа

ЗАДАНИЕ 1


Построить одноиндексную математическую модель задачи линейного программирования. В модели надо указать единицы измерения всех переменных, целевой функции и каждого ограничения

Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала в расчете на одно изделие, плановая себестоимость, оптовая цена предприятия, плановый ассортимент и трудоемкость единицы продукции приведены в таблице. При этом, запас древесно-стружечных плит, досок еловых и березовых 92, 33 и 17 куб.м. соответственно. Плановый фонд рабочего времени 19100 человеко-часов.

Исходя из необходимости выполнения плана по ассортименту и возможности его перевыполнения по отдельным (и даже всем) показателям, постройте модель, на основе которой можно найти план производства, максимизирующий прибыль.

Показатели Изделия
трельяж трюмо тумбочка
Норма расхода материала, куб.м.:
древесно-стружечные плиты 0,042 0,037 0,028
доски еловые 0,024 0,018 0,081
доски березовые 0,007 0,008 0,005
Трудоемкость, чел.-ч. 7,5 10,2 6,7
Плановая себестоимость, ден.ед. 98,81 65,78 39,42
Оптовая цена предприятия, ден.ед. 97,10 68,20 31,70
Плановый ассортимент, шт. 450 1200 290

Решение:


В условии задачи сформулирована цель получение максимальной прибыли при необходимости выполнения плана по ассортименту и возможн

ости его перевыполнения. Поэтому, искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются количество произведенной продукции:

Х
1

— количество изготовленных трельяжей.

Х
2

— количество изготовленных трюмо.

Х
3

— количество изготовленных тумбочек.


Поэтому целевой функцией будет математическое выражение, в которой суммируется прибыль

от изготовления каждой продукции. Прибыль является разность между себестоимостью и оптовой ценой продукции.

L = (97,10 — 98,81) *Х
1

+ (68,2 — 65,78)* Х2
+(31,7 — 39,42)* Х3
=

= -1,71 * Х
1

+ 2,42 * Х2

7,72 * Х3
max


Условием является то, что сумма расхода материалов не должно быть больше

имеющихся материалов, а так же обязательное условие — выполнение плана. Таким образом, математическая модель задачи будет иметь вид:

ЗАДАНИЕ 2


Решить одноиндексную задачу линейного программирования графическим методом.


Построим следующие прямые:


х

1
+ х2
= 2 (1)


1

+ х2
= 4 (2)

х
1

+ 2х2
= 8 (3)

х
1

= 6 (4)


Для этого вычислим координаты прямых:

Заштрихуем полуплоскости, определяемые и разрешаемые каждым из ограничений неравенств. Определим область допустимых решений , многоугольник АВCDEF.

Построим целевую функцию по уравнению

Нижняя точка пересечения целевой функции и многоугольника — это точка минимума целевой функции.

Найдем координаты точки D ( 2; 0 ).

Минимальное значение целевой функции


L(Х) = L(

D) = 1*2 + 3*0 = 2

ЗАДАНИЕ 3

Задача сетевого планирования

По данным варианта необходимо:

построить сетевую модель, рассчитать временные параметры событий (на рисунке) и работ (в таблице);

определить критические пути модели;

оптимизировать сетевую модель по критерию «минимум исполнителей» (указать какие работы надо сдвигать и на сколько дней, внесенные изменения показать на графиках привязки и загрузки пунктирной линией).

Название

работы

Нормальная

длительность

Количество

исполнителей

Вариант 2 (N=11 человек) ,
D — исходная работа проекта;

, Работа E следует за D;
, Работы A, G и C следуют за E;
, Работа B следует за A;
, Работа H следует за G;
, Работа F следует за C;


Работа I начинается после завершения B, H, и F

A 3 5
B 4 7
C 1 1
D 4 3
E 5 2
F 7 3
G 6 6
H 5 1
I 8 5

1. Построим сетевую модель, рассчитаем временные параметры событий ( на рисунке) и работ ( в таблице).


Сетевой график

Код Название работы t Трн Тро Тпн Тпо Rп
1-2 D 4 0 4 0 4 0 0
2-3 E 5 4 9 4 9 0 0
3-5 A 3 9 12 13 16 4 0
3-6 G 6 9 15 9 15 0 0
3-4 C 1 9 10 12 13 3 0
5-7 B 4 12 16 16 20 4 4
6-7 H 5 15 20 15 20 0 0
4-7 F 7 10 17 13 20 3 3
7-8 I 8 20 28 20 28 0 0


В таблице использованы следующие сокращения:

, t
— длительность работы , Трн
— ранний срок начала работы , Тро
— ранний срок окончания работы , Тпн
— поздний срок начала работы , Тпо
— ранний срок окончания работы , Rп
— полный резерв времени ,
— свободный резерв времени

2. Определим критические пути модели

Критический путь — 1,2,3,6,7,8 = 28 суток — максимальный по продолжительности полный путь.

3. Оптимизируем сетевую модель по критерию «минимум исполнителей» (укажем какие работы надо сдвигать и на сколько дней, внесенные изменения показать на графиках привязки и загрузки пунктирной линией).

Построим график привязки для следующих исходных данных.

Название работы Количество исполнителей
D 1-2 4 3
E 2-3 5 2
A 3-5 3 5
G 3-6 6 6
C 3-4 1 1
B 5-7 4 7
H 6-7 5 1
F 4-7 7 3
I 7-8 8 5


При оптимизации использования ресурса рабочей силы сетевые работы чаще всего стремятся организовать таким образом, чтобы:


·

количество одновременно занятых исполнителей было минимальным;

· выровнять потребность в людских ресурсах на протяжении срока выполнения проекта.


Проведенная оптимизация была основана на использовании свободных

и полных резервов работ.

Для этого необходимо чуть дальше сдвинуть указанные работы, а именно: работу (3,5) сдвинуть на 1 дней, работу (5,7) — на 3 дня, и работу (4,7) на 3 дня.

В результате оптимизации количество одновременно занятых исполнителей снизили с 16 человек до 11.

ЗАДАНИЕ 4

Решить задачу управления запасами.

Завод радиоэлектронной аппаратуры производит 860 радиоприемников в сутки. Микросхемы для радиоприемников (по 1 шт. на приемник) производятся на этом же заводе с интенсивностью 3420 тыс. шт. в сутки. Затраты на подготовку производства партии микросхем составляют 81 руб. (числа в задаче условные), себестоимость производства 1 тыс. шт. микросхем равна 25 руб. Хранение микросхем на складе обходится заводу в 1,5 руб. за каждую тысячу в сутки. У завода появилась возможность закупать микросхемы в другом месте по цене 25 руб. за 1 тыс. шт. Стоимость доставки равна 32 руб.

Выясните, стоит ли заводу закупать микросхемы вместо того, чтобы их производить. Для более выгодного режима работы завода (производство или закупка) определите периодичность подачи заказа, и затраты на управление запасами в месяц (22 рабочих дня).

1.
Для моделирования процессов производства продукции применим модель планирования экономичного размера партии.

Размер партии микросхем, производимых на заводе:

Q* = (2К
1

**)/(S(-)

Q* = (2*81*0,86*3420) /(1,5*(3420 — 0,86) = 9,639 тыс. шт.

Частота запуска микросхем в производство:


1

=(Q*/)*


1

= (9,639/0,86)*22 = 246,6 часов 4,1 4 рабочих дней

Общие затраты на управление запасами:

L
1

= К1
*(/Q*) + S*( Q*( — ))/(2) + Сi

L
1

= 81*(0,860/9,639) + 1,5* (9,639*(3420 — 0,86))/(2*3420) + 25*0,86 = 36 руб/сут.

L
1

= 36 *22 = 792 руб/мес.

2. Моделирование процесса закупки произведем с помощью модели Уилсона.

Размер партии заказа:

Q
w

= 2*К2
/S

Q
w

= 2*32*0,86/1,5= 6,057 тыс. шт

Подача каждого нового заказа должна производиться через:


2

= (Qw
/)*


2

= (6,057/0,86)*22 = 154,946 часов 5,16 5 раб. дней

Затраты на управление запасами:

L
2

= К2
*(/Q) + S*(Q/2) + С2

L
2

= 32*(0,86/6,057) + 1,5*(6,057/2) + 25*0,86 = 30,6 руб./сут

L
2

= 30,6 *22 = 672,9 руб./мес.

Ответ: таким образом, можно сделать вывод, что заводу выгодно покупать микросхемы у внешнего источника, чем производить их самим, расходы в этом случае меньше.