Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Псковский государственный университет
Кафедра экономики и управления на предприятии
Дисциплина: Методы принятия управленческих решений
Псков
2014
Содержание
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Список литературы
Задание 1
Для производства трех видов продукции (А, В и С) предприятие использует два вида сырья, удельный расход которого представлен в таблице 1.
Таблица 1
Расход сырья и прибыль от реализации 1 т продукции
|
Сырье |
Расход сырья на 1 т продукции, т |
Запас сырья, т/сут. |
|
А |
В |
С |
|
1 |
12800 |
|
|
2 |
15200 |
|
|
Прибыль от реализации 1 т, тыс. д. е. |
Составить математическую модель задачи. С использованием симплексного метода решения задач линейного программирования рассчитать такой суточный объем производства каждого вида продукции, при котором прибыль от его реализации будет максимальной.
Решение
1.
Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
Переменные:
- объем производства товаров группы А, т
- объем производства товаров группы В, т
- объем производства товаров группы С, т
Целевая функция:
Максимум прибыли от реализации товаров, тыс. д. е.
Ограничения:
1) По использованию сырья 1 на 1 т продукции, т
2) По использованию сырья 2 на 1 т продукции, т
3) Условие неотрицательности переменных
2.
Состав
им
перв
ый
опорн
ый план
(см. таблицу 2)
Перейдем от системы неравенств к системе уравнений путем введения базисных переменных .
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
Функцию цели запишем в виде уравнения
Полагая, что основные переменные , получим первый опорный план, который заносим в симплексную таблицу 2.
Таблица 2
Первый план симплексной таблицы
|
План |
Базисные переменные |
Свободные члены |
Основные переменные |
Дополнительные переменные |
|||
|
I |
12800 |
1 |
0 |
336,84 |
|||
|
15200 |
0 |
1 |
844,44 |
||||
|
Индексная строка |
f(x) |
0 |
-28 |
-32 |
-18 |
0 |
0 |
Первый опорный план, представленный в первой симплексной таблице неоптимальный, т.к. в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты: -28;
- 32;
- 18.
Определим ведущие столбец и строку
Из отрицательных коэффициентов индексной строки выбираем наибольший по абсолютной величине, что и определяет ведущий столбец, который показывает, какая переменная на следующей итерации перейдет из свободных в базисные.
За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной , т.к. сравнивания по модулю .
Строка симплексной таблицы, соответствующая минимальному значению , является ведущей. Она определяет переменную , которая на следующей итерации выйдет из базиса и станет свободной.
Вычислим значения по строкам, для этого элементы столбца свободных членов симплексной таблицы делим на положительные элементы ведущего столбца.
12800/38 = 336,84 (min); 15200/18 = 844,44 ? строка является ведущей.
Разрешающий элемент находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и равен 38.
3.
Построим
второй
план
(см. таблицу 3)
Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо в базис войдет переменная , соответствующая ведущему столбцу.
Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы, т.е. для строки :
12800/38 = 336,84; 18/38 = 0,47; 38/38 = 1; 32/38 = 0,84; 1/38 = 0,03; 0/38 = 0.
Все остальные коэффициенты других строк определяются по формуле: новый элемент = соответствует коэффициент предыдущего плана — (коэффициент ведущего столбца предыдущей таблицы Ч коэффициент начальной строки нового плана).
Для строки :
15200 — 18·336,84 = 9136,88
- 18·0,47 = 23,54
- 18·1 = 0
- 18·0,84 = 12,88
0 — 18·0,03 = -0,54
1 — 18·0 = 1
Для строки :
0 — (-32)·336,84 = 10778,88
-28 — (-32)·0,47 = -12,96
-32 — (-32)·1 = 0
-18 — (-32)·0,84 = 8,88
0 — (-32)·0,03 = 0,96
0 — (-32)·0 = 0
За ведущий столбец выберем столбец, соответствующий переменной (отрицательное значение в индексной строке только одно и равно — 12,96).
Вычислим значения по строкам
336,84/0,47 = 716,68; 9136,88/23,54 = 388,14 (min) ? строка является ведущей.
Разрешающий элемент находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки и равен 23,54.
Таблица 3
Второй план симплексной таблицы
|
План |
Базисные переменные |
Свободные члены |
Основные переменные |
Дополнительные переменные |
|||
|
336,84 |
0,47 |
1 |
0,84 |
0,03 |
0 |
716,68 |
|
|
9136,88 |
23,54 |
0 |
12,88 |
-0,54 |
1 |
388,14 |
|
|
Индексная строка |
f(x) |
10778,88 |
-12,96 |
0 |
8,88 |
0,96 |
0 |
Анализ второго плана:
План не оптимальный, т.к. в индексной строке имеется отрицательный коэффициент (-12,96).
Максимальную прибыль в размере 10 778,88 тыс. д.е. предприятие получит от продажи товаров второй группы В в объеме 336,84 т ().
Среди базисных переменных находится дополнительная переменная . Это указывает на то, что ресурсы второго вида недоиспользованы на 9136,88т.
4.
Построим третий план (см. таблицу 4)
Заменим переменные в базисе, вместо в базис войдет переменная , соответствующая ведущему столбцу.
Разделим все элементы ведущей строки предыдущей симплексной таблицы на разрешающий элемент и результаты деления занесем в начальную строку следующей симплексной таблицы, т.е. для строки :
9136,88/23,54 = 388,14; 23,54/23,54 = 1; 0/23,54 = 0; 12,88/23,54 = 0,55;
-0,54/23,54 = -0,02; 1/23,54 = 0,04.
Определим коэффициенты других строк.
Для строки :
336,84 — 0,47·388,14 = 154,41
0,47- 0,47·1 = 0
0,47·0 = 1
0,84 — 0,47·0,55 = 0,58
0,03 — 0,47·(-0,02) = 0,04
0 — 0,47·(0,04) = -0,02
Для строки :
10778,88 — (-12,96)·388,14 = 15809,17
-12,96- (-12,96)·1 = 0
(-12,96)·0 = 0
8,88- (-12,96)·0,55 = 16,01
0,96- (-12,96)·( -0,02) = 0,7
(-12,96)·0,04 = 0,52
Таблица 4
Третий план симплексной таблицы
|
План |
Базисные переменные |
Свободные члены |
Основные переменные |
Дополнительные переменные |
|||
|
III |
154,41 |
0 |
1 |
0,58 |
0,04 |
-0,02 |
|
|
388,14 |
1 |
0 |
0,55 |
-0,02 |
0,04 |
||
|
Индексная строка |
f(x) |
15809,17 |
0 |
0 |
16,01 |
0,7 |
0,52 |
Анализ третьего плана:
Необходимо производить товары первой группы А в объеме 388,14 т и второй группы В — 154,41 т. При этом предприятие получает максимальную прибыль в размере 809,17 тыс. д.е. Товары группы С не производятся.
В оптимальном плане среди базисных переменных дополнительные переменные отсутствуют. Это указывает на то, что ресурсы используются полностью.
Ответ:
Задание 2
Груз должен быть полностью перевезен из трех складов четырем фирмам-потребителям. В транспортной матрице (таблица 5) указаны запасы груза на складах (в тоннах), потребности фирм (в тоннах) и стоимость перевозки 1 тонны груза от каждого склада соответствующей фирме (руб.).
Таблица 5
Исходные параметры транспортной задачи
|
Склады |
Фирмы-потребители |
Запасы, т |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
|||
|
2 |
|||
|
3 |
|||
|
Потребности, т |
Определить опорный план перевозок с помощью метода северо-западного угла или минимального элемента. Рассчитать оптимальный план перевозок, имеющий минимальную стоимость с использованием метода потенциалов.
Решение
1
Экономико-математическая модель задачи имеет следующий вид:
Переменные:
х11 — объем груза, перевозимого c I склада в фирму № 1, т;
х12 — объем груза, перевозимого c I склада в фирму № 2, т;
х13 — объем груза, перевозимого c I склада в фирму № 3, т;
х14 — объем груза, перевозимого c I склада в фирму № 4, т;
х21 — объем груза, перевозимого cо склада в фирму № 1, т;
х22 — объем груза, перевозимого cо склада в фирму № 2, т;
х23 — объем груза, перевозимого cо склада в фирму № 3, т;
х24 — объем груза, перевозимого cо склада в фирму № 4, т;
х31 — объем груза, перевозимого c III склада в фирму № 1, т;
х32 — объем груза, перевозимого c III склада в фирму № 2, т;
х33 — объем груза, перевозимого c III склада в фирму № 3, т;
х34 — объем груза, перевозимого c III склада в фирму № 4, т.
Ограничения:
1) по возможности I склада, т х11 + х12 + х13 + х14 =
2) по возможности склада, т х21 + х22 + х23 + х24 =
3) по возможности III склада, т х31 + х32 + х33 + х34 =
4) по потребности фирмы № 1, т х11 + х21 + х31 =
5) по потребности фирмы № 2, т х12 + х22 + х32 =
6) по потребности фирмы № 3, т х13 + х23 + х33 =
7) по потребности фирмы № 4, т х14 + х24 + х34 =
Целевая функция:
F(x) = 43х11 + 62х12 + 42х13 + 33х14 + 18х21 + 82х22 + 48х23 +52х24 +72х31+ + 47х32 + 38х33 + 28х34 > min
2. Проверка задачи на сбалансированность
Рассматриваемая задача является сбалансированной, то есть сумма запасов продукции во всех пунктах отправления равняется суммарной потребности во всех пунктах потребления (100 т = 100 т).
Поэтому не требуется вводить фиктивного поставщика или фиктивного потребителя.
3. Построение первоначального опорного плана транспортной задачи
Для получения первоначального исходного плана перевозок в нашей задаче используем метод минимального элемента (см. таблицу 6).
При этом количество занятых клеток должно составить:
m + n — 1 = 3 + 4 — 1 = 6,
где m — количество поставщиков;
n — количество потребителей.
х11 = 4 т х21 = т
х12 = т х33 = 7 т
х13 = т х34 = т
F (x) = 43·4 + 62·18 + 42·20 + 18·28+ 38·7+ 28·23 = 3542 руб.
Таблица 6
План задачи после первой итерации
|
Склады |
Фирмы-потребители |
Запасы, т |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
4 |
+ |
|
|
2 |
|||
|
3 |
+ |
— 7 |
|
|
Потребности, т |
4. Определение оптимального решения методом потенциалов
1) Исследуем план на оптимальность
Для проверки плана на оптимальность необходимо определить потенциалы по каждой строке и столбцу по формуле:
Для занятых клеток
+ = Cij, (1)
где — потенциал столбца;
- потенциал строки;
Cij — тариф (показатель) занятой клетки.
Для занятых клеток (1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (3.3), (3.4):
1.1) + = = 0 =
1.2) + = =
1.3) + = =
2.1) + = = —
3.3) + = = — 4
3.4) + = =
Для свободных клеток характеристика определяется по формуле:
dij= Cij — (Vj + Ui) (2)
где dij — характеристика свободной клетки;
- потенциал столбца;
- потенциал строки;
Cij — тариф свободной клетки.
При решении задачи на min целевой функции dij 0
Характеристика свободных клеток (1.4), (2.2), (2.3), (2.4), (3.1), (3.2):
1.4) d1.4 = — (U1 +V4) = — (0 + 32) = 1
2.2) d2.2 = — (U2 +V2) = — (- + 62) =
2.3) d2.3 = — (U2 +V3) = — (- + 42) =
2.4) d2.4 = — (U2 +V4) = — (- + 32) =
3.1) d3.1 = — (U3 +V1) = — (- 4 + 43) =
3.2) d3.2 = — (U3 +V2) = — (- 4 + 62) = —
т.к. d3.2 = — 11, следовательно, план, представленный в таблице 6, не оптимальный.
2) Улучшим план
путем сдвига по циклу
за счет клетки с
наименьшей
отрицательной характеристикой
Объемы в отрицательных вершинах цикла клетки (3.2) — 7 и 18, наименьший из них — 7. Произведем сдвиг по циклу. Этот наименьший объем прибавим к объемам в положительных вершинах, и вычтем от объемов в отрицательных вершинах, т.е. получим новый план (см. таблицу 7).
Таблица 7
План задачи после второй итерации
|
Склады |
Фирмы-потребители |
Запасы, т |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
4 |
+ |
|
|
2 |
|||
|
3 |
7 + |
||
|
Потребности, т |
3)
Исследуем
новый
план на оптимальность
Для занятых клеток (1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (3.2), (3.4):
1.1) + = = 0 =
1.2) + = =
1.3) + = =
2.1) + = = —
3.2) + = = —
3.4) + = =
Характеристика свободных клеток (1.4), (2.2), (2.3), (2.4), (3.1), (3.3):
1.4) d1.4 = — (U1 +V4) = — (0 + 43) = —
2.2) d2.2 = — (U2 +V2) = — (- + 62) =
2.3) d2.3 = — (U2 +V3) = — (- + 42) =
2.4) d2.4 = — (U2 +V4) = — (- + 43) =
3.1) d3.1 = — (U3 +V1) = — (- + 43) =
3.3) d3.3 = — (U3 +V3) = — (- + 42) =
т.к. d1.4 = — 10, следовательно, план, представленный в таблице 6, не оптимальный.
4) Улучшим план путем сдвига по циклу за счет клетки с наименьшей отрицательной характеристикой
Объемы в отрицательных вершинах цикла клетки (3.2) — и 23, наименьший из них — 11. Произведем сдвиг по циклу. Получим новый план (см. таблицу 8).
Таблица 8
План задачи после третьей итерации
|
Склады |
Фирмы-потребители |
Запасы, т |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
4 |
||
|
2 |
|||
|
3 |
|||
|
Потребности, т |
5) Исследуем новый план на оптимальность
Для занятых клеток (1.1), (1.3), (1.4), (2.1), (3.4), (3.2):
1.1) + = = 0 =
1.3) + = =
1.4) + = =
2.1) + = = —
3.4) + = = —
3.2) + = =
Характеристика свободных клеток (1.2), (2.2), (2.3), (2.4), (3.1), (3.3):
1.2) d1.2 = — (U1 +V2) = — (0 + 62) = 0
2.2) d2.2 = — (U2 +V2) = — (- + 62) =
2.3) d2.3 = — (U2 +V3) = — (- + 42) =
2.4) d2.4 = — (U2 +V4) = — (- + 43) =
3.1) d3.1 = — (U3 +V1) = — (- + 43) =
3.3) d3.3 = — (U3 +V3) = — (- + 42) =
т.к. dij 0, то план, представленный в таблице 8, оптимальный.
Затраты на перевозку составят:
F (x) = 43·4 + 42·27 + 43·11 + 18·28+ 47·18+ 28·12 = 3465 руб.
Ответ: груз будет доставлен с I склада (42 т) в фирму 1 — 4 т, фирму 3 — т, фирму 4 — т; cо склада (28 т) в фирму 1 — т; с III склада (30 т) в фирму 2 — т, фирму 4 — т. Затраты на перевозку составят 3465 руб.
Задание 3
Необходимо выбрать оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения процесса управления производством. На основе информации соответствующих заводов-изготовителей определены локальные критерии функционирования оборудования и веса этих критериев (таблица 9).
Таблица 9
Локальные критерии функционирования оборудования
|
Вариант оборудования |
Времени подготовки к работе, час. |
Стоимость оборудования, тыс. руб. |
Объем памяти, Гбайт |
Масса, кг |
Число выполняемых функций, ед. |
|
1 |
0,38 |
520 |
192 |
122 |
|
|
2 |
0,72 |
380 |
128 |
142 |
|
|
3 |
0,28 |
620 |
232 |
||
|
4 |
0,62 |
580 |
168 |
128 |
|
|
Коэффициенты веса |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
Решение
Для решения данной задачи используем аддитивный критерий оптимальности (обобщенная функция цели), который определяется по формуле:
(3)
, (4)
где
aij
— значение частного (локального) критерия;
- вес (важность)
j
го частного критерия.
1. Выполним нормализацию критериев
1) Определ
им
max
каждого локального
критерия
max
aij
(5)
Выберем максимальные значения по каждому столбцу
а+1 = 0,72; а+2 = 620; а+3 = 232; а+4 = 142; а+5 = /i>
2) В соответствии с критерием max эффективности пересчит аем значени я частных критериев по формулам (4) и (5)
в
= (6)
в
= 1 — (7)
Формула (6) используется для критериев, которые необходимо максимизировать, а формула (7) — для критериев, которые минимизируют.
Нам необходимо максимизировать критерии объема памяти и числа выполняемых функций, а минимизировать критерии времени подготовки к работе, стоимости и массы.
Для критериев «Время подготовки к работе», «Стоимость оборудования» и «Масса» будем использовать формулу (7):
в 1.
1
=
в 1.2
=
в 1.4
=
в2.
1
=
в 2.2
=
в 2.4
=
в3.
1
=
в 3.2
=
в 3.4 =
в4.1 =
в 4.2
=
в 4.4 =
Расчет критериев «Объем памяти» и «Число выполняемых функций» произведем в соответствии с формулой (6):
в1
3
=
в1
5
=
в23 =
в
=
в3
3
=
в35 =
в43 =
в45 =
2
. Рассчитаем значения аддитивного критерия оптимальности по формуле (3):
F
1 =0,1•0,47 + 0,2•0,16 + 0,1•0,83 + 0,2•0,14 + 0,4•0,84 = 0,526
F
2 =0,1•0 + 0,2•0,39 + 0,1•0,55 + 0,2•0+ 0,4•0,5 = 0,333
F
3 =0,1•0,61 + 0,2•0 + 0,1•1 + 0,2•0,31 + 0,4•1 = 0,623
F
4 =0,1•0,14 + 0,2•0,07 + 0,1•0,72 + 0,2•0,1 + 0,4•0,41 = 0,284
Ответ: необходимо выбрать вариант оборудования №3, так как он соответствует наибольшему значению аддитивного критерия оптимальности.
Задание 4
Планируется производство легковых автомобилей. Имеются четыре варианта проекта автомобиля (j = 1,..,4).
Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке приведены в таблице (млрд. руб.).
модель оптимальный перевозка
Таблица
Ожидаемые значения прибыли для различных проектов и состояний спроса на рынке
|
Проекты автомобиля |
Состояние спроса на автомобили |
Определите оптимальную стратегию Rj, используя критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица (б = 0,5; б = 0,8).
Сделайте выводы.
Решение
1.
Критерий Лапласа
Критерий Лапласа предполагает все состояния природы равновероятными, т.е. каждому состоянию
/i> ставится в соответствии вероятность q i , определяемая по формуле:
, (8)
где
n
— количество состояний природы
Критерий Лапласса имеет вид:
, (9)
где
W
— значение критерия Лапласа;
Vij
— результат решения (выигрыш или потеря).
При этом для матрицы выигрышей выбирается действие, дающее наибольший ожидаемый выигрыш.
Для нашей задачи:
W
1 =
;
- (32+37+33)=34
W
2 =
;
- (31+26+28)=28,33
W
3 =
;
- (37+30+30)=32,33
W
4 =
;
- (27+32+42)=33,67
Так как дана матрица выигрышей, то выбираем проект с наибольшим значением прибыли — млрд. руб. Следовательно, наилучшим проектом автомобиля, согласно критерию Лапласа, является 1-ый.
2.
Критерий Вальда
Если в исходной матрице каждый элемент
Vij
представляет собой выигрыши, то при выборе оптимальной стратегии используют максиминный критерий Вальда:
(10)
Выберем оптимальную стратегию с помощью критерия Вальда. В нашем случае будет использоваться максиминный критерий:
min (32; 37; 33) =
min (31; 26; 28) =
min (37; 30; 30) =
min (27; 32; 42) =
W = max (32; 26; 30; 27) =32
В соответствии с критерием Вальда наилучшим проектом будет 1-ый.
3.
Критерий Севиджа
Критерий Севиджа используется только для матрицы рисков, поэтому нашу матрицу выигрышей необходимо пересчитать в матрицу рисков по формуле (11).
rij
=
max
{
Vij
} —
Vij
, (11)
где
rij
— элемент матрицы рисков;
Vij
— элемент матрицы выигрышей.
max (32; 31; 37; 27) =
max (37; 26; 30; 32) =
max (33; 28; 30; 42) =
Рассчитаем матрицу рисков:
|
5 |
0 |
9 |
|
6 |
||
|
0 |
7 |
|
|
5 |
0 |
В соответствии с критерием Севиджа к матрице рисков всегда применяют минимальный критерий.
max (5; 0; 9) = 9
max (6; 11; 14) =
max (0; 7; 12) =
max (10; 5; 0) =
min max (rij) = min (
9; 14; i>; 10)=9
Критерий Севиджа указывает, что оптимальным проектом будет 1-ый, он позволит избежать большого риска.
4.
Критерий Гурвица
Если исходной является матрица выигрышей, то значение данного критерия вычисляется по формуле:
, (12)
где
б
— коэффициент доверия.
Применим к условию задачи критерий Гурвица при
б
=0,5
и б
=0,8
(см. таблицу 11).
Таблица
