Имитационное моделирование экономических процессов

Курсовая работа

Имитационное моделирование (simulation) является одним из мощнейших методов анализа экономических систем.

В общем случае, под имитацией понимают процесс проведения на ЭВМ экспериментов с математическими моделями сложных систем реального мира.

Цели проведения подобных экспериментов могут быть самыми различными — от выявления свойств и закономерностей исследуемой системы, до решения конкретных практических задач. С развитием средств вычислительной техники и программного обеспечения, спектр применения имитации в сфере экономики существенно расширился. В настоящее время ее используют как для решения задач внутрифирменного управления, так и для моделирования управления на макроэкономическом уровне. Рассмотрим основные преимущества применения имитационного моделирования в процессе решения задач финансового анализа.

Как следует из определения, имитация — это компьютерный эксперимент. Единственное отличие подобного эксперимента от реального состоит в том, что он проводится с моделью системы, а не с самой системой. Однако проведение реальных экспериментов с экономическими системами, по крайней мере, неразумно, требует значительных затрат и вряд ли осуществимо на практике. Таким образом, имитация является единственным способом исследования систем без осуществления реальных экспериментов.

Часто практически невыполним или требует значительных затрат сбор необходимой информации для принятия решений. Например, при оценке риска инвестиционных проектов, как правило, используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т.д.

Однако чтобы адекватно оценить риск необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров проекта. В подобных случаях отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента (т. е. сгенерированными компьютером).

При решении многих задач финансового анализа используются модели, содержащие случайные величины, поведение которых не поддается управлению со стороны лиц, принимающих решения. Такие модели называют стохастическими. Применение имитации позволяет сделать выводы о возможных результатах, основанные на вероятностных распределениях случайных факторов (величин).

В общем случае, проведение имитационного эксперимента можно разбить на следующие этапы:

Ш Установить взаимосвязи между исходными и выходными показателями в виде математического уравнения или неравенства.

15 стр., 7175 слов

Методическая разработка по экономике «Решение задач по темам: ...

... , естественная безработица, циклическая безработица и фактическая занятость. Решение: Решение задачи может быть представлено в виде таблицы: Годы Экон. ... цен) - Каковы основные причины инфляции? (избыточный спрос, рост издержек производства и ) - Как измеряется интенсивность ... = изменение уровня цен 2009/ уровень цен 2008. Определим стоимость (СПК) по годам: СПК08 = 2*30 + 70*4 + 5*20 = 60+ 280 + ...

Ш Задать законы распределения вероятностей для ключевых параметров модели.

Ш Провести компьютерную имитацию значений ключевых параметров модели.

Ш Рассчитать основные характеристики распределений исходных и выходных показателей.

Ш Провести анализ полученных результатов и принять решение.

Результаты имитационного эксперимента могут быть дополнены статистическим анализом, а также использоваться для построения прогнозных моделей и сценариев.

1. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ФАКТОРА

Цель данного раздела — изучить основные числовые характеристики количественного фактора, получить точечные и интервальные оценки для факторов вес и окружность запястья.

Фактор «Окружность запястья» принимает следующие значения (Таблица 1.1).

Таблица 1.1 — Фактор «Окружность запястья»

Окружность запястья

15

18

17

16

17

16

17

16

17

16

17

18

17

17

17

16

16

18

19

17

18

18

14

20

18

18

17

16

17

18

19

16

16

19

18

18

15

20

16

16

16

16

18

18

17

17

17

17

17

17

17

17

16

16

16

19

16

17

16

17

18

18

15

18

17

16

17

17

15

18

16

19

19

19

С помощью инструмента анализа данных «Описательная статистика» вычисляются основные числовые характеристики фактора «Окружность запястья» (Таблица 1.2).

Таблица 1.2 — Основные числовые характеристики фактора «Окружность запястья»

Среднее

17,06849315

Стандартная ошибка

0,142451849

Медиана

17

Мода

17

Стандартное отклонение

1,217109133

Дисперсия выборки

1,481354642

Эксцесс

-0,066966556

Асимметричность

0,198488395

Интервал

6

Минимум

14

Максимум

20

Сумма

1246

Счет

74

Продолжение таблицы 1.2

Наибольший(2)

20

Наименьший(2)

15

Уровень надежности(95,0%)

0,283972571

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. В данной выборке среднее значение окружности запястья равно 17,06849315.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют степень рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше степень рассеивания случайной величины. Но глядя лишь на одно значение дисперсии, нельзя сказать, большое рассеивание данных относительно математического ожидания или нет. Ведь при вычислении значения дисперсии большое значение имеет, например, масштабирование данного фактора (можно измерять в тоннах или граммах), значение математического ожидания, минимальное и максимальное значение, которые может принимать фактор.

Мода определяет наиболее вероятное значение случайной величины. По данным выборки наиболее вероятная окружность запястья равна 17.

Медиана делит выборку на две равные по объему части, то есть вероятность того, что окружность запястья меньше, чем 17, равна 0,5.

Эксцесс — это характеристика островершинности кривой функции плотности распределения по сравнению с нормально распределенной случайной величиной с такими же значениями математического ожидания и дисперсии. По значению эксцесса можно судить о разбросе данных относительно математического ожидания. Если эксцесс положительный, то разброс данных меньше, чем у НРСВ; если отрицательный, то больше, чем у НРСВ. У фактора «Окружность запястья» эксцесс отрицательный, поэтому разброс значений больше, чем у НРСВ. Фактор «Вес» принимает значения, отраженные в таблице 1.3. С помощью инструмента анализа данных «Описательная статистика» вычисляются основные числовые характеристики фактора «Вес» (Таблица 1.4).

Таблица 1.3 — Фактор «Вес»

Вес

87

70

60

68

73

77

70

67

87

68

86

75

79

52

61

94

74

94

76

73

85

72

91

72

76

77

96

90

74

91

80

60

68

102

81

83

83

78

69

66

83

73

72

82

92

78

79

95

69

79

69

83

79

77

68

89

83

95

80

81

79

78

75

98

76

83

65

72

66

74

85

85

86

101

Таблица 1.4 — Основные числовые характеристики фактора «Вес»

Среднее

78,45205479

Стандартная ошибка

1,19598534

Медиана

78

Мода

83

Стандартное отклонение

10,21850323

Дисперсия выборки

104,4178082

Эксцесс

-0,065746418

Асимметричность

0,155871109

Интервал

50

Минимум

52

Максимум

102

Сумма

5727

Счет

74

Наибольший(2)

101

Наименьший(2)

60

Уровень надежности(95,0%)

2,384153202

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. В данной выборке среднее значение веса равно 78,45205479.

Дисперсия и среднеквадратическое отклонение характеризуют степень рассеивания случайной величины относительно ее математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше степень рассеивания случайной величины. Но глядя лишь на одно значение дисперсии, нельзя сказать, большое рассеивание данных относительно математического ожидания или нет. Ведь при вычислении значения дисперсии большое значение имеет, например, масштабирование данного фактора (можно измерять в тоннах или граммах), значение математического ожидания, минимальное и максимальное значение, которые может принимать фактор.

Мода определяет наиболее вероятное значение случайной величины. По данным выборки наиболее вероятный вес равен 83.

Медиана делит выборку на две равные по объему части, то есть вероятность того, что вес меньше, чем 78, равна 0,5.

Эксцесс — это характеристика островершинности кривой функции плотности распределения по сравнению с нормально распределенной случайной величиной с такими же значениями математического ожидания и дисперсии. По значению эксцесса можно судить о разбросе данных относительно математического ожидания. Если эксцесс положительный, то разброс данных меньше, чем у НРСВ; если отрицательный, то больше, чем у НРСВ. У фактора «Все» эксцесс отрицательный, поэтому разброс значений больше, чем у НРСВ.

Таким образом, были получены основные числовые характеристики для каждого из двух факторов. Они выражают наиболее существенные особенности закона распределения, которые были приведены выше.

2. ЧАСТОТА

Цель данного раздела — вычислить и проанализировать значения эмпирических (выборочных) и кумулятивных (интегральных) частот для факторов вес и окружность запястья.

Фактор «Вес» принимает значения, указанные в таблице 2.1.

Таблица 2.1 — Фактор «Вес»

Вес

87

70

60

68

73

77

70

67

87

68

86

75

79

52

61

94

74

94

76

73

85

72

91

72

76

77

96

90

74

91

80

60

68

102

81

83

83

78

69

66

83

73

72

82

92

78

79

95

69

79

69

83

79

77

68

89

83

95

80

81

79

78

75

98

76

83

65

72

66

74

85

85

86

101

Определяются эмпирическая и кумулятивная частоты (Таблица 2.2).

Эмпирическая частота — это число попаданий фактора в заданный интервал, а кумулятивная (интегральная) частота — это накопленная эмпирическая частота, деленная на общее число наблюдений.

Таблица 2.2 — Эмпирическая и кумулятивная частоты

Карманы

Частота

Интегральный, %

1

52

1

1,35%

2

62

3

5,41%

3

72

17

28,38%

4

82

27

64,86%

5

92

18

89,19%

6

102

8

100,00%

Всего

74

Для данной выборки строится гистограмма частот и полигон кумулятивных частот (Рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 — Гистограмма частот и полигон кумулятивных частот

Фактор «Окружность запястья» принимает значения, указанные в таблице 2.3.

Таблица 2.3 — Фактор «Окружность запястья»

Окружность запястья

15

18

17

16

17

16

17

16

17

16

17

18

17

17

17

16

16

18

19

17

18

18

14

20

18

18

17

16

17

18

19

16

16

19

18

18

15

20

16

16

16

16

18

18

17

17

17

17

17

17

17

17

16

16

16

19

16

17

16

17

18

18

15

18

17

16

17

17

15

18

16

19

19

19

Определяются эмпирическая и кумулятивная частоты (Таблица 2.4).

Таблица 2.4 — Эмпирическая и кумулятивная частоты

Карманы

Частота

Интегральный, %

1

14

1

1,35%

2

14,75

0

1,35%

3

15,5

4

6,76%

4

16,25

20

33,78%

5

17

24

66,22%

6

17,75

0

66,22%

7

18,5

16

87,84%

8

19,25

7

97,30%

9

20

2

100,00%

Всего

74

Для данной выборки строится гистограмма частот и полигон кумулятивных частот (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 — Гистограмма частот и полигон кумулятивных частот

Таким образом, на основе двух выборок было получено их статистическое распределение, то есть перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот (Таблицы 2.2 и 2.4).

Эмпирической функцией распределения называется функция , определяющая для каждого значения относительную кумулятивную частоту события , где частоты попадания в интервалы, лежащие левее , а — объем выборки. Например, для фактора «Вес» (Таблица 2.2) 64,82 % людей имеют вес менее 82 килограмм, и также видно, что большинство людей имею вес в интервале от 72 до 82 килограмм.

3. ПРОСТАЯ ГИПОТЕЗА

Цель данного раздела — исследовать статистическую гипотезу о равенстве математического ожидания конкретному числу.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах неизвестного распределения. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу , конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу , которая противоречит основной.

В зависимости от вида альтернативной гипотезы мы можем говорить о двусторонней, левосторонней или правосторонней альтернативных гипотезах.

Основная гипотеза: М(х) = 2000, двустороння альтернативная гипотеза: М(х) < > 2000, левосторонняя альтернативная гипотеза: М(х) < 2000, правосторонняя альтернативная гипотеза: М(х) > 2000.

Фактор «Год окончания школы» принимает значения, указанные в таблице 3.1.

Таблица 3.1 — Год окончания школы

Год окончания школы

2000

1999

2000

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

2000

2000

2000

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

2000

2000

1999

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

1999

1999

2000

2000

1999

1999

2000

1999

1999

1999

2000

1999

2000

1999

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

2000

2000

2000

1999

1999

2000

1999

1999

1999

1999

2000

1999

1999

2000

2000

1999

1999

2000

2000

1999

2000

Для проверки гипотезы о том, что значение математического ожидания равняется конкретному значению (: M(X) = 2000) для НРСВ, вычисляется t-статистика.

Прямой метод проверки гипотезы зависит от вида альтернативной гипотезы. В нашем случае возможны три вида альтернативных гипотез:

1. Двусторонняя гипотеза H1: M(X) ? b. Вычисляется значение критической точки t. Если t наблюдаемое по модулю больше критической точки t, то гипотезу отвергают.

2. Правосторонняя гипотеза H1: M(X) > b. Вычисляется значение критической точки t. Если t наблюдаемое больше критической точки t, то гипотезу отвергают.

3. Левосторонняя гипотеза H1: M(X) < b. Вычисляется значение критической точки t. Если t наблюдаемое меньше критической точки t, то гипотезу отвергают. При проверке гипотезы обратным методом вид альтернативной гипотезы не влияет на выводы об отвержении гипотезы. На основе наблюдаемого значения t и объема выборки находится значение вычисленного уровня значимости б. Если вычисленный уровень значимости меньше теоретического уровня значимости, то гипотезу отвергают.

Результаты исследования гипотезы приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2 — Проверка гипотезы

Проверка гипотезы

Уровень значимости

0,05

М(х)

2000

tнабл.

-10,06270662

Альтернативная гипотеза <>

tкр.

1,992997126

выч. уровень значимости

1,95135E-15

Выводы

Отвергаем

Выводы (обр.)

Отвергаем

Альтернативная гипотеза >

tкр.

1,665996224

Выводы

Нет основания отвергнуть

Альтернативная гипотеза <

tкр.

1,665996224

Выводы

Отвергаем

4. СЛОЖНАЯ ГИПОТЕЗА

Цель данного раздела — проверить гипотезу о том, что фактор «Рост» распределен по нормальному закону распределения.

На практике не всегда известны две гипотезы: основная и конкурирующая. Часто под конкурирующей гипотезой подразумевается то, что просто не выполнена основная гипотеза. Тогда задача ставится так: согласуются ли результаты наблюдений с выдвинутым утверждением.

С помощью оценок параметров функции распределения, а, следовательно, и оценки функции распределения, можно проверить гипотезы о том, насколько хорошо выборочные данные согласуются с теоретическими выводами о виде функции распределения.

Проверка гипотезы о том, что фактор «Рост» распределен по нормальному закону распределения, приведена на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 — Проверка гипотезы

5. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель данного раздела — изучить влияние качественного фактора на количественный фактор; исследовать две выборки на однородность.

Однофакторный дисперсионный анализ используется для проверки гипотезы о сходстве средних значений двух или более выборок, принадлежащих одной и той же генеральной совокупности. Данную процедуру можно применять для исследования влияния качественного фактора на количественный. Количественный фактор — размер ноги, качественный фактор — направление. Исследуется гипотеза о том, что влияние качественного фактора «Направление» на количественный фактор «Размер ноги» несущественно.

Фактор «Размер ноги» группируется по фактору «Направление» (Таблица 5.1).

Таблица 5.1 — Группировка по качественному фактору

Направление

Размер ноги

Ж. Д.

37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 46, 47

Ком.

40, 40, 41, 43, 45

Нет

37, 38, 38, 39, 39, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 44, 45, 45

В результате использования процедуры «Однофакторный дисперсионный анализ» можно сделать вывод о том, что направление не влияет на размер ноги, так как вычисленное значение статистики Фишера по модулю меньше критического значения статистики Фишера (Рисунок 5.1).

Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями реализует критерий проверки гипотезы о равенстве (неравенстве) математических ожиданий распределений двух независимых генеральных совокупностей, имеющих нормальные распределения с неизвестными и различными дисперсиями. Данную процедуру можно использовать для анализа двух выборок на однородность. Исследуется гипотеза о том, что выборки однородны.

Рисунок 5.1 — Однофакторный дисперсионный анализ

Разделим фактор «Год окончания школы» на две одинаковые выборки (Таблица 5.2).

Таблица 5.2 — Год окончания школы

Год окончания школы_1

Год окончания школы_2

2000

1999

2000

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

1999

2000

2000

2000

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

2000

2000

1999

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

1999

1999

2000

2000

1999

1999

2000

1999

1999

1999

2000

1999

2000

1999

2000

2000

2000

1999

1999

1999

1999

2000

2000

2000

1999

1999

2000

1999

1999

1999

1999

2000

1999

1999

2000

2000

1999

1999

2000

2000

В результате использования процедур «Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями» и «Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями» можно сделать вывод о том, что данные выборки однородны, и их можно объединить в одну для получения статистически значимых результатов.

6. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель данного раздела — произвести количественную оценку влияния одного количественного фактора на другой количественный фактор.

Для анализа используется процедура «Корреляция». После вызова данной процедуры получается матрицу корреляций (Таблица 6.1), которая является симметричной матрицей, поэтому отображаются значения ниже главной диагонали.

Таблица 6.1 — Матрица корреляций

Год окончания школы.

Математика.

Физика

Литература

Рост

Окружность запястья

Размер ноги

Вес

Год окончания школы

1

Математика

-0,13808

1

Физика

0,026328

-0,084459

1

Литература

-0,11529

0,501661

-0,289467

1

Рост

0,047558

0,2481742

-0,050003

0,072068858

1

Окружность запястья

0,066283

0,1532910

-0,14246

-0,022892

0,726489

1

Размер ноги

0,08249

0,2762417

-0,03995

0,108558

0,929858

0,650806

1

Вес

0,08222

0,2732739

-0,06909

0,121046

0,965425

0,713697

0,8920

1

Для проверки гипотезы о незначимости коэффициента корреляции с уровнем значимости a = 0,05, необходимо найти минимальный объем выборки n по всем количественным факторам. Находится значение р с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР(a, n-2 ) (Таблица 6.2).

Таблица 6.2 — Вычисление р

уровень значимости

0,05

минимальный объем выборки

74

t кр

1,993463567

Найдем абсолютные значения критериальной статистики для каждого значения коэффициента корреляции, кроме значений, равных единице. Получаем матрицу значений tнабл (Таблица 6.3).

Таблица 6.3 — Матрицу значений tнабл

Год окончания школы.

Математика.

Физика

Литература

Рост

Окружность запястья

Размер ноги

Год окончания школы.

Математика.

1,183057315

Физика

0,223482503

0,719231599

Литература

0,984902964

4,920726295

2,56607432

Рост

0,40400025

2,173836159

0,424821324

0,61311886

Окружность запястья

0,563669722

1,316274743

1,221279856

0,194300412

8,970714748

Размер ноги

0,702418679

2,438890903

0,339309467

0,92662419

21,44534693

7,27338357

Вес

0,700108842

2,410561173

0,587659529

1,034725035

31,42547179

8,64570476

16,74824

Сравнивая значения t набл и t кр можно сделать вывод о значимости коэффициента корреляции с помощью прямого метода проверки гипотез. Если tнабл > tкр , то гипотезу о незначимости коэффициента корреляции отвергают.

Для проверки гипотезы с помощью обратного метода вычисляется значения вычисленных уровней значимости с помощью функции СТЬЮДРАСП(tнабл; n — 2; 2) Если вычисленный уровень значимости меньше 0.05, то гипотезу о незначимости коэффициента корреляции отвергают. Получается матрица вычисленных уровней значимости (Таблица 6.4).

Таблица 6.4 — Матрица вычисленных уровней значимости

Год окончания школы.

Математика.

Физика

Литература

Рост

Окружность запястья

Размер ноги

Вес

Год окончания школы.

Математика.

0,240678184

Физика

0,823792873

0,474326221

Литература

0,327969929

5,28218E-06

0,01236661

Рост

0,687410029

0,033006333

0,672233804

0,541729725

Окружность запястья

0,574730391

0,192256926

0,225964088

0,846487842

2,368E-13

Размер ноги

0,484682863

0,017199068

0,735364324

0,357217405

5,45054E-33

3,45234E-10

Вес

0,48611542

0,018482789

0,558599455

0,304260271

8,83214E-44

9,55247E-13

1,53E-26

7. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель данного раздела — исследовать влияние количественных факторов на выходной количественный фактор и подобрать график для набора наблюдений.

Линейный регрессионный анализ заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных.

После вызова процедуры «Регрессия» получаются следующие результаты (Рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 — Результаты

Проанализировать регрессионную модель можно с помощью встроенной блочной функции ЛИНЕЙН(Y, X, p1, p2), где параметр p1 = 1, если в модели учитывается свободный член и равен нулю, если не учитывается; параметр p2 = 1, если необходимо вычислить дополнительную статистику регрессии, и ноль, если нужно вычислить лишь коэффициенты регрессии (Таблица 7.1).

Таблица 7.1 — Результаты работы функции «Линейн»

К-т регрессии

4,027362462

-88,40470315

Св. член

Ошибка для b

0,240464854

9,984125401

Ошибка для a

К-т детерминации

0,795746684

4,640276263

Станд. Остаток

Ст-ка Фишера

280,5034564

72

Число степеней свободы

Сумма квадратов отклонения регрессии

6039,846369

1550,315793

Сумма квадратов отклонения остаточная

Зная значение статистики Фишера, можно обратным методом проверки гипотез сделать вывод о значимости регрессии (гипотеза — регрессия незначима).

Для этого надо найти вычисленный уровень значимости. Вычисленный уровень значимости равен 1,53452E-26, это меньше 0.05, поэтому гипотеза о незначимости регрессии отвергается.

Выводы об отвержении гипотезы можно сделать прямым методом, найдя значение Fкр. В данном случае Fкр = 3.97, это меньше значения статистики Фишера, поэтому гипотеза о незначимости регрессии также отвергается. Многофакторный регрессионный анализ проводится аналогично, только исследуется влияние нескольких количественных факторов на выходной количественный фактор (Рисунок 7.2).

Рисунок 7.2 — Результаты многофакторного анализа

После анализа модели необходимо выбросить все незначимые факторы (у которых Р-значение больше 0.05) и построить модель вновь. Получаются следующие результаты (Рисунок 7.3).

Рисунок 7.3 — Результаты многофакторного анализа без незначимых факторов

Модель без незначимых факторов лучше модели с теми же факторами, так в первом случае стандартизированный коэффициент детерминации больше, чем во втором.

8. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель данного раздела — исследовать, какая модель лучше описывает выборочные данные.

Для анализа строятся следующие модели: линейная (Таблица 8.1), показательная (Таблица 8.2), кубическая (Таблица 8.3), равносторонняя гипербола (Таблица 8.4) и степенная (Таблица 8.5).

Таблица 8.1 — Линейная модель

y = a + b*x

b — к-т регрессии

0,0846

10,42

a — св. член

ст. откл. b

0,0098

0,7752

ст. откл а

к-т детерм.

0,5094

0,8525

ст. остаток

F

74,748

72

df

SS регр.

54,33

52,332

SS ост.

Обратный

P

1E-12

Отвергаем

Прямой

F

3,9739

Отвергаем

Таблица 8.2 — Показательная модель

y = a*b^X

b — к-т регрессии

1,004918

11,57961

a — св. член

ст. откл. b

0,000578

0,045803

ст. откл а

к-т детерм.

0,500001

0,050373

ст. остаток

F

72,00036

72

df

SS регр.

0,182699

0,182698

SS ост.

Обратный

P

1,9E-12

Отвергаем

Прямой

F

3,973897

Отвергаем

Таблица 8.3 — Кубическая модель

y = a + b*x^3

b — к-т регрессии

4E-06

14,791

a — св. член

ст. откл. b

5E-07

0,2687

ст. откл а

к-т детерм.

0,5337

0,8311

ст. остаток

F

82,415

72

Df

SS регр.

56,928

49,734

SS ост.

Обратный

P

1E-13

Отвергаем

Прямой

F

3,9739

Отвергаем

Таблица 8.4 — Равносторонняя гипербола

y = a + b*1/x

b — к-т регрессии

-465,67

23,096

a — св. член

ст. откл. b

60,753

0,7935

ст. откл а

к-т детерм.

0,4493

0,9032

ст. остаток

F

58,751

72

df

SS регр.

47,927

58,735

SS ост.

Обратный

P

6E-11

Отвергаем

Прямой

F

3,9739

Отвергаем

Таблица 8.5 — Степенная модель

y = a*x^b

b — к-т регрессии

0,371941

0,527542

a — св. член

ст. откл. b

0,045868

0,086803

ст. откл а

к-т детерм.

0,477327

0,022367

ст. остаток

F

65,75352

72

df

SS регр.

0,032896

0,036022

SS ост.

Обратный

P

9,6E-12

Отвергаем

Прямой

F

3,973897

Отвергаем

По данным построенным моделям можно сделать вывод о том, что регрессия значима для каждой из моделей, и лучшей моделью является кубическая, так как она имеет самый высокий коэффициент детерминации.

Далее необходимо построить график, на котором отобразить выборочные данные и прогнозные значения (Рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 — График выборочных и прогнозных данных

У равносторонней гиперболы оценивается ошибка аппроксимации (таблица 8.6).

Таблица 8.6 — Ошибка аппроксимации

Окружность запястья

Вес

Равносторонняя гипербола

Ошибка аппроксимации равносторонней гиперболы

14

61

15,46252435

0,104466025

15

66

16,04084688

0,069389792

15

68

16,24836261

0,083224174

15

68

16,24836261

0,083224174

15

76

16,96920673

0,131280449

19

101

18,4858342

0,027061358

20

94

18,14249556

0,092875222

20

102

18,53103565

0,073448217

Всего

3,327688413

Ошибка аппроксимации

4,50%

Ошибка аппроксимации меньше 10%, поэтому данная модель удовлетворительного качества.

Также необходимо оценить качество линейной и кубической модели по частным коэффициентам эластичности (Таблица 8.7).

Чем больше значение коэффициента эластичности, тем больше влияние X на Y.

Таблица 8.7 — Коэффициент эластичности

к-т эластичности

Линейная

Кубическая

0,38946222

0,254005393

9. МАТРИЦА СОПРЯЖЕННОСТИ

Цель данного раздела — исследовать влияние качественного фактора «Математика» на качественный фактор «Физика».

Создадим таблицу сопряженности с двумя входами с использованием функции «СЧЕТЕСЛИ» или сводной таблицы (Таблица 9.1).

Таблица 9.1 — Матрица сопряженности

Математика

Физика

Всего

3

4

5

2

3

0

0

3

3

5

0

0

5

4

0

20

32

52

5

14

0

0

14

Всего

22

20

32

74

Для проверки гипотезы о независимости случайных величин X и Y вычисляется критериальная статистика. Для вычисления t -статистики сначала получаем таблицу слагаемых (Таблица 9.2).

Таблица 9.2 — Таблица для расчета критериальной статистики

Математика

Физика

3

4

5

2

0,136364

0

0

3

0,227273

0

0

4

0

0,384615

0,615385

5

0,636364

0

0

Затем вычисляем t -статистику. Эта статистика приближенно имеет распределение ?2 со степенью свободы, равной (r -1)(s -1), и равна 74. В рассматриваемом примере r = 4 (количество строк), s = 3 (количество столбцов).

Для проверки гипотезы о незначимости влияния одного качественного фактора на другой найдем критическое значение с использованием статистической функции ?ХИ2ОБР? с уровнем значимости 0,05 и со степенью свободы ( r -1)(s -1).

В данном случае получается значение 12,59. Делаем выводы прямым методом проверки гипотез о влиянии одного качественного фактора на другой.

10. АНАЛИЗ ТРЕНДА ВРЕМЕННОГО РЯДА

Цель данного раздела — проанализировать тренд временного ряда (Таблица 10.1).

Таблица 10.1 — Тренд временного ряда

t

y

скользящее среднее

стандартная погрешность

экспоненциальное сглаживание

Ст. погрешность

1

160,4311755

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

2

158,4629085

158,4089754

#Н/Д

158,4629085

#Н/Д

3

158,3550424

159,3945789

0,736051956

158,3766156

#Н/Д

4

160,4341155

159,8968224

0,827441858

160,0226155

#Н/Д

5

159,3595293

158,9374442

0,483135444

159,4921465

1,249616476

6

158,515359

159,387112

0,684875554

158,7107165

1,369562304

7

160,2588649

160,100174

0,626552473

159,9492353

1,124064139

8

159,9414831

160,5954769

0,475862717

159,9430335

1,056872326

9

161,2494706

160,7836377

0,567762357

160,9881832

1,169558528

10

160,3178047

160,3692548

0,331396632

160,4518804

0,847790328

11

160,420705

160,6709536

0,180653644

160,4269401

0,847969562

12

160,9212022

159,9168369

0,731906374

160,8223497

0,48120483

13

158,9124717

159,4212669

0,796122504

159,2944473

1,139137257

14

159,9300621

159,4085147

0,515210793

159,8029392

1,19665302

15

158,8869672

158,8549939

0,369482102

159,0701616

1,276798725

16

158,8230206

160,0217324

0,847918668

158,8724488

0,659315171

17

161,2204441

161,6829119

0,908511511

160,7508451

1,46209498

18

162,1453798

160,6794551

1,086924953

161,8664728

1,583128506

19

159,2135304

159,3303658

1,039852328

159,7441189

2,19817444

20

159,4472012

159,4505373

0,082648773

159,5065847

1,738868485

21

159,4538734

159,7333816

0,197656211

159,4644157

1,541540599

22

160,0128898

158,9866103

0,752121815

159,903195

0,361368905

23

157,9603308

158,2692839

0,757859363

158,3489036

1,165950769

24

158,578237

159,1680141

0,470791426

158,5323703

1,173049996

25

159,7577913

159,8888217

0,427203745

159,5127071

1,332788023

26

160,019852

160,2991175

0,21812628

159,918423

0,777055642

27

160,5783829

160,5568978

0,198054045

160,4463909

0,85525819

28

160,5354127

160,7929805

0,182760447

160,5176084

0,483276274

29

161,0505482

161,0505482

0,182127912

160,9439603

0,492441828

Построим графики прогнозных и фактических значений для скользящего среднего и экспоненциального сглаживания (Рисунок 10.1 и 10.2).

Рисунок 10.1 — Скользящее среднее

Рисунок 10.2 — Экспоненциальное сглаживание

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной работы были изучены и отработаны навыки математического моделирования стохастических процессов с помощью методов аналитической статистики, таких как:

— Дисперсионный анализ, который применялся для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных (факторов) на одну зависимую количественную переменную (отклик);

— Анализ временных рядов был применим к одиночным или связанным временным рядам и позволяет выделять различные формы периодичности и взаимовлияния временных процессов, а также осуществлять прогнозирование будущего поведения временного ряда.

— Регрессионные процедуры позволили рассчитать модель, описываемую некоторым уравнением и отражающую функциональную зависимость между экспериментальными количественными переменными, а также проверяют гипотезу об адекватности модели экспериментальным данным. По полученным результатам можно оценить природу и степень зависимости переменных и предсказать новые значения зависимой переменной.

— Корреляционный анализ — это группа статистических методов, направленная на выявление и математическое представление структурных зависимостей между выборками.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Усова Э.А., Котюков В.И. Моделирование систем. Учеб. пособие. — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2008. — 124 с. (51 У76)

2. Моделирование систем. Метод. указ. к лабораторным работам / Сост. В.И. Котюков, Э.А. Усова. — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2007. — 38 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. школа, 2012.

4. Математическая статистика/ Под ред. А.М. Длина. М.: Высш. школа

5. Айвазян С.А., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. М.: Финансы и статистика, 1985.

6. Экономико-математические модели и методы: Учеб. пособие для студ. экон. спец. БГУИР всех форм обуч. / С.А. Поттосина, В.А. Журавлев. Мн.: БГУИР, 2003. — 94 с.: ил.

7. Котюков В.И. Численные методы многофакторного статистического анализа данных на ЭВМ (в задачах транспорта и строительства).

Учеб. пособие. Новосибирск, 2012.

8. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. Получисленные алгоритмы. т. 2. М.: Мир, 1977, С. 22-51 , С. 356-370, С. 476-478.

9. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2014, 192 с.

10. Получение на ЭВМ равномерно распределенных псевдослучайных чисел. Метод. Указ. К лабораторной работе. Уфа, Изд-во Уфимского государственного авиационного технического университета.

11. Интернет университет. Информационные технологии. Курс «Введение в математическое моделирование». / Под ред. Ю.В. Губаря. — http://www.intuit.ru.