«САМЫЙ БОЛЬШОЙ БАНК ОВ»

Реферат

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х — независимая переменная или аргумент.

Переменная у — зависимая переменная

Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)

Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Линейная функция.

1. Область определения квадратичной функции — вся числовая прямая.

2. При b 0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция — четная.

3. Рис. 4 Рис. 5

4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.

5. Функция имеет единственную критическую точку

6.

a. Если а <0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.

x=-b/(2a)

7. Область изменения функции: при a >0 — множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +) ; при a <0 — множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)] .

8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c . В случае, если b2-4ac>0 , график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a) ; если b2-4ac<0 , пересечения с осью 0x нет.

4 стр., 1547 слов

Реферат: Функции нескольких переменных

... функции в точке : 6. Условный экстремум В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Пусть – функция двух переменных, ...

x=-b/(2a)

b. График функции

9.

10. (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:

r=(-b/(2a); 0)

б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;

  • r=(0; -((b2-4ac)/(4a)))

Степенная функция.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

  • а).

    Если , то . Тогда , ;

  • если число — чётное, то и функция — чётная (то есть при всех );
  • если число — нечётное, то и функция — нечётная (то есть при всех ).

График степенной функции при

б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если — чётное число, то и — чётная функция; если — нечётное число, то и — нечётная функция.

График степенной функции при

Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).

в).

Если — не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .

График степенной функции при

При , по определению, ; тогда .

График степенной функции при

Область определения степенной функции — множество всех положительных чисел.

Область значения степенной функции — множество всех положительных чисел.

Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.

Степенная функция непрерывна во всей области определения.

Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле

(x)= .x-1.

Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.

0 1 x 0 1 x

При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 — вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).

Это функция вида (, ).

Для неё , , , и при график имеет такой вид:

  • График показательной функции при

При вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

основанием

Область значения функции — множество всех положительных чисел.

Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле

( a x) =a xlna

При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.

Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.

График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.

График показательной функции — кривая, направленная вогнутостью вверх.

42 стр., 20926 слов

Дипломная работа: Анализ деятельности предприятия ООО «Квант» на основе ...

... функции и экономический анализ 4.2 Комплекснозначные производственные функции предприятия ООО «Квант» 4.3 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «КВАНТ» с помощью производственных функций ... на примере производственных функций. 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.1 Основы теории производственных функций Существует много определений производственных функций (ПФ) [19, ...

Логарифмическа

Это функция вида (, ).

Для неё , , , и при график имеет такой вид:

График логарифмической функции при

При график получается такой:

График логарифмической функции при

основанием

Область значения логарифмической функции — вся числовая прчмая.

Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле

(loga x) = 1/(x ln a).

Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.

При любом основании a >0, a 1, имеют место равенства

loga 1 = 0, loga a =1.

При а >1 график логарифмической функции — кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 — кривая, направленная вогнутостью вверх.

тригонометрические функции

sin , cos , tg , ctg

Функция синус

  • Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:

График функции

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.

Область определения — множество всех действительных чисел.

Область значения — промежуток [-1; 1].

Функция sin х — нечетная: sin (-х)=- sin х.

Функция sin х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

sin (х+2)= sin х.

Нули функции: sin х=0 при x= n, n Z .

Промежутки знакопостоянства:

  • sin х>0 при x (2 n ;
  • +2n ), n Z ,

sin х<0 при x (+2 n ; 2+2n ), n Z .

Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:

(sin х) =cos x.

Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2 n; (/2)+2n ), n Z ,

и убывает при x ((/2)+2 n ; ((3)/2)+ 2n ), n Z .

Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2 n , n Z , и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n , n Z .

Функция косинус

  • Эта функция связана с синусом формулой приведения: ;
  • ;
  • период функции равен ;
  • функция чётна. Её график таков:

График функции Область определения — множество всех действительных чисел.

Область значения — промежуток [-1; 1].

Функция cos х — четная: cos (-х)=cos х.

Функция cos х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:

cos (х+2)= cos х.

Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2 n, n Z .

Промежутки знакопостоянства:

18 стр., 8971 слов

Реферат: Сущность, функции и роль денег в экономике

... доходов. Но этот анализ не принимает в расчет роль денег в экономике, в то время как реально изменение количества денег в обращении приводит, как правило, к ... денег, их функции и роль в экономике – значит исследовать развитие торговли, обмена, возникновение того этапа развития человеческой цивилизации, который Ф. Хайек назвал «расширенным порядком человеческого сотрудничества». Реально в экономике ...

  • cos х>0 при x ((-/2)+2 n; (/2)+2n )), n Z ,

cos х<0 при x ((/2)+2 n ); ((3)/2)+ 2n )), n Z .

Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:

(cos х) =-sin x.

Функция cos х возрастает при x (-+2 n; 2n ), n Z ,

и убывает при x (2 n ; + 2n ), n Z .

Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2 n , n Z , и максимальные

Функция тангенс

(в англоязычной литературе обозначается также ).

По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;

  • то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+ n , n Z .

Область значения — множество всех действительных чисел.

Функция tg х — нечетная: tg (-х)=- tg х.

Функция tg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

tg (х+)= tg х.

Нули функции: tg х=0 при x= n, n Z .

Промежутки знакопостоянства:

  • tg х>0 при x ( n ;
  • (/2)+n ), n Z ,

tg х<0 при x ((-/2)+ n ; n ), n Z .

Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(tg х) =1/cos2 x.

Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-/2)+ n; (/2)+n ), n Z ,

Функция котангенс

(в англоязычной литературе также ).

По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;

  • то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.

График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х= n , n Z .

Область значения — множество всех действительных чисел.

Функция сtg х — нечетная: сtg (-х)=- сtg х.

Функция сtg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :

сtg (х+)= ctg х.

Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+ n, n Z .

Промежутки знакопостоянства:

  • ctg х>0 при x ( n ;
  • (/2)+n ), n Z ,

ctg х<0 при x ((/2)+ n ; (n +1)), n Z .

Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:

(ctg х) =-(1/sin2 x).

Функция ctg х убывает в каждом из промежутков ( n; (n +1)), n Z .

Обратные тригонометрические функции.

главным ветвям

Arcsin x

1. Область определения — [-1; 1].

2. Область значений — [-П\2; п\2].

3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)

Графики главной ветви и

Arctg x

1. Область определений — R.

15 стр., 7362 слов

Реферат: Экономика и экономическая теория : Прогнозирование развития образования ...

... задачи инновационного развития образования Новосибирской области 2.3 Обеспечение доступности и качества образования Право на образование является конституционной гарантией для каждого гражданина.Для достижения доступности и качества образования в Новосибирской области в ходе его инновационного развития необходимо решение ...

2. Область значений — интервал (-П\2; П\2).

3. Монотонно возрастающая функция.

4. прямые у=-П\2 и у=П\2 — горизонтальные асимптоты.(рис. 13)

Графики главной ветви и

Список использованной литературы

Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.

А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.