введение
К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.
Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х — независимая переменная или аргумент.
Переменная у — зависимая переменная
Значение функции — значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной — если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция — если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
Линейная функция.
1. Область определения квадратичной функции — вся числовая прямая.
2. При b 0 функция не является четной и не является нечетной. При b =0 квадратичная функция — четная.
3. Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5. Функция имеет единственную критическую точку
6.
a. Если а <0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
x=-b/(2a)
7. Область изменения функции: при a >0 — множество значений функции [-((b2-4ac)/4a); +) ; при a <0 — множество значений функции (-;-((b2-4ac)/4a)] .
8. График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c . В случае, если b2-4ac>0 , график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a) ; если b2-4ac<0 , пересечения с осью 0x нет.
Функции нескольких переменных
... функции в точке : 6. Условный экстремум В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. Пусть – функция двух переменных, ...
x=-b/(2a)
b. График функции
9.
10. (или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x2 следующими преобразованиями:
r=(-b/(2a); 0)
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
- r=(0; -((b2-4ac)/(4a)))
Степенная функция.
Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:
- а).
Если , то . Тогда , ;
- если число — чётное, то и функция — чётная (то есть при всех );
- если число — нечётное, то и функция — нечётная (то есть при всех ).
График степенной функции при
б) Если , , то . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для : если — чётное число, то и — чётная функция; если — нечётное число, то и — нечётная функция.
График степенной функции при
Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).
в).
Если — не целое число, то, по определению, при : ; тогда , .
График степенной функции при
При , по определению, ; тогда .
График степенной функции при
Область определения степенной функции — множество всех положительных чисел.
Область значения степенной функции — множество всех положительных чисел.
Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
Степенная функция непрерывна во всей области определения.
Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(x)= .x-1.
Степенная функция x монотонно возрастает во всей области определения при <0.
0 1 x 0 1 x
При <0 и >1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<<1 — вогнутостью вниз.
Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (, ).
Для неё , , , и при график имеет такой вид:
- График показательной функции при
При вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
основанием
Область значения функции — множество всех положительных чисел.
Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
( a x) =a xlna
При а >1 функция монотонно возрастает, при а <1 монотонно убывает.
Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
График любой показательной функции пересекает ось 0y в точке y =1.
Анализ деятельности предприятия ООО «Квант» на основе ...
... функции и экономический анализ 4.2 Комплекснозначные производственные функции предприятия ООО «Квант» 4.3 Прогнозирование и анализ деятельности предприятия ООО «КВАНТ» с помощью производственных функций ... на примере производственных функций. 1. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1.1 Основы теории производственных функций Существует много определений производственных функций (ПФ) [19, ...
График показательной функции — кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическа
Это функция вида (, ).
Для неё , , , и при график имеет такой вид:
График логарифмической функции при
При график получается такой:
График логарифмической функции при
основанием
Область значения логарифмической функции — вся числовая прчмая.
Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(loga x) = 1/(x ln a).
Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а >1. При 0<a <1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
При любом основании a >0, a 1, имеют место равенства
loga 1 = 0, loga a =1.
При а >1 график логарифмической функции — кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a <1 — кривая, направленная вогнутостью вверх.
тригонометрические функции
sin , cos , tg , ctg
Функция синус
- Для неё ; функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:
График функции
Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
Область определения — множество всех действительных чисел.
Область значения — промежуток [-1; 1].
Функция sin х — нечетная: sin (-х)=- sin х.
Функция sin х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:
sin (х+2)= sin х.
Нули функции: sin х=0 при x= n, n Z .
Промежутки знакопостоянства:
- sin х>0 при x (2 n ;
- +2n ), n Z ,
sin х<0 при x (+2 n ; 2+2n ), n Z .
Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х) =cos x.
Функция sin х возрастает при x ((-/2)+2 n; (/2)+2n ), n Z ,
и убывает при x ((/2)+2 n ; ((3)/2)+ 2n ), n Z .
Функция sin х имеет минимальные значения, равные -1, при х=(-/2)+2 n , n Z , и максимальные значения, равные 1, при х=(/2)+2n , n Z .
Функция косинус
- Эта функция связана с синусом формулой приведения: ;
- ;
- период функции равен ;
- функция чётна. Её график таков:
График функции Область определения — множество всех действительных чисел.
Область значения — промежуток [-1; 1].
Функция cos х — четная: cos (-х)=cos х.
Функция cos х — периодическая. Наименьший положительный период равен 2:
cos (х+2)= cos х.
Нули функции: cos х=0 при x=(/2)+2 n, n Z .
Промежутки знакопостоянства:
Сущность, функции и роль денег в экономике
... доходов. Но этот анализ не принимает в расчет роль денег в экономике, в то время как реально изменение количества денег в обращении приводит, как правило, к ... денег, их функции и роль в экономике – значит исследовать развитие торговли, обмена, возникновение того этапа развития человеческой цивилизации, который Ф. Хайек назвал «расширенным порядком человеческого сотрудничества». Реально в экономике ...
- cos х>0 при x ((-/2)+2 n; (/2)+2n )), n Z ,
cos х<0 при x ((/2)+2 n ); ((3)/2)+ 2n )), n Z .
Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х) =-sin x.
Функция cos х возрастает при x (-+2 n; 2n ), n Z ,
и убывает при x (2 n ; + 2n ), n Z .
Функция cos х имеет минимальные значения, равные -1, при х=+2 n , n Z , и максимальные
Функция тангенс
(в англоязычной литературе обозначается также ).
По определению, . Функция нечётна и периодична с периодом ;
- то есть не может принимать значений , , при которых (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме числа х=/2+ n , n Z .
Область значения — множество всех действительных чисел.
Функция tg х — нечетная: tg (-х)=- tg х.
Функция tg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :
tg (х+)= tg х.
Нули функции: tg х=0 при x= n, n Z .
Промежутки знакопостоянства:
- tg х>0 при x ( n ;
- (/2)+n ), n Z ,
tg х<0 при x ((-/2)+ n ; n ), n Z .
Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х) =1/cos2 x.
Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-/2)+ n; (/2)+n ), n Z ,
Функция котангенс
(в англоязычной литературе также ).
По определению, . Если ( ), то . Функция нечётна и периодична с периодом ;
- то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.
График функции Область определения функции — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х= n , n Z .
Область значения — множество всех действительных чисел.
Функция сtg х — нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
Функция сtg х — периодическая. Наименьший положительный период функции равен :
сtg (х+)= ctg х.
Нули функции: ctg х=0 при x=(/2)+ n, n Z .
Промежутки знакопостоянства:
- ctg х>0 при x ( n ;
- (/2)+n ), n Z ,
ctg х<0 при x ((/2)+ n ; (n +1)), n Z .
Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х) =-(1/sin2 x).
Функция ctg х убывает в каждом из промежутков ( n; (n +1)), n Z .
Обратные тригонометрические функции.
главным ветвям
Arcsin x
1. Область определения — [-1; 1].
2. Область значений — [-П\2; п\2].
3. Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)
Графики главной ветви и
Arctg x
1. Область определений — R.
Экономика и экономическая теория : Прогнозирование развития образования ...
... конкурентоспособному и устойчивому социально-экономическому развитию Новосибирской области;отвечают тенденциям развития современной России как ведущего участника глобальных отношений в мире.Инновационное развитие образования Новосибирской области опирается на предложенные Федеральной целевой программой направления развития образования на 2006-2010 ...
2. Область значений — интервал (-П\2; П\2).
3. Монотонно возрастающая функция.
4. прямые у=-П\2 и у=П\2 — горизонтальные асимптоты.(рис. 13)
Графики главной ветви и
Список использованной литературы
Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.
