Интеграл и его практическое применение. применение интеграла

Курсовая работа

Тема исследования

Применение интегрального исчисления в планировании расходов семьи

Актуальность проблемы

Все чаще в социальных и экономических сферах при вычислении степени неравенства в распределении доходов используется математика, а именно, интегральное исчисление. Изучая практическое применение интеграла мы узнаем:

  • Как интеграл и вычисление площади с помощью интеграла помогает в распределении материальных затрат?
  • Как интеграл поможет в накоплении денег на отпуск.

Цель

спланировать расходы семьи с использованием интегрального вычисления

Задачи

  • Изучить геометрический смысл интеграла.
  • Рассмотреть методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
  • Составить прогноз материальных затрат семьи при ремонте квартиры с использованием интеграла.
  • Рассчитать объем потребления энергии семьи на год с учетом интегрального исчисления.
  • Расчитать сумму накопительного вклада в Сбербанк на отпуск.

Гипотеза

интегральное исчисление помогает в экономичных расчетах при планировании доходов и расходов семьи.

Этапы исследования

  • Изучили геометрический смысл интеграла и методы интегрирования в социальной и экономической сферах жизни.
  • Произвели расчет материальных затрат, необходимых при ремонте квартиры с помощью интеграла.
  • Расчитали объем потребления электроэнегрии в квартире и затраты на электроэнергию семьи на год.
  • Рассмотрели один из вариантов полонения доходов семьи через вклады в Сбербанк с помощью интеграла.

Объект исследования

инегральное исчисление в социальной и экономических сферах жизни.

Методы

  • Анализ литературы по теме «Практическое применение интгрального исчисления»
  • Изучение методов интегрирования при решении задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
  • Анализ расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления.

Ход работы

  • Обзор литературы по теме «Практическое применение интегрального исчисления»
  • Решение системы задач на вычисление площадей и объемов фигур с помощью интеграла.
  • Расчет расходов и доходов семьи с помощью интегрального вычисления: ремонт комнаты, объем электроэнергии, вклады в Сбербанк на отпуск.

Наши результаты

Как интеграл и вычисление объема с помощью интеграла помогает в прогнозировании объемов потребления электроэнергии?

25 стр., 12251 слов

Особенности социально- экономических проблем и трудностей студенческой семьи

... семья» и «молодая семья»; определить особенности социально- экономических проблем и трудностей студенческой семьи; ... «Молодая семья – это особая малая социальная группа, имеющая особый как интегральной, целостной ... помощь родителей супругов). Семья может быть и открытой, и закрытой для микроокружения. Тип лидерства – демократический: совместный или раздельный по сферам жизнедеятельности семьи. ...

Выводы

  • Экономический расчет необходимых средств при ремонте квартиры можно быстрее и более точно выполнить с помощью интегрального вычисления.
  • Расход объемов электроэнергии семьи легче и быстрее рассчитать с помощью интегрального вычисления и программы Microsoft Office Excel, а значит прогнозировать затраты семьи на оплату электроэнергии на год.
  • Прибыль от вкладов в сбербанк можно рассчитать с помощью интегрального вычисления, значит спланировать отпуск семьи.

Список ресурсов , Печатные издания:

  • Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А.Г. Мордкович. Мнемозина. М: 2007
  • Учебник. Алгебра и начала анализа 10-11 класс. А. Колмогоров Просвещение. М: 2007
  • Математика для социологов и экономистов. Ахтямов А.М. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 464 с.
  • Интегральное вычисление.Справочник по Высшей Математике М. Я. Выгодского, Просвещение, 2000

Иванов Сергей, студент гр.14-ЭОП-33Д

Работа может быть использована на обобщающем уроке по темам «Производная», «Интеграл».

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

ГБПОУ КНТ им. Б. И. Корнилова Исследовательская работа по теме: « применение Производных и интегралов в физике, математике и электротехнике.» Студента гр. 2014-эоп-33д иванова сергея.

1 .История появления производной. В конце 17 века великий английский учёный Исаак Ньютон доказал что Путь и скорость связаны между собой формулой: V (t)= S ’(t) и такая связь существует между количественными характеристиками самых различных процессов исследуемых: физикой, (a = V ’= x ’’ , F = ma = m * x ’’ , импульс P = mV = mx ’ , кинетическая E = mV 2 /2= mx ’ 2 /2), химией, биологией, и техническими науками. Это открытие Ньютона стало поворотным пунктом в истории естествознания.

1 .История появления производной. Честь открытия основных законов математического анализа наравне с Ньютоном принадлежит немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу. К этим законам Лейбниц пришел, решая задачу проведения касательной к произвольной кривой, т.е. сформулировал геометрический смысл производной, что значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной или tg угла наклона касательной с положительным направлением оси О X . Термин производная и современные обозначения y ’ , f ’ ввёл Ж.Лагранж в 1797г.

2 .История появления интеграла. Понятие интеграла и интегральное исчисление возникли из потребности вычислять площади (квадратуру) любых фигур и объёмы (кубатуру) произвольных тел. Предыстория интегрального исчисления восходит к древности. Первым известным методом для расчёта интегралов является метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур — метод исчерпывания Евдокса (Евдокс Книдский (ок. 408 г. до н.э. — ок. 355 г. до н.э.) — древнегреческий математик, механик и астроном), который был предложен примерно в 370 до н. э. Суть этого метода заключается в следующем: фигура, площадь или объем которой пытались найти, разбивалась на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известны.

5 стр., 2319 слов

Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

... дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная ... (3.4). 4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Задача 4.1 Модель ... интеграл в правой части может быть найден, например, заменой = t ,, 2ydy=2tdt и . Решение (б) перепишем в виде x=± или x=C , где C=± . 2. Неполные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение ...

«Метод исчерпывания» Предположим, что нам надо вычислить объём лимона, имеющего неправильную форму, и поэтому применить какую-либо известную формулу объёма нельзя. С помощью взвешивания найти объём также трудно, так как плотность лимона в разных частях его разная. Поступим следующим образом. Разрежем лимон на тонкие дольки. Каждую дольку приближённо можно считать цилиндриком, радиус основания, которого можно измерить. Объём такого цилиндра вычислить легко по готовой формуле. Сложив объёмы маленьких цилиндров, мы получим приближенное значение объёма всего лимона. Приближение будет тем точнее, чем на более тонкие части мы сможем разрезать лимон.

2 .История появления интеграла. Вслед за Евдоксом метод «исчерпывания» и его варианты для вычисления объёмов и площадей применял древний учёный Архимед. Успешно развивая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Он показал, что определение объёмов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объёма цилиндра.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном. Сам термин «дифференциальное уравнение» был предложен в 1676 году Лейбницем. 3 .История появления дифференциальных уравнений. Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых требовалось определить координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени при различных воздействиях. К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи.

3 .История появления дифференциальных уравнений. Из огромного числа работ XVII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736-1813).

В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n -мерном случае).

Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

4 .Применение производной и интеграла в математике: В математике производную широко используют в решениях многих задач, уравнений, неравенств, а так же в процессе исследования функции. Пример: Алгоритм исследования функции на экстремум: 1)О.О.Ф. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 и решаем уравнение. 3)О.О.Ф. разбиваем на интервалы. 4)Определяем знак производной на каждом интервале. Если f ′(x)>0 , то функция возрастает. Если f ′(x)

4 .Применение производной и интеграла в математике: Интеграл (определенный интеграл) используют в математике (геометрии) для нахождения площади криволинейной трапеции. Пример: Алгоритм нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла: 1)Строим график указанных функций. 2)Указать фигуру ограниченную этими линиями. 3)Найти пределы интегрирования, записать определенный интеграл и вычислить его.

31 стр., 15367 слов

Коммерческая работа по закупке товаров

... задачи розничных торговых предприятий во многом стали иными по сравнению с периодом административно-командной экономики. ... выбора в данном случае являются: скорость товародвижения, уровень издержек обращения и ... необходим научный подход к организации работы по закупке товаров. Практически на любом ... возможность получения оптимального уровня и массы прибыли. Выявление факторов, влияющих на ...

5 .Применение производной и Интеграла в физике. В физике производную используют в основном для решения задач, например: нахождение скорости или ускорения каких-либо тел. Пример: 1)Закон движения точки по прямой задается формулой s(t)= 10t^2 , где t -время (в секундах), s(t) -отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найди скорость и ускорение в момент времени t, если: t=1,5 с. 2)Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 2+20t+5t2. Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2с (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Физическая величина Среднее значение Мгновенное значение Скорость Ускорение Угловая скорость Сила тока Мощность

5 .Применение производной и Интеграла в физике. Интеграл также используется в задачах, например: нахождение скорости или пути. Тело движется со скоростью v(t) = t + 2 (м/с).

Найти путь, который пройдет тело за 2 секунды после начала движения. Пример:

6 .Применение производной и Интеграла в электротехнике. Производная также нашла применение в электротехнике. В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t).

Сила тока I есть производная заряда q по времени. I=q ′(t) Пример: 1)Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону q=sin(2t-10) Найти силу тока в момент времени t=5 cек. Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д. 2)Электрический заряд протекающий через проводник, начиная с момента t = 0, задаётся формулой q(t) = 3t2 + t + 2.Найдите силу тока в момент времени t = 3с. Интеграл в электротехнике можно использовать для решения обратных задач, т.е. нахождение электрического заряда зная силу тока и т.д.

Понятие интеграла широко применимо в жизни. Интегралы применяется в различных областях науки и техники. Основными задачами, вычисляемыми с помощью интегралов являются задачи на:

1. Нахождение объема тела

2. Нахождение центра масс тела.

∫ a b f(x)

Нахождение объема тела

Рассмотрим следующий рисунок. Допустим, имеется некоторое тело, объем которого равен V. Так же имеется прямая такая, что если мы возьмем некоторую плоскость, перпендикулярную этой прямой, на будет известна площадь сечения S данного тела этой плоскостью.

Каждая такая плоскость будет перпендикуляра оси Ох, а следовательно будет пересекать её в некоторой точке х. То есть каждой точке х, из отрезка будет поставлена в соответствие число S(x) — площадь сечения тела плоскость проходящей через эту точку.

Получается, на отрезке будет задана некоторая функция S(x).

Если эта функция будет непрерывна на этом отрезке, то будет справедлива следующая формула:

V = ∫ a b S(x)dx.

Доказательство этого утверждения выходит за рамки программы школьного курса.

Вычисление центра масс тела

Центр масс чаще всего используется в физике. Например, есть некоторое тело которое движется с какой-либо скорость. Но большое тело рассматривать неудобно, и поэтому в физике рассматривается это тело, как движение точки, в предположении, что эта точка имеет такую же массу, как и все тело.

6 стр., 2785 слов

Контрольная работа: Рынок труда и безработица (бесплатная контрольная)

... работу. Эта скорость зависит от развитости институциональной структуры рынка труда. В условиях постоянно меняющейся рыночной экономики фрикционная безработица ... переходный период единственным средством побудить большие массы людей перемещаться в целях более рационального ... различные программы переподготовки. Наоборот система страхования по безработице, увеличивает число фрикционных безработных, так как, ...

А задача вычисления цетра масс тела, является основной в этом вопросе. Потому как тело-то большое, и какую именно точку надо взять за центр масс? Может быть ту, которая находится в середине тела? Или может саму ближнюю точку к переднему краю? Тут приходит на помощь интегрирование.

Для нахождения центра масс используется следующие два правила:

1. Координата x’ центра масс некоторой системы материальных точек A1, A2,A3, … An с массами m1,m2,m3, … mn соответственно расположенных на прямой в точках с координатами x1, x2, x3, … xn находится последующей формуле:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. При вычислении координаты центра масс можно любую часть рассматриваемой фигуры заменить на материальную точку, при этом поместив ее в центр масс этой отдельной части фигуры, а массу взять равную массе этой части фигуры.

Например, если вдоль стержня — отрезка оси Ох распределена масса плотностью p(x), где p(x) есть непрерывная функция, то координата центра масс x’ будет равняться.

Представьте, что у нас есть какая-то функция зависимости чего-то от чего-то.

Например, вот так примерно можно на графике представить скорость моей работы в зависимости от времени суток:

Скорость я измеряю в строках кода в минуту, в реальной жизни я программист.

Объем работы — это скорость работы умножить на время. То есть если я пишу 3 строки в минуту, то в час получается 180. Если у нас есть такой график, можно узнать, сколько работы я сделал за день: это площадь под графиком. Но как это посчитать?

Разделим график на столбики равной ширины величиной в час. А высоту этих столбиков сделаем равной скорости работы в середине этого часа.

Площадь каждого столбика по отдельности легко посчитать, надо умножить его ширину на высоту. Получается, что площадь каждого столбика — это сколько примерно я работы сделал за каждый час. А если просуммировать все столбики, то получится примерная моя работа за день.

Проблема в том, что результат получится примерный, а нам нужно точное число. Разобьем график на столбики по полчаса:

На картинке видно, что это уже гораздо ближе к тому, что мы ищем.

Так уменьшать отрезки на графике можно до бесконечности, и каждый раз мы все ближе и ближе будем подходить к площади под графиком. А когда ширина столбиков будет стремиться к нулю, тогда сумма их площадей будет стремиться к площади под графиком. Это и называется интегралом и обозначается вот так:

В этой формуле f(x) означает функцию, которая зависит от величины x, а буквы a и b — это отрезок на котором мы хотим найти интеграл.

Зачем это нужно?

Ученые стараются все физические явления выразить в виде математической формулы. Как только у нас есть формула, дальше уже можно при помощи нее посчитать что угодно. А интеграл — это один из основных инструментов работы с функциями.

40 стр., 19685 слов

Социальная работа с пожилыми в центрах социального обслуживания населения

... многократно актуализирует проблемы социальной защиты пожилых граждан и подготовки соответствующих квалифицированных кадров. Цель данной работы – совершенствовать социальной работы с лицами пожилого и старого ... общественного и социального положения, роли и места в семье, а организации социального обеспечения и обслуживания, социальной реабилитации, социального попечительства над пожилыми людьми ...

Например, если у нас есть формула круга, мы можем при помощи интеграла посчитать его площадь. Если у нас есть формула шара, то мы можем посчитать его объем. При помощи интегрирования находят энергию, работу, давление, массу, электрический заряд и многие другие величины.

Нет, зачем мне это нужно?

Да низачем — просто так, из любопытства. На самом деле интегралы входят даже в школьную программу, но не так много людей вокруг помнят, что это такое.

Перед скачиванием данного файла вспомните о тех хороших рефератах, контрольных, курсовых, дипломных работах, статьях и других документах, которые лежат невостребованными в вашем компьютере. Это ваш труд, он должен участвовать в развитии общества и приносить пользу людям. Найдите эти работы и отправьте в базу знаний.

Мы и все студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будем вам очень благодарны.

Чтобы скачать архив с документом, в поле, расположенное ниже, впишите пятизначное число и нажмите кнопку «Скачать архив»