Транскрипт
1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНО ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ» (МИИТ) Институт Экономики и Финансов Кафедра «Математика» Курсовая работа по дисциплине «Методы оптимальных решений» на тему: «Модели организации и планирования производства» Выполнила: студентка группы ЭЭФ-214 Старовойтова С. В. Проверила: Ишханян М. В. Москва 2015
2 Введение Методы оптимальных решений является одним из разделов исследования операций прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических организационных задач. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий).
На современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения. Тут нам и помогают методы оптимальных решений, с помощью которых можно найти идеальное решение для предприятия. Линейная производственная задача это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. С увеличением числа неизвестных геометрический метод решения ЗЛП становится затруднительным при трех переменных и невозможным при большем числе переменных. Поэтому был разработан универсальный метод решения ЗЛП симплексметод, позволяющий решать ЗЛП в канонической форме. Часто бывает так, что найти оптимальное решение симплекс-методом бывает крайне трудно, в данной ситуации на помощь приходит М-метод. М-метод применяется для решения любых задач ЛП, в том числе и тех, где начальное базисное решение сразу не определяется. М-метод состоит во введении новых искусственных переменных, которые сразу можно взять в качестве базисных, и дальнейшем решении полученной задачи симплекс-методом. 2
Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой ...
... решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. Разработанный метод ... экономических моделей. Метод позволяет свести решение двойственной задачи оптимального управления с неизвестными граничными условиями для сопряженных переменных к решению прямой задачи для фазовых переменных, ... «Современные методы теории функций и ...
3 Часть 1. Предприятие «Enterprise» располагает сырьевыми и трудовыми ресурсами, а также собственными производственными мощностями, необходимыми для реализации производственной программы выпуска трех видов продукции PP1, PP2 и PP3. В таблице 1 указаны затраты ресурсов на изготовление 1 т продукции, объем ресурсов и прибыль, получаемая от продажи 1 т. соответствующей продукции. Требуется: 1. Составьте математическую модель определения оптимального плана выпуска продукции из условия максимальной прибыли предприятия. 2. Найти решение полученной задачи симплекс-методом. 3. Найти решение задачи c помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel. Решение: Продукция Объем ресурсов Ресурс рабочего времени, человеко-часы Оборудование, станко-часы Сырье, кг Прибыль, тыс. рублей PP PP PP И = 8, Ф = 12, N = 27 Математическая модель задачи: 1. Переменные задачи: xx 1 количество продукции Р 1 ; xx 2 количество продукции Р 2 ; xx 3 количество продукции P Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи. Во-первых, кол-во проданной продукции не может быть отрицательной величиной: 3
4 xx 1 0, xx 2 0, xx 3 0. Во-вторых, при производстве продукции, расходы ресурсов не могут превышать их объем: 64xx xx xx (для рабочего времени) 24xx xx xx (для оборудования) 16xx xx xx 3 99 (для сырья) В левых частях последних двух неравенств определены расходы продуктов, а в правых частях неравенств запасы этих ресурсов. 3. Построим целевую функцию, представляющую цель решения задачи. Обозначим через ZZ прибыль от продажи продукции (в тыс. руб.) Тогда целевая функция задачи записывается так: ZZ(xx) = 135xx xx xx 3 4. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид: ZZ(xx) = 135xx xx xx 3 mmmmmm 64xx xx xx xx xx xx xx xx xx 3 99 xx 1 0, xx 2 0, xx 3 0. Решение полученной задачи симплекс-методом: Вводим дополнительные переменные x4 0, х5 0, х 6 0, чтобы неравенства преобразовались в равенства: 64xx xx xx 3 + xx 4 = xx xx xx 3 + xx 5 = xx xx xx 3 + xx 6 = 99 xx ii 0, ii = 1,2 6. Тогда базисные переменные будут такими: 4
5 xx 4 = 132 (64xx xx xx 3 ) xx 5 = 174 (24xx xx xx 3 ) xx 6 = 99 (16xx xx xx 3 ) xx ii 0, ii = 1,2 6. Целевая функция для решения с помощью симплекс-таблиц будет выглядеть так: WW(xx) = ZZ(xx) = (135xx xx xx 3 ) mmmmmm Теперь составим и решим симплекс-таблицу: При условии, что ZZ(xx) = WW(xx), из полученной 3ей таблицы мы получаем вывод, что для достижения максимальной прибыли в размере руб. необходимо произвести 1,24 ед. продукции P 1 и 1,65 ед. продукции P 3. Решение задачи c помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel: 5
6 6
7 Из этих таблиц видно, что для достижения максимальной прибыли в размере руб. необходимо произвести 1,24 ед. продукции Р 1 и 1,65 ед. продукции Р 3. Расход рабочего времени (ячейка F8) составляет 132 часа; расход сырья (ячейка F10) составляет 99 ед., т.е. оба ресурса являются предельными (состояние «привязка»).
Главную задачу в получении прибыли), доминирующую роль в ос играет
... экономик. Основную «Общественный сектор представляет собой совокупность ресурсов массу товаров и услуг в нем производят и реализуют частные экономики, находящихся в распоряжении государства». (Лев Якобсон) предприятия, стремящиеся к извлечению прибыли. ...
7
8 Часть 2. Предприятие «Enterprise» располагает сырьевыми и трудовыми ресурсами, а также собственными производственными мощностями, необходимыми для реализации производственной программы выпуска трех видов продукции PP1, PP2 и PP3. В таблице 1 указаны затраты ресурсов на изготовление 1 т продукции, объем ресурсов и прибыль, получаемая от продажи 1 т. соответствующей продукции. Предприятие решило ввести в план новую продукцию PP 4, на изготовление 1т которой требуется И чел-ч, 2И станко-часов и И кг сырья. Прибыль с продажи 1т составляет 10NN тыс.руб. Требуется: 1. Составьте математическую модель определения оптимального плана выпуска продукции из условия максимальной прибыли предприятия. 2. Найти решение полученной задачи м-методом. 3. Найти решение задачи c помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel. Решение: Продукция Объем ресурсов Ресурс рабочего времени, человеко-часы Оборудование, станко-часы Сырье, кг Прибыль, тыс. рублей PP PP PP PP И = 8, Ф = 12, N = 27 Математическая модель задачи: 5. Переменные задачи: xx 1 количество продукции Р 1 ; xx 2 количество продукции Р 2 ; xx 3 количество продукции P 3 ; 8
9 xx 4 количество продукции Р Ограничения, которым должны удовлетворять переменные задачи. Во-первых, кол-во проданной продукции не может быть отрицательной величиной: xx 1 0, xx 2 0, xx 3 0, xx 4 0. Во-вторых, при производстве продукции, расходы ресурсов не могут превышать их объем: 64xx xx xx 3 + 8xx (для рабочего времени) 24xx xx xx xx (для оборудования) 16xx xx xx 3 + 8xx 4 99 (для сырья) В левых частях последних двух неравенств определены расходы продуктов, а в правых частях неравенств запасы этих ресурсов. 7. Построим целевую функцию, представляющую цель решения задачи. Обозначим через ZZ прибыль от продажи продукции (в тыс. руб.) Тогда целевая функция задачи записывается так: ZZ(xx) = 135xx xx xx xx 4 8. Таким образом, математическая модель задачи имеет вид: ZZ(xx) = 135xx xx xx xx 4 mmmmmm 64xx xx xx 3 + 8xx xx xx xx xx xx xx xx 3 + 8xx 4 99 xx ii 0, ii = 1 4. Решение полученной задачи М-методом: Переходим от системы ограничения неравенств к равенствам: 9
10 64xx xx xx 3 + 8xx 4 + xx 5 = xx xx xx xx 4 + xx 6 = xx xx xx 3 + 8xx 4 + xx 7 = 99 xx ii 0, ii = 1 7. Вводим дополнительные искусственные переменные ξ1, ξ2, ξ3 : ξξ 1 = 132 (64xx xx xx 3 + 8xx 4 + xx 5 ) ξξ 2 = 174 (24xx xx xx xx 4 + xx 6 ) ξξ 3 = 99 (16xx xx xx 3 + 8xx 4 + xx 7 ) Введем новую функцию: WW(xx) = ZZ(xx) = (135xx xx xx xx 4 ) mmmmmm GG(xx) = WW(xx) + MM(ξξ 1 + ξξ 2 + ξξ 3 ) mmmmmm GG(xx) = (135xx xx xx xx 4 ) + MM(405 (104xx xx xx xx 4 + xx 5 + xx 6 + xx 7 )) mmmmmm БП/СП Св.ч. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Отнош. F(x) 0,00 135,00 270,00 324,00 270,00 0,00 0,00 0,00 M 405,00 104,00 144,00 120,00 32,00 1,00 1,00 1,00 ξ1 132,00 64,00 40,00 32,00 8,00 1,00 0,00 0,00 2,06 ξ2 174,00 24,00 64,00 40,00 16,00 0,00 1,00 0,00 7,25 ξ3 99,00 16,00 40,00 48,00 8,00 0,00 0,00 1,00 6,19 БП/СП Св.ч. x1 x3 x4 x5 x6 x7 F(x) -891,00-297,00 108,00 216,00-6,75 0,00 0,00 M -70,20-126,40 4,80 3,20-2,60 1,00 1,00 x2 3,30 1,60 0,80 0,20 0,03 0,00 0,00 ξ2-37,20-78,40-11,20 3,20-1,60 1,00 0,00 ξ3-33,00-48,00 16,00 0,00-1,00 0,00 1,00 10
Бизнес-планирование — Просветов Г.И. — Задачи и решения
... встроенных функций и надстройки "Пакет анализа" пакета Excel можно избежать долгих и утомительных вычислений. После каждого примера приводится задача для самостоятельного решения. Ответы ко всем задачам помещены в ... разделения 27.4. Рыночный портфель 27.5. Взаимосвязь между уровнем риска инвестиций и требуемой нормой прибыли 27.6. Учет инфляции Линейная регрессия 28.1. Простая модель линейной ...
11 БП/СП Св.ч. x1 x3 x5 x6 x7 F(x) 1620, ,00 864,00 101,25-67,50 0,00 M -33,00-48,00 16,00-1,00 0,00 1,00 x2 5,63 6,50 1,50 0,13-0,06 0,00 x4-11,63-24,50-3,50-0,50 0,31 0,00 ξ3-33,00-48,00 16,00-1,00 0,00 1,00 БП/СП Св.ч. x1 x5 x6 x7 F(x) 3402, ,00 155,25-67,50-54,00 x2 8,72 11,00 0,22-0,06-0,09 x4-18,84-35,00-0,72 0,31 0,22 x3-2,06-3,00-0,06 0,00 0,06 БП/СП Св.ч. x1 x2 x6 x7 F(x) -2785,82-219,86-709,71-23,14 12,54 x5 39,86 50,29 4,57-0,29-0,43 x4 9,80 1,14 3,29 0,11-0,09 x3 0,43 0,14 0,29-0,02 0,04 БП/СП Св.ч. x1 x5 x6 x3 F(x) -2936,25-270,00-810,00-16,88-351,00 x2-95,24 52,00 8,00-0,50 12,00 x4 10,88 1,50 4,00 0,06 2,50 x7 12,00 4,00 8,00-0,50 28,00 При условии, что ZZ(xx) = WW(xx), из полученной последней таблицы мы получаем вывод, что для достижения максимальной прибыли в размере руб. необходимо произвести 10,88 ед. продукции Р 4. 11
12 Решение задачи c помощью надстройки «Поиск решения» MS Excel: 12
13 Из этих таблиц видно, что для достижения максимальной прибыли в размере руб. необходимо произвести 10,88 ед. продукции Р 4. Расход станко-часов на оборудовании (ячейка G9) составляет 174 часа, т.е. ресурс является предельным (состояние «привязка»).
13
14 Вывод: Часть 3 1. На основе сравнения полученных производственных программ можно сделать вывод, что вторая программа гораздо прибыльнее первой, так как прибыль составляет руб., что на руб. больше, чем при первой. 2. Запуск продукции Р 4 был целесообразен, так как именно этот продукт принес большую прибыль компании. 14
15 Заключение В данной курсовой работе рассмотрены два типа решения задач линейного программирования (ЗЛП), которыми являются Симплекс-метод и Метод искусственного базиса (М-метод).
На основе решений были сделаны выводы. 15
16 Литература 1. М. В. Ишханян, Л. Ф. Кочнева, А. И. Фроловичев. Методы оптимальных решений: Часть 1. Учебное пособие. М.: МИИТ, с. 2. Н. Г. Камышова, Н. Н. Терехова. Методы оптимальных решений: краткий курс лекций. Саратов.: Изд во ФГБОУ ВПО «Саратовский ГАУ»., с. 3. Лекции по предмету Методы оптимальных решений Л. Ф. Кочневой. 16
