МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО « БАЙКАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И ПРАВА»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе и
международной деятельности
проф. Т.Г. Озерникова
_______________________
«_____»__________________2012 г.
М.П.
Рабочая программа дисциплины
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Б2.Б.4
Направление подготовки 080100Экономика
Профиль подготовки Финансы и кредит (Банковское дело)
Квалификация (степень) выпускника Бакалавр
Форма обучения: очная, заочная
Очное обучение Заочное обучение
Курс 2 2
Триместр 2.2-2.3 2.2
Лекции 40 12
Практические (сем, лаб.) занятия 40
Самостоятельная работа 136 204
Всего часов 216 216
Курсовая работа
Зачет (триместр)
Экзамен (триместр) 2.3 2.2
Рабочая программа обсуждена и утверждена на заседании кафедры «_3__»_сентября___ 2012 г. протокол №__1__
Заведующий кафедрой математики, эконометрики и статистики ____________Никифорова И.А. «_3__»_сентября 2012 г. (подпись)
Рабочая программа согласована: _Декан ФЭФ____ _____________Жигас М.Г. «_3__»_сентября _ 2012 г. (подпись)
Иркутск 2012 Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 080100.62 Экономика
математики, кандидат Е.В. Аксенюшкина
физико-математических
наук
Рецензент Доцент кафедры Н.В. Мамонова
математики, кандидат
физико-математических
наук 1. Цели освоения дисциплины
Целью освоения дисциплины «Методы оптимальных решений» является повышение уровня фундаментальной математической подготовки студентов с усилением ее прикладной направленности, помогающей моделировать, анализировать и решать экономические задачи. Дисциплина развивает логическое и алгоритмическое мышление слушателей путем детального анализа подходов к математическому моделированию и сравнительному анализу разных типов моделей. Она также дает возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из любой область будущей деятельности студентов. Такое направление способствует формированию умений и навыков исследования широкого спектра экономических задач.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Методы оптимальных решений» относится к базовой (общеобразовательной) части математического и естественнонаучного цикла Б.2.Б.4.
Метод решения многомерной задачи оптимального управления динамикой ...
... решения задач оптимального управления экономической системой на региональном уровне, в том числе в случае учета инновационных процессов. Разработанный метод ... 2006 г.); Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 27 января ... при подготовке курсовых и дипломных работ студентов, обучающихся по специальности 061800 - «Математические методы в ...
При обучении дисциплине «Методы оптимальных решений» используются знания и навыки, полученные в средней общеобразовательной школе или среднем специальном учебном заведении, а также в процессе изучения математических дисциплин «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия», «Математический анализ», «Теория вероятностей и математическая статистика».
Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений», используются при изучении дисциплин: «Макроэкономика», «Микроэкономика», «Теория отраслевых рынков», «Экономика общественного сектора», «Институционная экономика», «Эконометрика»; при решении практических и научноисследовательских экономических задач.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций.
Компетентностная карта дисциплины Код Компетенция компетенции ОК-1 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее
достижения ОК-13 владеет основными методами, способами и средствами получения,
хранения, переработки информации, имеет навыки работы с
компьютером как средством управления информацией, способен
работать с информацией в глобальных компьютерных сетях
ПК-1 способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые
для расчета экономических и социально-экономических показателей,
характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов
ПК-3 способен выполнять необходимые для составления экономических
разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты
работы в соответствии с принятыми в организации стандартами
ПК-4 способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых
для решения поставленных экономических задач
ПК-5 способен выбрать инструментальные средства для обработки
экономических данных в соответствии с поставленной задачей,
проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные
выводы
ПК-6 способен на основе описания экономических процессов и явлений
строить стандартные теоретические и эконометрические модели,
анализировать и содержательно интерпретировать полученные
результаты
ПК-10 способен использовать для решения аналитических и
исследовательских задач современные технические средства и
информационные технологии
Ключевыми компетенциями, формируемыми в процессе изучения дисциплины являются ПК-4, ПК-5, ПК-10.
Уровневое описание признаков компетенции ПК-4:
Способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для
решения поставленных экономических задач дисциплины
Уровень освоения Признаки проявления Продвинутый Способность осуществлять сбор и анализ всей (91 – 100 баллов) необходимой информации для математической
формализации экономических связей и процессов,
имеющихся в исследуемых проектах. Составление
математических моделей любой сложности с
определением класса задач, к которому эта модель
Нетрадиционный курс по математике в 6 классе «Решение задач ...
... для принятия эффективных совместных решений. Самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.). Предметными результатами изучения предмета «Математика. 6 класс» ...
принадлежит, с целью ее дальнейшего исследования.
Базовый Умение формализовать экономическую проблему, то есть (71 – 90 баллов) выразить ее в виде конкретных математических
зависимостей (функций, уравнений, неравенств).
Способность определять управляющие переменные,
формировать целевую функцию, которая описывает
основную цель, рассматриваемого экономического
процесса, а также строить все условия, которым
удовлетворяют переменные задачи.
Минимальный Умение правильно сформулировать цель исследования, (41 – 70 баллов) так как в зависимости от этого выбирается дальнейшее
построение модели. Способность достаточно точно
описать свойства и особенности рассматриваемой
ситуации или процесса, а также провести сбор всей
необходимой информации для перехода к построению
математической модели.
Уровневое описание признаков компетенции ПК-5:
Способность выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать
результаты расчетов и обосновать полученные выводы
Уровень освоения Признаки проявления Продвинутый Способность использования нескольких подход для (91 – 100 баллов) решения и анализа оптимизационных задач. Умение на
основе полученного решения и сопутствующей
информации проводить анализ деятельности
рассматриваемого предприятия, а также находить путь
для дальнейшего расширения производства и, как
следствие увеличения его прибыли. Умение проводить
оптимальное планирование деятельности,
рассматриваемого экономического процесса, на основе
решения нескольких оптимизационных задач.
Базовый Способность ориентироваться в постановках (71 – 90 баллов) оптимизационных задач. Умение выбирать метод
решения и также его использовать для поиска
оптимального плана в экономических задачах линейного,
нелинейного программирования и транспортных задачах.
Знать особенности задач динамического
программирования, а также методы их решения.
Минимальный Умение решать задачи линейного и нелинейного (41 – 70 баллов) программирования графическим методом. Проводить
экономическую интерпретацию полученных результатов.
Для производственной задачи уметь выстраивать
двойственную задачу и понимать экономический смысл
ее построения.
Уровневое описание признаков компетенции ПК-10:
Способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач
современные технические средства и информационные технологии
Уровень освоения Признаки проявления Продвинутый Способность использовать для решения экономических (91 – 100 баллов) задач процессора MS Excel и системы Mathcad. Умение
проводить не только поиск оптимального решения, но и
давать экономическую интерпретацию полученным
результатам, а также представлять бизнес-проект по
оптимальному ведению экономической деятельности того
или иного объекта. Базовый Знать технологию решения задач оптимального (71 – 90 баллов) использования ресурсов и специальных задач линейного
программирования (транспортная задача, задача о
назначениях, задача целочисленного программирования)
с помощью процессора MS Excel. Умение проводить
По написанию курсовой работы по маркетингу
... «Организация и проведение экономической и маркетинговой деятельности» для специальности 100701 «Коммерция» (по отраслям). Контрольная работа по учебной дисциплине предусмотрена учебным планом. Работа включает ... работы, домашний адрес, место работы. Если работа напечана, титульный лист содержит вышеперечисленные реквизиты. Листы работы обязательно скрепляются. Не допускается сдача контрольной работы ...
анализ полученных оптимальных решений с помощью
двойственных оценок.
Минимальный Использование для решения оптимизационных задач (41 – 70 баллов) табличного процессора MS Excel. Умение формировать
таблицы, содержащие всю первоначальную информацию
о задаче, также находить оптимальное решение. Давать
экономическую интерпретацию полученных результатов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать: основы теории оптимизации и методов принятия решений, необходимых для решения финансовых и экономических задач.
Уметь: самостоятельно составлять простейшие практически значимые экономикоматематические модели, применять оптимизационные методы для их решения и интерпретировать полученные результаты.
Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 6 зачетные единицы 216 часов.
4.1. Содержание разделов дисциплины
Форма обучения очная
Виды учебной работы, Формы текущего
Раздел и тема включая контроля № дисциплины самостоятельную работу успеваемости п/п студентов и трудоемкость
Триместр
(в часах)
Практич.
Семинар
Лаборат.
Самост.
Лекции
раб.
Математическое
Работа на занятиях, 1. моделирование 2.2 4 2 6
устные выступления
экономических задач
Тема 1. Моделирова ние в экономике и его
Работа на занятиях, 1.1 использование в разви- 2.2 4 2 6
устные выступления
тии экономической те ории. 2. Нелинейное Работа на занятиях,
программирование устные
2.2 6 6 20 выступления,
обсуждение
домашней работы 2.1 Тема 2. Постановка Работа на занятиях,
задачи нелинейного устные выступления,
программирования. обсуждение
Графическое решение 2.2 4 2 10 домашней работы
задач нелинейного
программирования.
2.2 Тема 3. Задачи на Работа на занятиях, условный экстремум. устные выступления, Определение услов- обсуждение ного максимума и 2.2 2 4 10 домашней работы, минимума. Метод контрольная работа множителей Лагранжа.
3. Линейное и Работа на занятиях,
целочисленное устные
программирование выступления,
2.2 обсуждение
18 18 50
2.3 домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 3.1 Тема 4. Общая задача Работа на занятиях, линейного програм- устные выступления мирования. Преоб разование задач линей- 2.2 2 1 5 ного программиро вания.
3.2 Тема 5. Графическое Работа на занятиях, решение задач ли- устные выступления, нейного програм- 2.2 2 1 5 обсуждение мирования. домашней работы
Самостоятельная работа по экономике решение. Методические рекомендации ...
... ее платежеспособности и доходности. В методических рекомендациях приведены требования к формируемым умениям и полученным знаниям. методические рекомендации для организации внеаудиторной самостоятельной работы включают: 1. цели и задачи данной с/р; 2.алгоритм действий; ...
3.3 Тема 6. Двойственные Работа на занятиях, задачи. Симметричная устные выступления, и несимметричная 2.2 4 6 10 обсуждение пары задач линейного домашней работы, программирования. контрольная работа 3.4 Тема 7. Метод Работа на занятиях, последовательного ул- устные выступления, учшения плана обсуждение (симплекс-метод).
домашней работы, Метод искусственного 2.2 выполнение базиса решения 8 6 20 индивидуальных
2.3 канонической задачи заданий, общего вида. контрольная работа
3.5 Тема 8. Целочис- Работа на занятиях, ленные задачи ли- устные выступления, нейного программиро- 2.3 2 4 10 обсуждение вания. домашней работы,
4. Транспортная задача Работа на занятиях,
устные
выступления,
обсуждение
2.3 6 6 30
домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 4.1 Тема 9. Постановка Работа на занятиях, транспортной задачи, устные выступления открытая и закрытая 2.3 1 1 5 модели.
4.2 Тема 10. Определение Работа на занятиях, начального базисного устные выступления плана транспортной 2.3 1 1 5 задачи.
4.3 Тема 11. Метод Работа на занятиях, потенциалов для устные выступления, решения транспор- обсуждение тной задачи. 2.3 2 2 10 домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 4.4 Тема 12. Транспорт- Работа на занятиях, ные задачи, имеющие устные выступления, некоторые усложнения обсуждение в постановке. Задача о 2.3 2 2 10 домашней работы, назначениях. выполнение
индивидуальных
заданий 5. Динамическое Работа на занятиях,
программирование устные
2.3 6 8 30
и сетевое выступления,
планирование обсуждение
домашней работы 5.1 Тема 13. Постановка Работа на занятиях, общей задачи дина- устные выступления, мического програм- 2.3 2 2 10 обсуждение мирования. домашней работы
5.2 Тема 14. Приложения Работа на занятиях, динамического прог- устные выступления,
2.3 2 2 10 раммирования. обсуждение
домашней работы 5.3 Тема 15. Построение Работа на занятиях, сетевого графика. устные выступления, Метод критического 2.3 2 4 10 обсуждение пути. домашней работы,
контрольная работа
ИТОГО 40 40 136
Форма обучения заочная
Виды учебной работы, Формы текущего
Раздел и тема включая контроля № дисциплины самостоятельную работу успеваемости п/п студентов и трудоемкость
Триместр
(в часах)
Практич.
Семинар
Лаборат.
Самост.
Лекции
раб.
Математическое
Работа на занятиях, 1. моделирование 2.1 2 12
устные выступления
экономических задач
Тема 1. Моделирова ние в экономике и его
Работа на занятиях, 1.1 использование в разви- 2.1 2 12
устные выступления
тии экономической те ории. 2. Нелинейное Работа на занятиях,
программирование устные
2.1 57 выступления,
обсуждение
домашней работы 2.1 Тема 2. Постановка Работа на занятиях,
задачи нелинейного устные выступления,
программирования. обсуждение
Решение задач линейного программирования симплекс методом
... найдено. Целью данной курсовой работы является нахождения решения задач симплекс методом. Задачи курсовой работы: Изучить что такое симплекс-метод, Рассмотреть методы решения, Рассмотреть решение задачи 1. Теоретические основы линейного программирования, .1 Что такое линейное программирование Задачи оптимального планирования, связанные с ...
Графическое решение 2.1 27 домашней работы
задач нелинейного
программирования.
2.2 Тема 3. Задачи на Работа на занятиях, условный экстремум. 2.1 30 устные выступления, Определение услов- обсуждение
ного максимума и домашней работы,
минимума. Метод контрольная работа
множителей Лагранжа.
3. Линейное и Работа на занятиях,
целочисленное устные
программирование выступления,
обсуждение
2.1 6 60
домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 3.1 Тема 4. Общая задача Работа на занятиях, линейного програм- устные выступления мирования. Преоб разование задач линей- 2.1 1 10 ного программиро вания.
3.2 Тема 5. Графическое Работа на занятиях, решение задач ли- устные выступления, нейного програм- 2.1 1 10 обсуждение мирования. домашней работы
3.3 Тема 6. Двойственные Работа на занятиях, задачи. Симметричная устные выступления, и несимметричная обсуждение
2.1 1 10 пары задач линейного домашней работы, программирования. контрольная работа
3.4 Тема 7. Метод Работа на занятиях, последовательного ул- устные выступления, учшения плана обсуждение (симплекс-метод).
домашней работы, Метод искусственного выполнение базиса решения 2.1 3 10 индивидуальных канонической задачи заданий, общего вида. контрольная работа
3.5 Тема 8. Целочис- Работа на занятиях, ленные задачи ли- устные выступления, нейного программиро- 2.1 20 обсуждение вания. домашней работы,
4. Транспортная задача Работа на занятиях,
устные
выступления,
2.1 2 40 обсуждение
домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 4.1 Тема 9. Постановка Работа на занятиях, транспортной задачи, устные выступления открытая и закрытая 2.1 10 модели.
4.2 Тема 10. Определение Работа на занятиях, начального базисного устные выступления плана транспортной 2.1 1 10 задачи.
4.3 Тема 11. Метод Работа на занятиях, потенциалов для устные выступления, решения транспор- обсуждение тной задачи. 2.1 1 10 домашней работы,
выполнение
индивидуальных
заданий 4.4 Тема 12. Транспорт- Работа на занятиях, ные задачи, имеющие устные выступления, некоторые усложнения обсуждение в постановке. Задача о 2.1 10 домашней работы, назначениях. выполнение
индивидуальных
заданий 5. Динамическое Работа на занятиях,
программирование устные
и сетевое 2.1 2 35 выступления,
планирование обсуждение
домашней работы 5.1 Тема 13. Постановка Работа на занятиях, общей задачи дина- устные выступления, мического програм- 2.1 1 10 обсуждение мирования. домашней работы
5.2 Тема 14. Приложения Работа на занятиях, динамического прог- устные выступления,
2.1 10 раммирования. обсуждение
домашней работы 5.3 Тема 15. Построение Работа на занятиях, сетевого графика. устные выступления, Метод критического 2.1 1 35 обсуждение пути. домашней работы,
контрольная работа
ИТОГО 12 204
4.2. Лекционные занятия, их содержание
№ Наименование разделов и Содержание п/п тем
Раздел 1. Математическое моделирование экономических задач 1.1 Моделирование в экономике и Математическая модель и ее основные элементы.
его использование в развитии Этап построения математической модели. Виды
Разработка модели и решение задачи линейного программирования ...
... линейны. Если содержательный смысл требует получения решения в целых числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования. Если в задаче математического программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности выражается через уравнения, описывающие течение операций ...
экономической теории. зависимостей экономических переменных и их
описание. Основные типы моделей. Роль моделей в
экономической теории и принятии решений.
Раздел 2. Нелинейное программирование 2.1 Постановка задачи нелиней- Классификация задач нелинейного
ного программирования. Гра- программирования. Примеры нелинейных моделей.
фическое решение задач не- Локальное и глобальное решение. Понятие линий
линейного программирова- уровня функции двух переменных. Графическое
ния. решение задач нелинейного программирования с
двумя переменными.
2.2 Задачи на условный Постановка задачи нелинейного программирования
экстремум. Определение с ограничениями типа равенств. Определение
условного максимума и условного максимума и минимума. Функция
минимума. Метод множи- Лагранжа. Необходимые условия локальных
телей Лагранжа. экстремумов. Достаточные условия оптимальности.
Экономические приложения.
Радел 3. Линейное и целочисленное программирование 3.1 Общая задача линейного Постановка и различные формы записи задач
программирования. Преоб- линейного программирования. Основные понятия.
разование задач линейного Преобразование задач линейного
программирования. программирования. Примеры линейных моделей
экономических задач: производственная задача,
задача о диете, транспортная задача.
3.2 Графическое решение задач ли- Множество допустимых планов задачи линейного
нейного программирования. программирования и его основные свойства. Линии
уровня целевой функции. Различные ситуации,
возникающие при решении (единственное решение,
бесконечное множество решений, отсутствие
решений).
3.3 Двойственные задачи. Симметричная и несимметричная пары задач
Симметричная и несиммет- линейного программирования. Экономическая
ричная пары задач линейного интерпретация симметричной пары. Связь целевых
программирования. функций в двойственной паре задач. Теоремы
двойственности и их экономическая
интерпретация.
3.4 Метод последовательного ул- Свойства множества допустимых планов
учшения плана (симплекс- канонической задачи линейного
метод).
программирования. Базисные планы канонической
Метод искусственного базиса задачи. Условия оптимальности базисного плана.
решения канонической задачи Симплекс-метод решения задачи линейного
общего вида. программирования, имеющей предпочтительный
вид. Признак неограниченности целевой функции.
Метод искусственного базиса решения
канонической задачи общего вида. 3.5 Целочисленные задачи ли- Экономическая и геометрическая интерпретации
нейного программирования. задачи целочисленного программирования. Задача
о раскрое. Задача о «рюкзаке». Метод ветвей и
границ.
Раздел 4. Транспортная задача 4.1 Постановка транспортной Постановка транспортной задачи, открытая и
задачи, открытая и закрытая закрытая модели. Способы сведения открытых
модели. моделей к закрытой модели транспортной задачи.
4.2 Определение начального Определение базисного плана транспортной задачи.
Применение линейного программирования для решения экономических ...
... анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются: 1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования; 2. Выявление области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач; 3. Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования; 4. Постановка задачи и ...
базисного плана Построение начального базисного плана методом
транспортной задачи. северо-западного угла и минимального тарифа.
Вырожденные базисные планы транспортной
задачи. 4.3 Метод потенциалов для Критерий оптимальности базисного плана.
решения транспортной Потенциалы поставщиков и потребителей. Понятие
задачи. цикла в транспортной таблице. Переход к новому
базисному плану.
4.4 Транспортные задачи, имею- Транспортные задачи с ограничениями на поставки
щие некоторые усложнения в груза. Особенности решения. Постановка задачи о
постановке. Задача о назначениях. Сведение к транспортной задаче с
назначениях. единичными объемами спроса и предложения.
Вырожденность базисных планов. Особенности
метода потенциалов.
Радел 5. Динамическое программирование и сетевое планирование 5.1 Постановка общей задачи Постановка общей задачи динамического
динамического програм- программирования. Метод поэтапного построения
мирования. оптимального решения. Принцип оптимальности Р.
Беллмана.
5.2 Приложение динамического Задача распределения ресурсов (портфель ценных
программирования. бумаг).
Задача о нахождении кратчайшего пути в
сети. Понятие о других задачах динамического
программирования.
5.3 Построение сетевого графика. Сетевая модель и ее основные элементы. Порядок
Метод критического пути. и правила построения сетевого графика. Расчет
параметров сетевого графика. Линейный график и
способы его построения. Построение критического
пути.
4.3. Семинарские, практические, лабораторные занятия, их содержание
№ раздела Содержание и формы проведения и темы Раздел 1 Занятие 1. Построение математических моделей различных Тема 1. экономических и финансовых задач. Проводится в форме
практического занятия с устным опросом и решением задач.
Построение экономико-математических моделей. Задача оптимального
планирование производства. Задачи оптимального смешения. Задачи
оптимального раскроя. Оптимальное планирование финансов.
Транспортная задача. Основная задача фирмы. Раздел 2 Занятие 2. Графическое решение задач нелинейного Тема 2. программирования. Проводится в форме практического занятия с
устным опросом и решением задач.
Построение множества допустимых точек. Анализ линий уровня
функции. Графическое решение задач нелинейного программирования с
двумя переменными.
Раздел 2 Занятие 3. Решение задач на условный экстремум с помощью Тема 3. метода множителей Лагранжа. Проводится в форме практического
занятия с устным опросом и решением задач.
Решение задач оптимизации с ограничениями равенствами. Построение
функции Лагранжа. Использование достаточных условий второго порядка
для исследования точек, подозрительных на экстремум. Задача
оптимального поведения фирмы.
Раздел 2 Занятие 4. Контрольная работа по теме «Нелинейное Тема 2. программирование». Тема 3. Раздел 3 Занятие 5. Графическое решение задач линейного Тема 4 программирования. Проводится в форме практического занятия с Тема 5 устным опросом и решением задач.
Использование симплексного метода для решения задач линейного ...
А В С 1 12800 2 15200 Прибыль от реализации 1 т, тыс. д. е. Составить математическую модель задачи. С использованием симплексного метода решения задач линейного программирования рассчитать ... 3) Переход к новому плану осуществляется в результате пересчета симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Сначала заменим переменные в базисе, т.е. вместо в базис войдет переменная , соответствующая ведущему ...
Составление экономико-математических моделей линейного
программирования. Преобразование задач линейного программирования.
Графическое решение задач линейного программирования. Решение
прикладных задач с двумя переменными.
Раздел 3 Занятие 6. Построение симметричной и несимметричной Тема 6 двойственной пары задач линейного программирования. Проводится в
форме практического занятия с устным опросом и решением задач.
Симметричная и несимметричная пары задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация симметричной пары.
Связь целевых функций в двойственной паре задач.
Раздел 3 Занятие 7. Условия равновесия в несимметричной и симметричной Тема 6 двойственной паре. Проводится в форме практического занятия с
устным опросом и решением задач.
Двойственные задачи линейного программирования. Нахождение
решения, используя условия равновесия. Теоремы двойственности и их
экономическая интерпретация.
Раздел 3 Занятие 8. Контрольная работа по теме «Линейное Тема 4 программирование». Тема 5 Тема 6 Раздел 3 Занятие 9. Решение задач симплекс-методом. Проводится в форме Тема 7 практического занятия с устным опросом и решением задач.
Нахождение базисных планов в канонической задаче. Вырожденные
базисные планы. Решение задачи табличным симплекс-методом. Связь
между симплексными оценками и двойственными переменными.
Раздел 3 Занятие 10. Метод искусственного базиса. Проводится в форме Тема 7 практического занятия с устным опросом и решением задач.
Построение искусственной задачи. Возможные ситуации при решении
искусственной задачи симплекс-методом.
Раздел 3 Занятие 11. Решение задач оптимизации с помощью MS Excel и Тема 7 системы Mathcad. Проводится в компьютерном классе и направленно на
выполнение индивидуальных заданий студентов. Раздел 3 Занятие 12. Целочисленные задачи линейного программирования. Тема 8 Проводится в форме практического занятия с устным опросом и
решением задач.
Составление экономико-математических моделей целочисленного
программирования. Особенности задач целочисленного программирования.
Решение задач методом ветвей и границ.
Раздел 3 Занятие 13. Контрольная работа по теме «Линейное и Тема 7 целочисленное программирование». Тема 8 Раздел 4 Занятие 14. Транспортная задача линейного программирования. Тема 9 Проводится в форме практического занятия с устным опросом и Тема 10 решением задач. Тема 11 Закрытая и открытая модель задачи. Построение начального плана
перевозок. Метод минимального тарифа. Метод «северо-западного угла».
Раздел 4 Занятие 15. Решение транспортной задачи методом потенциалов. Тема 12 Проводится в форме практического занятия с устным опросом и
решением задач.
Метод потенциалов. Решение транспортной задачи с усложнениями в
постановке. Вырожденные планы транспортной задачи. Задача о
назначениях.
Раздел 4 Занятие 16. Решение транспортной задачи с помощью MS Excel и Тема 11 системы Mathcad. Проводится в компьютерном классе и направленно на Тема 12 выполнение индивидуальных заданий студентов.
Раздел 5 Занятие 17. Задачи динамического программирования. Тема 13 Проводится в форме практического занятия с устным опросом и
решением задач.
Постановка общей задачи динамического программирования.
Рекуррентное соотношение Беллмана. Метод поэтапного построения
оптимального решения.
Раздел 5 Занятие 18. Приложения динамического программирования. Тема 14 Проводится в форме практического занятия с устным опросом и
решением задач.
Решение задачи о нахождении кратчайшего маршрута в сети.
Нахождение минимального времени выполнения комплекса работ методом
динамического программирования. Раздел 5 Занятие 19. Построение сетевого графика. Метод критического Тема 15 пути. Проводится в форме практического занятия с устным опросом и
решением задач.
Построение сети проекта. Метод критического пути. Расчет параметров
сетевого графика. Нахождение основных параметров линейного
технологического графика. Построение диаграммы Гантта.
Раздел 4 Занятие 20. Контрольная работа по темам «Транспортная задача» и Тема 10 «Динамическое программирование и сетевое планирование». Тема 11 Тема 12 Раздел 5 Тема 13 Тема 14 Тема 15
4.4 Вид и форма промежуточной аттестации Промежуточный контроль проводится в виде письменных контрольных работ, состоящих из задач и теоретических вопросов, а также в виде индивидуальных заданий, которые студенты выполняют в компьютерных классах.
5. Используемые образовательные технологии В процессе преподавания дисциплины используются следующие методы:
- лекции;
- проведение практических занятий;
- домашние задания;
- опрос;
- индивидуальные типовые расчеты;
- тестирование;
- консультации преподавателей;
- самостоятельная работа студентов (изучение теоретического материала, подготовка к практическим занятиям, выполнение домашних работ и индивидуальных типовых расчетов, подготовка к опросу, тестированию и экзамену).
Выполнение практических заданий по разделу «Линейное и целочисленное программирование» осуществляется с использованием математического пакета Mathcad и табличного процессора MS Excel. Доля занятий с использованием активных и интерактивных методов составляет 50%.
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
6.1. Текущий контроль
Изучение дисциплины основано на постоянном текущем контроле знаний студентов. Предпочтение отдается письменным формам – контрольным работам (тестам).
Итоговая оценка формируется по 100-балльной шкале. Она складывается из оценок отдельных работ и видов деятельности. Контрольные мероприятия по Количество Разделы и темы дисциплины
дисциплине баллов 1. Контрольная работа с 10 Раздел: Нелинейное программиротеоретической частью (тесты) вание.
Темы: графическое решение задач
нелинейного программирования,
задача оптимизации с
ограничениями равенствами,
исследование функции на
выпуклость (вогнутость).
2. Контрольная работа с 10 Раздел: Линейное программиротеоретической частью (тесты) вание.
Тема: графическое решение задач
линейного программирования,
двойственные задачи линейного
программирования. 3. Контрольная работа с 10 Раздел: Линейное и целочисленное теоретической частью (тесты) программирование.
Темы: симплекс-метод, целочислен ное программирование. 4. Контрольная работа с 10 Раздел: Линейное программиротеоретической частью (тесты) вание. Динамическое программиро вание и сетевое планирование.
Темы: транспортная задача, задача
о распределении финансов между
предприятиями, задача о
кратчайшем пути, задача
нахождения критического пути. 6. Расчетно-графическая работа 10 Раздел: Линейное и целочисленное
программирование.
Индивидуальное задание по
решению и анализу задач линейного
программирования в MS Excel и
системе Mathcad. 7. Защита рефератов 5 8. Текущий контроль выполнения 5 домашних заданий и посещаемости занятий Всего 60
6.2. Образцы тестовых и контрольных заданий текущего контроля
Контрольная работа по теме «Нелинейное программирование»
Вариант теоретического теста.
Верны ли следующие утверждения (да \ нет)? В случае несогласия с каким-либо утверждением дайте правильную формулировку. 1. Для того чтобы функция f (x) была строго вогнутой на выпуклом множестве X
необходимо и достаточно, чтобы матрица вторых производных f (x) была
отрицательно определена для всех x X . 2. Матрица называется положительно определенной, если ее определитель
положителен. 3. Точка x* X называется точкой глобального минимума функции f (x) на
множестве X , если f ( x* ) f ( x) для всех x X . 4. Если в стационарной точке x матрица вторых частных производных функции
f (x) отрицательно определена, то x – точка локального минимума этой функции.
Вариант практического задания
1. На множестве X { x R 2 : x1 3, x2 2 } найти минимум и максимум
следующих функций
f ( x) ( x1 2) 2 2 ( x2 1) 2 ;
f ( x) x1 ( x2 4) 2 .
2. Решить задачу правилом множителей Лагранжа
f ( x) 2 x2 x3 extr ,
3×12 x22 x32 5 .
3. Проверить функцию на выпуклость (вогнутость)
f ( x) 2 x12 2 x22 2 x32 x1 x2 17 x1 15×2 4 x3 , x R3 .
Контрольная работа по теме « Линейное программирование».
Вариант теоретического теста.
Верны ли следующие утверждения (да / нет)? В случае несогласия с каким-либо утверждением дайте его правильную формулировку.
1. Задача c, x max, Ax b, x 0 называется канонической задачей линейного
программирования. 2. Семейство линий уровня целевой функции задачи параллельно целевому вектору
c. 3. Число ограничений двойственной задачи равно числу переменных прямой задачи
линейного программирования. 4. Если целевая функция прямой задачи не ограничена сверху на допустимом
множестве, то целевая функция двойственной задачи не ограничена снизу. 5. Если i е ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство, то
i я переменная оптимального плана двойственной задачи равна нулю. 6. Задача b, y min, AT y c является двойственной к задаче
c, x max, Ax b, x 0 .
Вариант практического задания
1. Построить математическую модель и решить задачу графически.
Небольшая фабрика изготовляет два вида красок: для внутренних (I) и наружных (II) работ. Продукция обоих видов поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т., соответственно. На одну тонну краски I расходуется 2 т. продукта А и 1 т. продукта В. На одну тонну краски II расходуется 1 т. продукта А и 2 т. продукта В. Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску II более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т. в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 2 тыс. долл. для краски I и 3 тыс. долл. для краски II. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
2. Решить задачу, используя условия равновесия.
Процесс изготовления трех видов промышленных изделий состоит в последовательной обработке каждого из них на двух станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограниченно 30 и 70 часами в неделю. Время обработки одного изделия каждого вида приведены в таблице
Время обработки одного изделия (час)
Станки
Изделие 1 Изделие 2 Изделие 3
1 1 1 1
2 1 2 0
Требуется найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида, если цена первого изделия – $600, второго изделия – $800, третьего изделия – $100.
Контрольная работа по теме «Линейное и целочисленное программирование».
Вариант теоретического теста
Базисный план является решением задачи, если
a) все симплексные оценки неотрицательны;
b) все симплексные оценки неположительны;
c) все координаты этого плана неотрицательны.
Верны ли следующие утверждения (да / нет)? В случае несогласия с каким-либо утверждением дайте его правильную формулировку. 1. Задача c, x min, Ax b, x 0 называется стандартной задачей линейного программирования. 2. Задача линейного программирования может иметь бесконечное число базисных планов. 3. Если при решения канонической задачи в симплекс – таблице нет отрицательных симплексных оценок, то базисный план является оптимальным. 4. Целочисленной называется задача линейного программирования, в которой все переменные могут принимать только целые значения. 5. В базисном плане канонической задачи с n переменными и m ограничениями число положительных координат равно n m .
Вариант практического задания
1. Решить задачу симплекс-методом.
Фабрика производит три типа изделий А, В, С, используя для этого два вида сырья R1 , R2 . Расход сырья на одно изделие, его запасы и цена реализации единицы продукции приведены в таблице
Вид Расход сырья на единицу Запас
сырья А В С сырья
R1 4 3 1 16
R2 2 1 1 4
цена 8 1 3
Найти план выпуска продукции, максимизирующий суммарный доход. 2. Решить задачу методом ветвей и границ.
Кондитерская фабрика собирается освоить выпуск двух новых видов тортов «Встреча» и «Сластена». Поскольку спрос на них пока не определен, то было решено тортов «Встреча» выпустить не более 5 шт., а тортов «Сластена» не более 4 шт. Для производства каждого вида выпечки требуется большое количество ингредиентов, однако количество двух из них ограничено. Нормы расхода сырья на производство одного торта, запас сырья на складе и ожидаемая прибыль от реализации тортов приведены ниже.
Сырье Нормы расхода сырья Запас сырья
«Встреча» «Сластена»
Какао 4 3 18
Сливки 1 2 6 Прибыль от торта 3 1 (ден. ед.)
Руководству фирмы необходимо определить, какой вид тортов и в каком количестве наиболее выгодно производить для получения максимальной прибыли.
Контрольная работа по теме «Транспортная задача»,
«Динамическое программирование и сетевое планирование».
Вариант теоретического теста.
1. Целевой вектор указывает
a) направление возрастания целевой функции;
b) направление убывания целевой функции;
c) в задаче максимизации – направление возрастания, в задаче
минимизации – направление убывания целевой функции.
Верны ли следующие утверждения (да / нет)? В случае несогласия с каким-либо утверждением. 1. Транспортная задача называется закрытой, если число поставщиков равно числу
потребителей. 2. Если транспортная задача является закрытой, то она всегда имеет решение. 3. Сумма потенциалов базисной клетки транспортной таблицы меньше тарифа
этой клетки. 4. Согласно принципу оптимальности Р.Беллмана, любая часть оптимального пути
оптимальна относительно его концов.
Вариант практического задания
1. Московский филиал фирмы The Coca-Cola Company, выпускающей газированные напитки Sprite, Coca-Cola, Fanta, складируемые в разных местах, должен поставить продукцию в три крупных московских супермаркета: «Рамстор – 1», «Рамстор – 2», «Арбатский». Тарифы на доставку товара, объемы запасов и заказы на продукцию приведены в таблице
Супермаркеты Склады Запасы
«Рамстор- 1» «Рамстор-2» «Арбатский» Coca-Cola 4 6 5 200 Sprite 3 2 5 150 Fanta 2 1 4 100 Заказы, уп. 150 200 100
Определить оптимальный план поставок газированных напитков в супермаркеты города при условии, что газированного напитка Sprite надо привезти в супермаркет «Рамстор-2» не менее 50 упаковок, а в «Арбатский» всего 50 упаковок, также газированного напитка Fanta надо привезти в супермаркет «Рамстор-1» не более 60 упаковок.
2. Пусть в городе А расположен завод, поставляющий свою продукцию в город В. Они соединены сетью дорог, проходящих через 6 населенных пунктов в соответствии со схемой. Числа на отрезках сети означают время движения по этим участкам дорог. Требуется найти минимальный по времени путь доставки продукции из А в В, при условии что двигаться можно только слева направо (от городов с меньшими номерами к городам с большими номерами).
3. Компания готовит бюджет производства нового изделия. В следующей таблице
представлены этапы подготовки бюджета и их длительность. Постройте сеть
этапов подготовки бюджета.
Процесс Предшествующий Длительность
процесс (дни)
А Прогнозирование объема продаж – 10
В Изучение рынка конкурирующих – 7
товаров
С Доводка изделия A 5
D Подготовка производственного C 3
плана
E Оценка стоимости производства D 2
F Определение отпускной цены B, E 1
G Подготовка бюджета E, F 14
Образец заданий для расчетно-графической работы.
1. Построить математическую модель и решить задачу при помощи MS Excel или Mathcad.
Небольшая кофейня в центре города самостоятельно закупает кофейные зерна, взбитые сливки и молоко для изготовления вкуснейших кофейных напитков. Нормы затрат на производство одной чашки кофе и объем используемых ресурсов приведены в таблице
Ресурсы Норма расхода ресурсов на одну чашку
кофе Запас ресурсов
Капучинно Еспрессо Кофе-латте Кофейные зерна 4 1 2 100 Взбитые сливки 4 1 1 70
Молоко 2 1 1 150 Стоимость одной чашки
60 50 80
(ден. ед.)
2. Решить задачу о назначениях при помощи MS Excel. Администрация деревоперерабатывающего предприятия приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. Необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице
Время выполнения работы, час Работники
1 2 3 4 5
M1 25 16 15 14 13
M2 25 17 18 23 15
M3 30 15 20 19 14
M4 27 20 22 25 12
M5 29 19 17 32 10
Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это нужно сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?
Предприятие может нанять еще одного работника по совместительству, который выполняет каждую работу в течении следующего времени
Рабочий по Время выполнения работы, час совместительству 1 2 3 4 5
M6 28 16 19 16 15
Определить, каким образом данная мера повлияет на назначения рабочих и минимизацию общего времени выполнения работ.
3. Построить двойственную задачу к задаче 1. Не решая, указать минимальное значение целевой функции в данной двойственной задаче, используя решение задачи 1. 6.3. Примерная тематика рефератов, эссе, докладов
1. Решение транспортной задачи в усложненной постановке. 2. Постановка задачи оптимального управления экономической системой. 3. Элементы сетевого планирования и управления. 4. Поведение фирмы в условиях совершенной конкуренции. 5. Прикладные задачи экономики.
6.4 Примерные темы курсовых работ, критерии оценивания
Курсовые работы не предусмотрены.
6.5. Методические указания по организации самостоятельной работы
Самостоятельная работа заключается:
- в самостоятельной подготовке студента к лекции – чтение конспекта предыдущей лекции. Это помогает лучше понять материал новой лекции, опираясь на предшествующие знания;
- в подготовке к практическим занятиям по основным и дополнительным источникам литературы;
- в выполнении домашних заданий;
- в самостоятельном изучении отдельных тем или вопросов по учебникам или учебным пособиям;
- в выполнении контрольных мероприятий по дисциплине;
- в подготовке рефератов.
6.6. Промежуточный контроль
Промежуточный контроль проводится в виде экзамена (по всему курсу, включая темы, изученные самостоятельно) в триместре 2.3. Максимальный балл за письменный ответ на экзамене составляет 40 баллов. Допуск к экзамену – выполнение контрольных мероприятий 1-8. Рейтинговая оценка по дисциплине ставится на основании письменного ответа, а также учета баллов текущего контроля.
Перечень вопросов к экзамену
1. Нелинейные задачи оптимизации. Геометрическое решение задач с двумя
переменными. 2. Выпуклые и вогнутые функции. Критерий выпуклости дважды дифференцируемой
функции. 3. Задачи оптимизации без ограничений. Необходимые условия экстремума.
Достаточные условия локального максимума и минимума. 4. Задачи оптимизации с ограничениями в форме равенств. Метод множителей
Лагранжа. 5. Стандартная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация.
Дефицитные ресурсы. Рентабельные продукты. 6. Стандартная задача линейного программирования. Экономическая интерпретация.
Недефицитные ресурсы. Нерентабельные продукты. 7. Стандартная задача линейного программирования. Переход к канонической задаче. 8. Графическое решение задач линейного программирования (допустимое множество,
линии уровня целевой функции, направление возрастания целевой функции).
5. Постановка двойственной задачи для задачи оптимального планирования производства. 6. Симметричная двойственная пара. Условия равновесия. Экономическая интерпретация. 7. Несимметричная двойственная пара. Необходимое и достаточное условие
оптимальности. Условия равновесия. 8. Каноническая задача линейного программирования. Базисные планы задачи. 9. Идея симплекс-метода. 10. Метод искусственного базиса. 11. Двойственный симплекс-метод. 12. Транспортная задача. Закрытая и открытая модели. 13. Нахождение начального плана перевозок. Метод «северо-западного угла». 14. Нахождение начального плана перевозок. Метод минимального тарифа. 15. Метод потенциалов. 16. Задача о назначениях. 17. Целочисленная задача линейного программирования. Метод ветвей и границ. 18. Задача динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. 19. Решение задачи о кратчайшем пути в сети методом динамического программирования. 20. Алгоритм построение сетевого графика. 21. Критерий оптимальности сетевого графика. 22. Способы построения сетевого графика. 23. Основные параметры сетевого графика.
Образец билета к экзамену по дисциплине
«Методы оптимальных решений»
1. Графическое решение задач линейного программирования (допустимое множество, линии уровня целевой функции, направление возрастания целевой функции).
2. Верны ли следующие утверждения (да/нет)? В случае несогласия с каким-либо утверждением дайте его правильную формулировку.
Ограничение вида ai1 x1 ai 2 x2 … ain xn bi сводится к равенству путем
прибавления к левой части неотрицательной переменной.
Если в ведущем столбце симплексной таблице нет положительных элементов,
то множество допустимых планов задачи линейного программирования пусто.
Значение целочисленной задачи линейного программирования равно значению
соответствующей непрерывной задачи.
Начальная вершина цикла находится в пустой клетке транспортной таблицы с
наименьшей положительной оценкой.
3. Фирма производит два вида мебели: столы и шкафы. Для производства мебели используется два исходных ресурса – дуб и орех. Максимально возможные суточные запасы древесины составляют 100 и 70 ед., соответственно. На один стол расходуется 1 ед. дуба и 3 ед. ореха. На один шкаф расходуется 2 ед. дуба и 1 ед. ореха. Какое количество мебели каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным, если стоимость стола составляет 20 ден. ед., а стоимость шкафа 60 ден. ед.?
Составить математическую модель задачи и решить ее графически.
Решить задачу симплекс-методом.
Построить двойственную задачу и решить ее графически.
4. С двух складов A1 и A2 необходимо доставить овощи в три торговые точки B1 , B2 и B3 . Требуется закрепить склады за торговыми точками так, чтобы общая сумма затрат на перевозку была минимальна.
Склад Торговые точки
Запас
B1 B2 B3
A1 7 5 2 25
A2 4 3 6 20 Потребности 15 10 15
5. На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством x1 изделий на первом предприятии равны 4×12 рублей, а затраты, обусловленные изготовлением x2 изделий на втором предприятии, составляют 20 x2 6 x22 рублей. Определить сколько изделий на каждом предприятии следует произвести, чтобы общие затраты были минимальны.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины а) основная литература:
1. Аксенюшкина Е.В., Тарасенко Н.В., Тимофеев С.В. МАТЕМАТИКА–2. Нелинейное и линейное программирование. Учебное пособие для студентов экономических специальностей. – Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2009. 2. Горбунова Р.И. и др. Экономико-математические методы и модели. – М.: КноРус, 2007. 3. Горбунова Р.И. и др. Экономико-математические методы и модели. Задачник. – М.: КноРус, 2007. 4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Исследование операций в экономике: учеб. пособие. – М.: Маркет ДС, 2007. 5. Попов А.М. Экономико-математические методы и модели. Высшая математика для экономистов: учебник для бакалавров. – М.: Юрайт, 2011. 6. Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: Юнити-Дана, 2011.
б) дополнительная литература:
1. Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. 2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Издательство «Дело и сервис», 2009. 3. Интриллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. – М.: Айрис-пресс, 2002. 4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2000 (Серия «Краткий курс»).
5. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.: Вузовский учебник, 2009. 6. Таха Х. Введение в исследование операций. – М.:Мир, 2001. 7. Тарасенко Н.В., Шеломенцева Н.Н. МАТЕМАТИКА – 2. Решение задач оптимизации в Excel. Методические указния для студентов экономических специальностей. – Иркутск: Изд-во БГУЭП, 2003. 8. Хачатрян С.Р., Пинегина М.В., Буянов В.П. Методы и модели решения экономических задач: Учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2005.
в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
http://elibrary.ru/ – крупнейший российский информационный портал в области науки, технологии, медицины и образования, содержащий рефераты и полные тексты более 14 млн научных статей и публикаций. http://www.edu.ru/ – федеральный образовательный портал. http://www.exponenta.ru – образовательный математический сайт. http://www.math.ru/ – математический портал. Бесплатная электронная библиотека.
9. Материально-техническое обеспечение дисциплины Лекции и практические занятия проводятся в стандартно оборудованных учебных аудиториях университета. Лекции и практические занятия проводятся в стандартно оборудованных учебных аудиториях университета. Используются мультимедийные средства и другая техника для презентаций учебного материала.
